1.3.1正方形的性质 课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.3.1正方形的性质 2024-2025学年北师大版九年级数学上册教学课件★★ 教学目标 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. 情景导入 观察下列生活中的图形，说一说它们像什么图形？ 像菱形 像矩形 回顾旧知 说一说菱形是由平行四边形怎么变化而来的. 平行四边形 一组邻边相等 菱形 边特殊化 矩形又是由平行四边形怎么变化而来的呢？ 平行四边形 一个角是直角 角特殊化 矩形 想一想:将平行四边形的边和角同时特殊化，会得到什么样的图形呢？ 新知讲解 图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，回答问题： 每个平行四边形一组邻边相等且有一个角是直角. 你能发现它们有什么共同特征？ 归纳总结 正方形定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形是矩形或者是菱形吗？ 正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形. 新知讲解 方位角和距离 思考：1.正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 2.正方形的边、角、对角线有什么特征？请说明理由. 3. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么样的关系？能用一个直观图进行表示吗？ A B C D 4条对称轴 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 新知讲解 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质． 边： 角： 对角线： 对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 对角线相等 四个角都是直角 对边平行 四条边相等 A B C D 你能证明这两个性质吗？ 新知讲解 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：(1)∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD (正方形的定义). 又∵正方形ABCD是平行四边形， ∴正方形ABCD是矩形(矩形的定义)， 正方形ABCD是菱形(菱形的定义). ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB= BC=CD=AD； AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD. 归纳总结 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 定理 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°， AB = BC = CD = DA； AC=BD，AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. 典例精析 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的四条边都 相等，四个角都是直角). ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°- 90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF， ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 典例精析 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： 延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF， ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 议一议 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗 ？与同伴交流. 菱形 一组邻边相等 有一个角是直角 一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 一组邻边相等，且有一个角是直角 课堂练习 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ 　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 课堂练习 3．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 45° 90° 45° A D B C O A D B C O E 4. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 . 22.5° 课堂练习 5.如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF， DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对. 分别是 △ADC 与 △ABC，△FCD与 △FCB，△FAD 与 △FAB． 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD = AB，∠DAF =∠BAF. 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB. 课堂练习 6．如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD=QC．证明两条直路BP=AQ且BP⊥AQ． 课堂练习 证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O． 在正方形 ABCD 中, ∵PD＝QC, ∴DQ＝AP ． 又∵AB＝AD ,∠D＝∠PAB＝90°, ∴△ABP ≌△DAQ． ∴BP＝AQ，∠DAQ＝∠ABP ． ∵∠ABP＋∠APB＝90°＝∠DAQ＋∠APB． ∴∠AOP＝90°． ∴BP＝AQ 且BP⊥AQ． 课堂总结 正方形的定义及性质 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形的定义： 正方形的性质： $$