模拟01 2024-2025学年人教版九年级上册数学期中模拟考试考前集训卷（基础卷，重庆适用）

2024—2025学年人教版九年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （基础卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：人教版版2012九年级上册第二十一章~第二十四章 中考题型含部分七八年级知识 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵圆的半径为5，线段的长为4，且， ∴点在圆内， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就可以直接找出问题的答案．可根据图象的基本性质，直接判断． 【详解】解：因为一次函数的图象应该经过原点及第二、四象限，故可排除D； 因为二次函数的图象的顶点坐标应该为，且开口向上，故可排除A，B； 故选：C． 4．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故选：D． 5．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到（点A与，点B与对应）．当点A，，在同一直线上时，的长为（    ）    A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】过点作，垂足分别为，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求出，利用勾股定理求出，由旋转的性质得到，，，，证明是等腰三角形，推出，即是的角平分线，证明，推出，求出，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足分别为，    ，，， ， ， ， ， ∵将绕点顺时针方向旋转得到，，，在同一条直线上， ∴， ∴，，，， ∴是等腰三角形， ，， ∴， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 6．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 7．如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故选项A错误； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，故选项B错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故选项C正确； ∵二次函数图象过点，对称轴是直线， ∴二次函数图象过点， ∴，故选项D错误； 故选：C． 8．为响应市委市政府提出的建设“绿色泰安”的号召，我市某单位准备将院内一块长，宽的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得， 整理，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 即小道进出口的宽度应为米． 故选：D． 9．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（   ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握旋转的性质．由旋转可得：，，推出，由，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．已知关于的多项式：． ①若，则代数式的值为； ②当时，若，则或； ③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，解一元二次方程，根的判别式，根据，得出，求出，得出①正确；根据，得出或，解方程判定②错误；当式子中取值为与时，对应的值相等，整理得出，当时，即时，成立，此时，，或时，无论m取何值，的值一定相等；当时，成立，，当时，的最大值为3，判断③错误． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 把代入得： ，故①正确； ②当时，， ∵， ∴， ∴或， ∵方程中， ∴此方程无解； 解方程得：或，故②错误； ③∵当式子中取值为与时，对应的值相等， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴当时，即时，成立， 此时，， ∴或时，无论m取何值，的值一定相等； 当时，成立， ∴， 解得：， 此时的最大值为3； ∴当时，的最大值为3；故③错误； 综上分析可知：正确的有1个； 故选：B． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，根据题方程意向后分解因式化为积的形式，利用两数相乘为0，两因式中至少有一个为0来解即可． 【详解】解：将原方程移项得：， 提取公因式得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．点和点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解此题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，再代入求值即可． 【详解】点和点关于原点对称， ， 解得， ． 故答案为：． 13．已知二次函数，用配方法可化为的形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．如图，A，B，C是上的三个点，若四边形为菱形，则 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 如图：连接，易得，再根据菱形的性质可得，即是等边三角形可得，同理可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接，    ∵A，B，C是上的三个点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，连结，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，，，则可判断为等边三角形，所以，证明，求出，，然后判断为等边三角形，从而得到的长，于是得到结论．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理． 【详解】解：∵绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上， ∴，， ，， 为等边三角形， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∵ 为等边三角形， ， 的周长为， 故答案为：． 16．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案． 【详解】解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、，0， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为， ∴符合条件的整数m为3、4、5、6． ∴， 故答案为： 18．如果一个四位数满足各数位上的数字都不为0，将它的千位数字与百位数字之积记为，十位数字与个位数字之和记为，记，若为整数，则称这个四位数为“公正数”.例如：是整数，是“公正数”;不是整数，不是“公正数”.请问最大的“公正数”是 .若自然数和都是“公正数”，其中，且为整数)，的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，且，规定:，则的最大值是 . 【答案】 9981 【分析】此题考查了数字的规律、解一元二次方程等知识， （1）根据“公正数”的定义求出即可； （2）求出，设百位上的数字为，个位数上的数字为，则千位上的数字为，十位上的数字为，其中且，为整数，由题意得到，求出，即，进一步进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴是“公正数”， 则最大的“公正数”是； 且为整数）， ∴m可为：7823，7834，7845，7856， ∵m是“公正数”， ，， ∵的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2， 设百位上的数字为，个位数上的数字为，则千位上的数字为，十位上的数字为，其中且，为整数， ， ， ，即， 当时，，解得（负根已经舍去）； 当时，，解得，（负根已经舍去）；其他情况不满足题意， ①当，时， ， ； ②当，时 ， ； ∴k的值为或． 即最大值为； 故答案为：， 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，解题的关键是选择合适的方法求解，因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了． （1）利用公式法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，， ，． 20．在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：平行四边形中，于点，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中，， ． ，②． ，即③． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④矩形． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 a 八年级 89 b 91 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)90，，25 (2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析 (3)七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580名． 