24.2.1　点和圆的位置关系 课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册 人教版 数学 24.2.1　点和圆的位置关系 第二十四章 圆 - 24.2.1　点和圆的位置关系 探究与应用 课堂小结与检测 第二十四章　圆 活动1　理解点和圆的位置关系 [初识概念] 在同一个平面内,点和圆有三种位置关系:点在圆外、点在圆上和点在圆内.点P与☉O的位置关系如图24-2-1所示. 图24-2-1 探究与应用 [观察猜想] 如图24-2-1,设☉O的半径为r,点P到圆心的距离为d,量一量在点P和☉O的三种不同位置关系中,d与r有怎样的数量关系,根据d与r的数量关系能得到对应的点P和☉O的位置关系吗? 图24-2-1 [答案]略 探究与应用 [概括新知] 点和圆的位置关系:设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d, 则有: 点P在圆外⇔d　　　r;  点P在圆上⇔d　　　r;  点P在圆内⇔d　　　r.  > = <  探究与应用 [理解应用] 例1 (教材补充例题)如图24-2-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, BC=3 cm,AC=4 cm,以点B为圆心,BC长为半径作☉B,则点A,C及AB,AC的中点D,E与☉B有怎样的位置关系? 图24-2-2 探究与应用 解:在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,BC=3 cm,AC=4 cm, ∴AB==5 cm. ∵☉B的半径为3 cm,AB=5 cm>3 cm,∴点A在☉B外; ∵BC=3 cm,∴点C在☉B上; ∵DB=AB=×5=2.5(cm)<3 cm,∴点D在☉B内; ∵E是AC的中点,∴CE=AC=2 cm, ∴BE=(cm)>3 cm,∴点E在☉B外. 探究与应用 学 方法 判断点和圆的位置关系的步骤 ①求出点到圆心的距离d; ②找圆的半径r; ③比较d与r的大小关系; ④由数量关系得到点和圆的位置关系. 探究与应用 活动2　会过不在同一条直线上的三个点作圆 [操作尝试] (1)作一个圆需要确定哪几个关键要素? (2)经过一个已知点A作圆,你能作出多少个? 解:(1)作一个圆需要确定圆心的位置和半径的大小两个关键 要素. 解:(2)能作出无数个. 探究与应用 (3)如图24-2-3,经过两个已知点A,B作圆,你能作出多少个?圆心分布有什么特点? 图24-2-3 解:(3)经过两个已知点A,B能作出无数个圆,圆心都在线段AB的垂直平分线上,如图所示. 探究与应用 (4)如图24-2-4,经过不在同一条直线上的三个点A,B,C能不能作圆?如果能,如何确定所作圆的圆心? 图24-2-4 探究与应用 解:(4)能.因为所求的圆要经过A,B,C三点, 所以圆心到这三点的距离要相等, 因此,圆心既要在线段AB的垂直平分线上, 又要在线段BC的垂直平分线上.作法如下: ①连接AB,BC; ②分别作出线段AB,BC的垂直平分线l1和l2, 它们交于点O; ③以点O为圆心,OA(或OB,OC)为半径作圆, 便可作出经过A,B,C三点的圆(如图). 探究与应用 任意三点不一定能确定一个圆,只有不在同一条直线上的三 个点才能确定一个圆. 防 易错 探究与应用 确定三角形外心的方法 作三角形两条边的　　　　　　,两条　　 　　的交 点为三角形的外心.  记 方法 垂直平分线 垂直平分线 探究与应用 学 方法 确定圆心的“三种方法” ①利用圆的轴对称性:将圆对折两次,确定圆的两条直径,两 条直径的交点即为圆心; ②利用圆周角定理的推论; ③根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆的方法确定 圆心. 探究与应用 [概括新知] 1.确定圆的条件:　　 　　　　　　的三个点确定一个圆.  2.三角形的外接圆与外心:经过三角形的三个　　　 可以作 一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角 形三条边的　　　　　　的交点,叫做这个三角形的外心.  不在同一条直线上 顶点 垂直平分线 探究与应用 [理解应用] 例2 (教材补充例题)图24-2-5是一块残破的轮 片,试作出它所在圆的圆心和半径. 图24-2-5 解:(1)如图,在圆弧上依次取三点A,B,C; (2)连接AB,BC; (3)分别作AB,BC的垂直平分线a,b,它 们相交于点O,点O就是所求作的圆心; (4)连接OB(或OA,OC),OB(或OA,OC)就是这个圆的半径. 探究与应用 变式 分别作出一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆,并比较它们的外心位置有怎样的特点. 解:如图所示. 根据作图可知:锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心就是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形的外部. 探究与应用 三角形外心的位置 锐角三角形的外心在三角形的　　　部,直角三角形的外心 是　　　　　　,钝角三角形的外心在三角形的　　　部.  记 结论 内 斜边的中点 外 探究与应用 活动3　了解反证法的证明思想 [猜想证明] 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗?为什么? 解:不能. 理由:如图,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点, 探究与应用 而l1⊥l,l2⊥l,这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆. 探究与应用 [概括新知] 反证法:假设命题的　　　　不成立,由此经过推理得出矛 盾,由矛盾断定所作　　　　不正确,从而得到　　　　成 立,这种方法叫做反证法.  结论 假设 原命题 探究与应用 [理解应用] 例3 (教材内容)用反证法证明“两直线平行,同位角相等”. 已知:如图24-2-6,AB∥CD,直线EF交AB于点O. 求证:∠1=∠2.(用反证法) 图24-2-6 探究与应用 证明:假设∠1≠∠2,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠2,如图. 根据“同位角相等,两直线平行”,可得A'B'∥CD. 这样,过点O就有两条直线AB,A'B'都平行于CD, 这与平行公理“经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明假设∠1≠∠2不正确,从而∠1=∠2. 探究与应用 学 方法 利用反证法证明的一般步骤 ①假设命题的结论不成立; ②推理得出矛盾; ③假设不成立,断定原命题的结论成立. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 点和圆的 位置关系 点在圆外 位置关系数量化 点在圆上 点在圆内 d > r d = r d < r 点P在圆环内 r<d<R 做圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理：不在同一条直线上 的三个点确定一个圆 一个三角形的外 接圆是唯一的 课堂小结与检测 [检测] 1.☉O的半径为3 cm,若点P在☉O内,则OP的长可能是 (　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm A 课堂小结与检测 2.小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图24-2-7所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出△ABC,则这块玻璃镜的圆心是 (　　) A.AB,AC边上的中线的交点 B.AB,AC边的垂直平分线的交点 C.AB,AC边上的高所在直线的交点 D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点 图24-2-7 B 课堂小结与检测 3.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 (　　) A.有一个内角大于60° B.有一个内角小于60° C.每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60° C 课堂小结与检测 4.如图24-2-8,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心, r为半径作☉C. (1)当r在什么范围内时,点A,B在☉C外? (2)当r在什么范围内时,点A在☉C内,点B在☉C外? 图24-2-8 解:(1)当0<r<3时,点A,B在☉C外. (2)当3<r<4时,点A在☉C内,点B在☉C外. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$