2025年海南省九年级中考数学一轮复习习题课件：专题六圆

第20讲　圆的有关性质 一、选择题(每小题3分，共36分) 1.如图，AB是☉O的直径，D，C是☉O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( ) A.25°　 B.30° C.35°　 D.40° A 2.如图，点A，B，C，D在☉O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为( ) A.4　 B.8 C.4　 D.4 A 3.如图，☉O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于( ) A.42° B.29° C.21° D.20° B 4.如图，在☉O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D，若∠BOC＝45°，OB＝2，则AB的长为( ) A. B.2 C.2 D.4 D 5.如图，在☉O中，满足＝2，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是( ) A.AB＞2CD B.AB＜2CD C.AB＝2CD D.无法确定 B 6.如图所示，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，AB＝8，CD＝6，那么☉O的半径为( ) A.5 B.10 C.5 D.5 A 7.如图，在半圆O内有正方形ABCD和正方形BEFG.若BG＝4，则半圆O的半径是 ( ) A.4＋　 B.9 C.4　 D.6 C 8.“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.是☉O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则☉O的半径OA为( ) A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm A 9.如图，AB，AC是☉O的弦，OB，OC是☉O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是( ) A.70° B.105° C.125° D.155° D 10.如图，AC，BC为☉O的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，☉O的半径为2.若∠C＝45°，则DG的长为( ) A.2 B. C. D. D 11.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.40° A 12.赵州桥是世界上现存最早、跨度最大的空腹式单孔圆弧石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为( ) A.20m B.28m C.35m D.40m B 二、填空题(每小题3分，共12分) 13.如图，AB是☉O的直径，点D，M分别是弦AC、弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是　 　.  　4　 14.如图，BC是☉O的弦，连接OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是　 　.  　90°　 15.如图，☉O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则☉O的半径为  　.  16.如图，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝　 　.  　60°　 三、解答题(共72分) 17.(10分)证明：垂直于弦AB(非直径)的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧. 答案：解：已知：如图，CD为☉O的直径，AB是☉O的弦，CD⊥AB，垂足为M.求证：AM＝BM，.证明：连接OA，OB.因为OA＝OB，所以△OAB是等腰三角形.因为CD⊥AB，所以AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，所以. 18.(10分)图①是某育花苗圃的木制园门，门上部是半圆，下部是长方形.现有一辆装满货物的小货车要从该木制园门(园门各部位尺寸如图②)开进该苗圃，车高2.5m，宽1.6m.这辆小货车能否通过该苗圃的木制园门？ 答案：解：因为车宽1.6m，所以小货车能否通过，只要比较距园门中线0.8m处的高度与车高.如图，在OB上取点D，令OD＝0.8m，过点D作DH垂直于地面所在直线交于点H，交门上部的半圆于点M，连接OM.在Rt△OMD中，由勾股定理，得MD＝＝0.6(m)，所以MH＝MD＋DH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，所以这辆小货车能通过该苗圃的木制园门. 19.(12分)如图，CD是☉O的直径，AC，AB，BD是☉O的弦，AB∥CD. (1)求证：AC＝BD. (2)如果弦AB长为8，它与组成的弓形高为2，求CD的长. 答案：(1)证明：过点O作OF⊥AB，延长OF交☉O于点E.因为CD是☉O的直径，所以，所以，即，所以AC＝BD. (2)解：因为OF⊥AB，所以AF＝AB＝4.设OC＝OE＝OA＝r，则OF＝OE－EF＝r－2.在Rt△AOF中，＝，即＝，解得r＝5，所以CD＝2r＝10. 20.(12分)如图，A，B是半圆O上的两点，CD是☉O的直径，∠AOD＝80°，B是的中点.   (1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短. (2)若CD＝4cm，求AP＋PB的最小值. 答案：解：(1)作BB'⊥CD，交☉O于点B'，连接AB'，交CD于点P，P就是所求的点. (2)延长AO交☉O于点E，连接OB'，B'E.因为BB'⊥CD，所以＝.因为∠AOD＝80°，B是的中点，所以∠DOB'＝∠AOD＝40°，所以∠AOB'＝∠AOD＋∠DOB'＝120°.又因为OA＝OB'，所以∠A＝＝30°.因为AE是☉O的直径，所以AE＝CD＝4cm，∠AB'E＝90°.在Rt△AEB'中，AP＋PB＝AB'＝AE＝×4＝(cm). 21.(13分)如图，在☉O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，BF与CD相交于点G.   (1)求证：ED＝EG. (2)若AB＝4，OG＝2，求☉O的半径. 答案：(1)证明：如图，连接BD，因为AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，所以∠CFG＝∠GEB＝90°.因为∠CGF＝∠BGE，所以∠C＝∠GBE.因为∠C＝∠ABD，所以∠ABD＝∠GBE.因为AB⊥GD，所以AB平分GD， 所以ED＝EG. (2)解：如图，连接OA，设OA＝r，则DG＝r＋2，所以ED＝EG ＝，所以OE＝.因为AB⊥CD于E，AB＝4，所以AE＝ AB＝2.在Rt△OEA中，＋＝，即＋20＝ ，解得r＝或r＝－6(舍去)，所以☉O的半径为. 22.(15分)如图，AB是☉O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP. (1)求证：∠ADC－∠BAC＝90°.(请用两种方法证明) (2)若∠ACP＝∠ADC，☉O的半径为3，CP＝4，求AP的长. 答案：(1)证明：方法1：如图①，连接BD. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ADC－∠BAC＝90°. 方法2：如图②，连接BC.∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°.∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠PBC－∠BAC＝90°.∵四边形ABCD为☉O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∵∠PBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠PBC，∴∠ADC－∠BAC＝90°. (2)如图②，由(1)中方法2可得∠ADC＝∠PBC.∵∠ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠ACP.∵∠PBC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA，∴＝，∴＝PA·PB.∵☉O的半径为3，∴AB＝6，∴PA＝PB＋6.∵CP＝4，∴＝(PB＋6)·PB，解得PB＝2或PB＝－8(舍去)，则AP＝2＋6＝8. $$第21讲　与圆有关的位置关系 一、选择题(每小题3分，共36分) 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在☉A内且点B在☉A外时，r的值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 C 2.如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 D 3.如图，在☉O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠AOC＝120°，则∠BCD的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° A 4.如图，AB是☉O的切线，切点为B，连接OA交☉O于点C，BD∥OA交☉O于点D，连接CD.若∠OCD＝25°，则∠A的度数为( ) A.25°　 B.35°　 C.40°　 D.45° C 5.如图，AC是☉O的切线，切点为B，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是( ) A.3 B.2 C. D.6 C 6.如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m.若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是( ) A.X，Y，Z B.X，Z C.Y，Z D.Y A 7.如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，∠BAC＝2∠ABC，过点B的切线交AC的延长线于点D.若☉O的半径为1，则CD的长为( ) A.3　 B.4 C.2 D. A 8.如图，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上.若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝( ) A.56° B.60° C.68° D.70° C 9.如图，☉O是等边△ABC的外接圆，过点A作☉O的切线交BO的延长线于点D，BD交AC于点E.若OB＝1，则OD的长为( ) A.2 B.3 C.3 D.2 A 10.如图，AB是☉O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E.若∠EAD＝25°，则下列结论错误的是( ) A.AE⊥DE　 B.AE∥OD C.DE＝OD　 D.∠BOD＝50° C 11.如图，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AD，BE的长为方程x2－17x＋60＝0的两个根，则△ABC的周长为( ) A.30 B.40 C.42 D.60 B 12.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判定CE是☉O切线的是( ) A.∠E＝∠CFE　 B.∠E＝∠ECF　 C.∠ECF＝∠EFC　 D.∠ECF＝60° C 二、填空题(每小题3分，共12分) 13.若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为  　.  14.《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长.用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘股，再乘2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该内切圆的直径等于　 　步.(注：“步”为长度单位)  6 15.如图，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是☉O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为　 　.  　62° 或 118°　 16.