【分析】本题考查了扇形统计图，求中位数，众数，样本估计总体； （1）根据中位数和众数即可得到结论； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到七年级学生竞赛成绩较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：根据题意得：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩中90出现3次，出现次数最多， ∴； ∵八年级A组和B组的人数共有人， 在A的人数为人， 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据按从小到大排列为是90，91，91，92，93，94， ∴位于第10位和第11位为90，91， ∴； 根据题意得：； ∴； 故答案为：90，，25； （2）解：八年级学生知识竞赛成绩较好，理由： 虽然七、八年级的平均分均为89分，但八年级的中位数和众数均高于七年级． （3）解：根据题意得：名， 答：七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580名． 22．某商场销售某种冰箱，每台进货价为元，标价为元： (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解； （）设每台冰箱下调个元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求出每台冰箱的定价； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设每台冰箱下调个元， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴每台冰箱下调元， ∴每台冰箱的定价应为元． 23．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 24．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)作图见解析，由图可得，当，随的增大而减小 (3)． 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数， （1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； （2）解：函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而减小； （3）解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． 25．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1); (2)当时，有最大值，最大值为，； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示，设与交于点， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； （3）解：存在点，点的横坐标为或，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则，得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 第一种情况，过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点， ∴， 设，且，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 26．四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． (1)如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； (2)线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：； (3)如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可推出为等腰直角三角形，，从而得到，最后利用勾股定理即可求得答案 （2）延长至，使得，连接，根据菱形的性质和旋转的性质可知，，，，从而推出，进而得到，最后利用中位线的性质得到，得证； （3）过点作于点，过点作垂线，垂足为，设，同（1）易证为等腰直角三角形，从而得到，然后可证，得到，根据点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值，过点作，交的延长线于点，此时，然后利用 得到，先计算出，然后易证为等腰直角三角形，推出，再计算出，即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，菱形边长为4 ，， ， 为等腰直角三角形 在中， （2）证明：如下图，延长至，使得，连接 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 又 点是中点， 为的中位线 （3）解：如下图，过点作于点，过点作垂线，垂足为 设 ， 为等腰直角三角形 将线段绕点逆时针旋转得到线段 ， ，即 点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值 如下图，过点作，交的延长线于点 此时， ， ， 为等腰直角三角形 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年人教版九年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （基础卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：人教版版2012九年级上册第二十一章~第二十四章 中考题型含部分七八年级知识 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内 3．在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 5．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到（点A与，点B与对应）．当点A，，在同一直线上时，的长为（    ）    A．2 B． C． D．1 6．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 7．如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．为响应市委市政府提出的建设“绿色泰安”的号召，我市某单位准备将院内一块长，宽的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（   ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 10．已知关于的多项式：． ①若，则代数式的值为； ②当时，若，则或； ③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．方程的解是 ． 12．点和点关于原点对称，则的值为 ． 13．已知二次函数，用配方法可化为的形式是 ． 14．如图，A，B，C是上的三个点，若四边形为菱形，则 ．    15．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，连结，则的周长为 ． 16．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 18．如果一个四位数满足各数位上的数字都不为0，将它的千位数字与百位数字之积记为，十位数字与个位数字之和记为，记，若为整数，则称这个四位数为“公正数”.例如：是整数，是“公正数”;不是整数，不是“公正数”.请问最大的“公正数”是 .若自然数和都是“公正数”，其中，且为整数)，的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，且，规定:，则的最大值是 . 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．解方程： (1)； (2) 20．在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：平行四边形中，于点，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 21．传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 a 八年级 89 b 91 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有多少人？ 22．某商场销售某种冰箱，每台进货价为元，标价为元： (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 23．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 24．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 25．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26．四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． (1)如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； (2)线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：； (3)如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$