24.2.2　第2课时　切线的判定和性质课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册 人教版 数学 第2课时　切线的判定和性质 第二十四章 圆 - 第2课时　切线的判定和性质 探究与应用 课堂小结与检测 第二十四章　圆 活动1　理解并掌握切线的判定定理 [问题情境] 1.如图24-2-14,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是　　　　;直线l和☉O的位置关系是　　　　,理由:            　　　　　　　　 .  OA的长 图24-2-14 相切 当圆心到直线的距离等于该圆的半径时,直线 就是圆的一条切线 探究与应用 2.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线,能画几条? 解:首先连接圆上这点和圆心得半径,再过圆上这点作半径的垂线,这条垂线就是圆的切线.能画一条. 探究与应用 [概括新知] 切线的判定定理:经过半径的　　　　并且　　　　这条半 径的直线是圆的切线.  外端 垂直于 探究与应用 学 方法 判定圆的切线的“三种方法” ①定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线; ②求值法(d=r):到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切 线; ③判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材补充例题)判断下列说法是否正确: (1)经过半径外端的直线是圆的切线. (　　) (2)与半径垂直的直线是圆的切线. (　　) (3)经过半径的端点且与该半径垂直的直线是圆的切线. (　　) (4)经过直径的端点且与该直径垂直的直线是圆的切线. (　　) × × × √ 探究与应用 例2 (教材补充例题)如图24-2-15,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在☉O上,∠CAB=30°.求证:CD是☉O的切线. 证明:如图,连接OC,BC. ∵AB为☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠CAB=30°,∴∠ABC=60°. 又∵OB=OC,∴△BOC为等边三角形, 图24-2-15 探究与应用 ∴BC=OB,∠OCB=60°. 又∵BD=OB, ∴BC=BD,∴∠BCD=∠D. ∵∠ABC=∠BCD+∠D=60°, ∴∠BCD=30°, ∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°, 即OC⊥CD. 又∵点C在☉O上,∴CD是☉O的切线. 图24-2-15 探究与应用 证切线时辅助线的添加方法 ①有交点,连半径,证垂直; ②无交点,作垂直,证半径. 得 锦囊 探究与应用 活动2　理解并掌握切线的性质定理 [猜想证明] 如图24-2-16,如果直线l是☉O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?证明你的结论. 图24-2-16 解:半径OA⊥l. 证明:假设直线l不垂直于半径OA,过点O作OA'⊥l,垂足为A'. 根据垂线段最短,可得OA'<OA,这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA,于是直线l与☉O相交,这与直线l与☉O相切矛盾,因此半径OA⊥l. 探究与应用 [概括新知] 切线的性质定理:圆的切线　　　　过切点的半径.  垂直于 探究与应用 [理解应用] 例3 (教材补充例题)如图24-2-17,AB为☉O的直径,PQ与☉O相切于点E,AC⊥PQ于点C.求证:AE平分∠BAC. 图24-2-17 证明:连接OE,如图. ∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAE. ∵PQ与☉O相切于点E,∴OE⊥PQ. 又AC⊥PQ,∴OE∥AC,∴∠OEA=∠EAC, ∴∠OAE=∠EAC,即AE平分∠BAC. 探究与应用 利用圆的切线的性质定理时常见的辅助线的作法 已知圆的切线时,经常连接圆心和切点,得到半径垂直于切线, 通过构造直角三角形解决问题,即“见切线,连半径,得垂直”. 得 锦囊 探究与应用 例4 (教材典题)如图24-2-18,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线. 图24-2-18 证明:如图,过点O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA. ∵☉O与AB相切于点D,∴OD⊥AB. 又△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ∴AO是∠BAC的平分线, ∴OE=OD,即OE是☉O的半径. 这样,AC经过☉O的半径OE的外端E,并且垂直于半径OE,所以AC与☉O相切. E 探究与应用 [本课时认知逻辑] 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 有1个公共点 d=r 经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线 证切线时常见辅助线添 加方法：①有公共点， 连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直， 证半径 课堂小结与检测 切线的 性质 性质定理 有1个公共点 d=r 圆的切线垂 直于过切点 的半径 有切线时常见辅 助线添加方法： 见切线，连半径， 得垂直 课堂小结与检测 C [检测] 1.(2022河池)如图24-2-19,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是 (　　) A.25° B.35° C.40° D.50° 图24-2-19 课堂小结与检测 2.如图24-2-20,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 (　　) A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6 图24-2-20 B 课堂小结与检测 3.如图24-2-21所示,A是☉O上一点,且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是　　　　.  图24-2-21 相切 课堂小结与检测 4.如图24-2-22,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数为　　　　时,AC才能成为☉O的切线.  图24-2-22 60° 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$