如图，☉M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是☉M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为　 　.  　6　 三、解答题(共72分) 17.(10分)如图，直线l与☉O相切于点D，AB为☉O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C. (1)求证：AD平分∠CAE. (2)如果BC＝1，DC＝3，求☉O的半径. 答案：(1)证明：连接OD，∵直线l与☉O相切于点D，∴OD⊥CE.∵AE⊥CE，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD，∴AD平分∠CAE. (2)解：设☉O的半径为r，则OB＝OD＝r.在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r＋1，∴r2＋32＝(r＋1)2，解得r＝4，即☉O的半径为4. 18.(10分)如图，AB是☉O的直径，弦CD与AB相交于点P，∠ADC＝24°. (1)如图①，求∠CAB的度数. (2)如图②，过点C作☉O的切线，与BA的延长线交于点E，若EP＝EC，求∠DAP的度数. 答案：解：(1)如图①，连接BC，则∠ADC＝∠ABC＝24°.因为AB为☉O的直径，所以∠ACB＝90°，所以∠CAB＝90°－∠ABC＝90°－24°＝66°. (2)∠DAP＝45°.(详细答案见参考答案) 19.(12分)如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与☉O交于点E，F，连接AE，EF，AF. (1)求证：∠BAF＝∠CDB. (2)若☉O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长. 答案：(1)证明：∵直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径， ∴AB⊥CD，∴∠BAC＝∠BAD＝90°.∵AB是☉O的直径，∴∠AFB＝90°.∵∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CDB＋∠ABD＝90°，∴∠BAF＝∠CDB. (2)解：EF＝.(详细答案见参考答案) 20.(12分)如图，在☉O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA. (1)求证：AD是☉O的切线. (2)若BE＝4，AD＝2，求☉O的半径长. 答案：(1)证明：∵，∴∠ABF＝∠BAE.∵∠CAD＋∠BAE＋∠CDA＋∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，∴2(∠CAD＋∠BAE)＝180°，∴∠OAD＝∠CAD＋∠BAE＝90°.∵OA是☉O的半径，且AD⊥OA，∴AD是☉O的切线. (2)解：☉O的半径长为2.(详细答案见参考答案) 21.(13分)如图，AB为☉O的直径，点C在☉O上，点P是直径AB上的一点(不与A，B重合)，过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q. (1)在线段PQ上取一点D，使DQ＝DC，连接DC，试判断CD与☉O的位置关系，并说明理由. (2)若BP＝3，AP＝，QP＝4，求QC的长. 答案：解：(1)CD与☉O相切.理由如下：如图，连接OC.因为OC＝OB，所以∠2＝∠B.因为DQ＝DC，所以∠1＝∠Q.因为QP⊥PB，所以∠BPQ＝90°，所以∠Q＋∠B＝90°，所以∠1＋∠2＝90°，则∠DCO＝90°，所以OC⊥CD，而OC为☉O的半径，所以CD为☉O的切线.   (2)QC＝2.9.(详细答案见参考答案) 22.(15分)如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为AC的中点，过C作☉O的切线交OD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接EA. (1)求证：EA与☉O相切. (2)若EC＝3，CF＝2，求☉O的半径. 答案：(1)证明：如图，连接OC.因为EF为☉O的切线，所以∠OCE＝90°.因为D为AC的中点，所以OE⊥AC，所以EC＝EA，所以∠ECA＝∠EAC.因为OA＝OC，所以∠OCA＝∠OAC，所以∠OAC＋∠EAC＝∠OCA＋∠ECA＝90°，即∠EAO＝90°.又因为OA是☉的半径，所以EA为☉O的切线. (2)解：☉O的半径为.(详细答案见参考答案) $$第22讲　与圆有关的计算 一、选择题(每小题3分，共36分) 1.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点M在上，则∠CME的度数为( ) A.30°　 B.36°　 C.45°　 D.60° D 2.在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是( ) A.π B.9π C.π D.π 3.如图，在☉O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形AOB(阴影部分)的面积是( ) A.12π B.6π C.4π D.2π B C 4.如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，那么这个圆锥的高是( ) A.3　 B.4　 C.5　 D.6 5.若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于( ) A.60° B.120° C.135° D.150° B B 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是( ) A.5π B.5－4π C.5－2π D.10－2π C 7.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为( ) A. B. C. D. C 8.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为( ) A. B. C. D.π B 9.如图，☉O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA.若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是( ) A.