2.2配方法解一元二次方程 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2.2配方法解一元二次方程 2024-2025学年北师大版九年级数学上册教学课件★★ 复习导入 1、如果一个数的平方等于9，则这个数是 ， 若一个数的平方等于7，则这个数是 。 一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 2、用字母表示因式分解的完全平方公式。 ±3 ± 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 新知讲解 在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0. 我们已经求出了x的近似值，你能设法求出它的精确值吗? 新知讲解 你会解下列一元二次方程吗？ 1.x2=5 2. 2x2+3=5 3.x2+2x+1=5 4.(x+6)2+72=102 解：(1)根据平方根的意义，得x1= , x2=. (2)方程可化为x2=1，所以x1=1 , x2=-1. (3)方程可化为(x+1)2=5，所以x1=, x2=. (4)方程可化为(x+6)2=51，所以x1=, x2=. 观察这些方程都有什么特点？ 新知讲解 等号一边是或者是可以化为完全平方式的形式，另一边是一个非负常数的形式. 对于这种类型的一元二次方程可以运用直接开平方法求解. 方程的特点 左边是完全平方式 右边是非负数 方程的形式： x2 = a (a≥0) 或 (mx+n) 2 = a (a≥0) 新知讲解 怎样解方程x2+12x-15=0？ 怎样将这个方程化成上述方程的形式？ x2+12x-15=0 (x+m)2=n(n ≥0) 新知讲解 方位角和距离 将一次项12x改写成2·x·6，得x2+2·x·6=15 由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上62 即：x2+2·x·6+62=15+62， （x+6）2=51 两边开平方，得x+6= 因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1=, x2=. x2+12x-15=0？ 新知讲解 注意：解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 做一做 （1）x2 +12x + _____ = ( x + 6 )2　; （2）x2 - 4x + _____ = ( x - ____ )2　; （3）x2 + 8 x + ____ = ( x + ____ )2 . 36 4 2 4 上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？ 16 等式左边常数项是一次项系数的一半的平方. 对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ 典例精析 例1、解方程x2+8x－9=0 解：移项，得x2+8x=9， 配方，得x2+8x+16=9+16， 即 (x+4)2=25. 两边开平方，得x+4=±5， 即 x+4=5 或 x+4=－5. ∴x1=1，x2=－9. 我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 归纳总结 利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）移项:把常数项移到方程的右边; （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （3）变形:方程左边写成完全平方式,右边合并同类项; （4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程； （5）求解：解一元一次方程； （6）定解：写出原方程的解． 新知讲解 观察下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2+8x－9=0; ② 3x2 +8x -3 = 0. 想一想怎么来解 3x2 +8x -3 = 0. 典例精析 例2、解方程3x2+8x－3=0 解：两边同时除以3，得 配方，得 移项，得 两边开平方，得 所以x1=, x2=-3 在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解. 做一做 一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？ 解：将 h = 10代入方程式中，得15t - 5t2 =10 两边同时除以-5，得 t2 - 3t = -2 配方，得 两边开平方，得 解得：， 所以在1s或2s时，小球可达10m高. 课堂练习 1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( ) x2－1=0 B. x2=0 C. x2+4=0 D. －x2+3=0 2.一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为( ) A. (x－3)2=15 B. (x－3)2=3 C. (x+3)2=15 D. (x+3)2=3 C A 课堂练习 3. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= . 3 4.补全解方程2x2－4x－6＝0的过程． 移项，得____________________， 二次项系数化为1，得____________________， 配方，得____________________， 整理，得____________________， 开平方，得____________________， 解得x1＝________，x2＝________． 2x2－4x＝6 x2－2x＝3 x2－2x＋12＝3＋12 (x－1)2＝4 x－1＝±2 3 －1 课堂练习 5.用配方法解一元二次方程： (1)x2+4x+3=0； (2)x2+x－ =0； (3)2x2－4x－1=0； (4)(1+x)2+2(1+x)－3=0. 解：(1)移项，得x2+4x=－3.配方，得x2+4x+22=－3+22. ∴(x+2)2=1. ∴ x1=－1，x2=－3. (2)移项，得x2+x= . 配方，得x2+x+()2= +()2. ∴ (x+ 2=1.∴ x1= ，x2=－ . 课堂练习 (3)移项，得2x2－4x=1.二次项系数化为1，得x2－2x= . 配方，得x2－2x+12= +12，即(x－1)2= . ∴ x1=1+ ，x2=1－ . (4)移项，得(1+x)2+2(1+x)=3. 配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12. ∴(1+x+1)2=4. ∴ x1=0，x2=－4. 巧将1+x看作整体进行配方，可达到简化的效果. 课堂练习 6.若 ，求(xy)z 的值. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 =0 x=2，y=-3，z=2 ∴ 课堂总结 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方[配上]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 $$