π B.π C.π D.π C 10.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于点D.若AC＝300m，BD＝150m，则的长为( ) A.300π m B.200π m C.150π m D.100π m B 11.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为( ) A. B. C.2 D.2 A 12.如图，这个圆锥形帽子的底面周长为20π cm，母线AB长30 cm.为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计)，这条彩带的最短长度是( ) A.30cm　 B.30cm C.60cm　 D.20π cm B 二、填空题(每小题3分，共12分) 13.如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是　 　cm2. (结果用含π的式子表示)  　60π　 14.为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如图，是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长约是 　 　米.(π取3.14，结果精确到0.1)   28.7 15.如图，小珍同学用半径为8cm、圆心角为100°的扇形纸片制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴(重合)部分的面积是  　cm2.  16.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为　 　.  　π　 答案：(1)证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵∠D＝∠ABC，∴∠D＋∠A＝90°，∴∠ABD＝90°， ∴BD是半圆O的切线.  (2)解：如图，连接OC.∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°. ∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形， ∴OC＝BC＝3， ∴的长＝＝2π. 三、解答题(共72分) 17.(10分)如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°. (1)求证：BD是半圆O的切线. (2)当BC＝3时，求的长.   18.(10分)在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件画出如下示意图.小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等.”小亮的说法正确吗？请说明理由. 答案：解：小亮的说法不正确.理由： 设直角三角尺三边长分别为BC＝a，AC＝a，AB＝2a， 所以甲圆锥的侧面积S甲＝π·BC·AB＝π×a×2a＝2πa2. 乙圆锥的侧面积S乙＝π·AC·AB＝π×a×2a＝2πa2， 故S甲≠S乙，所以小亮的说法不正确. 19.(12分)如图，☉O是△ABC的外接圆，BD是☉O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点. (1)求证：AE是☉O的切线. (2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长. 答案：(1)证明：连接AO并延长交BC于点F，连接OC， 则OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝， ∠OAC＝∠OCA＝. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOB＝∠AOC， ∴， ∴∠OAB＝∠OAC，∴AF⊥BC. ∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠AFB＝90°. ∵OA是☉O的半径，且AE⊥OA，∴AE是☉O的切线. (2)解：因为∠ABC＝75°，AB＝AC，所以∠ACB＝75°，∠BAC＝30°， 则∠ABO＝∠BAO＝15°，则∠OBC＝∠OCB＝60°，所以OB＝OB＝BC＝2， 所以∠DOC＝120°，则的长为. 20.(12分)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50 cm，如图①和图②所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH. (1)在图①中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.求OC的长. (2)将图①中的水槽沿GH向右做无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动，如图②.其中，的中点为Q，连接OQ并延长交GH于点F，GH与半圆O的切点为E，连接OE交MN于点D.探究：在图②中，求操作后水面高度下降了多少. 答案：解：(1)连接OM.∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm， ∴MC＝MN＝24cm. ∵AB＝50cm，∴OM＝AB＝25cm， ∴在Rt△OMC中，OC＝＝7cm. (2)∵GH与半圆O的切点为E，∴OE⊥GH. ∵MN∥GH，∴OE⊥MN. ∵∠ANM＝30°，ON＝25cm， ∴OD＝ON＝cm， ∴操作后水面高度下降了－7＝(cm). 21.(13分)如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连接BC，CD. (1)求证：CD∥AB. (2)若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积. 答案：(1)证明：因为，所以∠ACD＝∠DBA. 又因为∠CAB＝∠DBA，所以∠CAB＝∠ACD，所以CD∥AB.　 (2)解：如图，连接OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E. 因为∠ACD＝30°，所以∠AOD＝60°， 则∠BOD＝180°－∠AOD＝120°.因为OB＝AB＝2， 所以S扇形BOD＝π. 在Rt△ODE中，因为DE＝OD·sin60°＝×2＝， 所以S△BOD＝OB·DE＝×2×， 则S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝π－， 所以阴影部分的面积为π－. 22.(15分)如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒. (1)如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度. (2)在点B运动的过程中，当AD，BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G，H.连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 答案：解：(1)设BC与☉O交于点M，连接ME，MO.当t＝2.5时，BE＝2.5. 因为EF＝10，所以OE＝EF＝5，所以OB＝2.5，则EB＝OB. 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，所以ME＝MO. 因为MO＝EO，所以ME＝EO＝MO， 所以△MOE是等边三角形，则∠EOM＝60°，所以， 即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为. (2)如图，连接OG，OH. 因为∠GOH＝90°，所以∠AOG＋∠BOH＝90°. 因为∠AGO＋∠AOG＝90°，所以∠AGO＝∠BOH. 在△AGO和△BOH中，， 所以△AGO≌△BOH(AAS)，则OB＝AG＝t－5. 因为AB＝7，所以AE＝t－7，所以AO＝5－(t－7)＝12－t. 在Rt△AGO中，AG2＋AO2＝OG2，即(t－5)2＋(12－t)2＝52， 解得t1＝8，t2＝9，即t的值为8或9. $$第23讲　尺规作图、定义、命题、定理 一、选择题(每小题3分，共36分) 1.下列命题正确的是( ) A.正方形的对角线相等且互相平分 B.对角互补的四边形是平行四边形 C.矩形的对角线互相垂直 D.一组邻边相等的四边形是菱形 2.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”.假设一个三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( ) A.反证法　 B.比较法　 C.综合法　 D.分析法 A A 3.观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是( ) C 4.如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是( )  A.若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE B.若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC C.若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D.若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE B 5.过直线l外一点P作直线l的垂线PQ.下列尺规作图错误的是( ) C 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3.按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是( ) A.5　 B.4　 C.3　 D.2 D 7.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心、大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P.若点P的坐标为(a，b)，则a与b的数量关系为( ) A.a＋b＝0 B.a－b＝0 C. a＋b＞0 D.a－b＞0 B 8.如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD，若∠AOB＝35°，则∠BOD的度数是( ) A.35° B.60° C.70° D.80° C 9.如图，已知∠ABC，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线BA，BC于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线BC上取点H，以点H为圆心，以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D；点E，F分别在射线BA，HD上，∠AEF＝68°，射线EF，BD交于点G，∠FDG＝39°，则∠EGB＝( ) A.29° B.30° C.38° D.39° A 10.如图，AM是△ABC的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线AB于D，E两点，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧相交于点N(M，N位于直线AB的两侧)，作直线MN交AB于点F，若AC＝5，MF＝2，则△AMC的面积为 ( ) A.3 B.7 C.5 D.10 C 11.如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心、大于AB长为半径画弧(弧所在圆的半径均相等)，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E.若AC＝5，△AEC的周长为17，则BC的长为( ) A.7 B.10 C.12 D.17 C 12.在Rt△ABC中，∠A＝90°，以C为圆心，适当长为半径画弧交BC，AC于D，E两点，分别以D，E为圆心、大于DE长为半径画弧交于M点，作射线CM交AB于K点.以K为圆心、CK的长为半径画弧交射线CM于H点，分别以C，H为圆心、大于CH的长为半径画弧交于N，L，作直线NL交BC于G，AC＝4，CG＝5，则GK＝( ) A. B. C.3 D. A 二、填空题(每小题3分，共12分) 13.如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.则∠ACD的度数为　 　.  　75°　 14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心、大于MN的长为半径画弧，两弧交于某点，过点A及该交点作射线AP交边BC于点D.若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是 　 　.  　6　 15.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝62°，按以下步骤作图. (1)以点B为圆心、适当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N. (2)以点C为圆心、BM的长为半径画弧，交线段CB于点D. (3)以点D为圆心、MN的长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点E. (4)过点E作射线CE，与AB相交于点F，则∠AFC＝　 　°.  　56　 16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC 交BC于点D，分别以点A，C为圆心、大于AC 长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为  　.  三、解答题(共72分) 17.(10分)如图所示，已知△ABC，用直尺和圆规作图.(保留作图痕迹，不要求写作法) (1)∠C的平分线CE. (2)BC边上的中线AF. 答案：解：(1)如图所示，CE为∠C的平分线. (2)如图所示，AF为BC边上的中线. 18.(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D. (尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) (2)若CD＝3，AB＋BC＝16，求△ABC的面积. 答案：解：(1)∠ABC的平分线如图所示.   (2)如图，作DH⊥AB于H.因为BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， 所以CD＝DH＝3，所以△ABC的面积＝S△BCD＋S△ABD＝BC·CD＋AB·DH ＝×3BC＋×3AB＝×3(BC＋AB)＝×3×16＝24. 19.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°. (1)实践与操作：过点D作AB边上的高DE. (尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) (2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长. 答案：解：(1)如图，DE即为所求作的高.   (2)∵cos∠DAB＝，∴AE＝AD·cos30°＝4×＝2， ∴BE＝AB－AE＝6－2. 答案：解：如图，连接AM，由题意知EF垂直平分AC，所以AM＝MC＝5，CN＝AC. 因为AD＝3，CD⊥AB，所以DM＝＝4， 所以CD＝CM＋DM＝9，则AC＝＝3， 所以CN＝. 因为∠ACB＝45°，EF⊥AC，所以△CNG是等腰直角三角形， 所以GN＝CN＝. 20.(12分)如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，CD是AB边上的高，分别以点A，C为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点E，F，连接EF，分别交CB，CD，CA于点G，M，N，连接AG交CD于点Q，若AD＝3，CM＝5，求GN的长. 21.(13分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作☉O的切线，交CE于点F.(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，求证：BD＝BF. 答案：(1)解：如图，直线BF即为所求直线. (2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵AB∥CE，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠BCF＝∠ACB. ∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°. ∵BF为☉O的切线，∴∠ABF＝90°.∵AB∥CE，∴∠BFC＋∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC. 在△BCD和△BCF中，， ∴△BCD≌△BCF(AAS)，∴BD＝BF. 22.(15分)如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点.以D为圆心、适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M，N为圆心、大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G.过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF，AF. (1)求证：四边形BDEF是菱形. (2)若AC＝4，求△AFD的面积. 答案：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°. ∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝AB. ∵E为AB中点.∴DE＝AB，∴BD＝DE， ∴△BED是等边三角形，∴BE＝BD＝DE. 由作图知DF平分∠EDB，∴∠EDF＝∠FDB. ∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠FDB， ∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝DE＝BD且EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形. ∵DE＝BD，∴四边形BDEF是菱形. (2)解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°. ∵AC＝4，∴AD＝AC·sin60°＝4×＝2. ∵四边形BDEF是菱形，∴AG⊥FD，FG＝GD. 在Rt△AGD中，∵∠BAD＝30°，∴DG＝AD＝，AG＝DG·tan60°＝3， ∴FD＝2，∴S△AFD＝×2×3＝3. $$