24.2.2　第3课时　切线长定理和三角形的内切圆.课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册 人教版 数学 第3课时　切线长定理和三角形的内切圆 第二十四章 圆 - 第3课时　切线长定理和三角形的内切圆 探究与应用 课堂小结与检测 第二十四章　圆 活动1　理解切线长的概念,掌握切线长定理 [问题情境] 1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画出☉O的所有切线. 解:两条.画图如下. 图24-2-23 探究与应用 2.设第1题中所画两条切线与☉O的切点分别为A,B,连接PO. (1)依题意补全图形; 解:(1)补全图形如下. 图24-2-23 A B 探究与应用 (2)切线长是指哪两条线段的长?这两条线段有什么关系?图中∠APO和∠BPO有什么关系?请说明理由. (2)切线长是指线段PA与PB的长;PA=PB;∠APO=∠BPO. 理由:连接OA和OB. ∵PA和PB是☉O的两条切线, ∴OA⊥PA,OB⊥PB. 又OA=OB,PO=PO,∴Rt△AOP≌Rt△BOP, ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 图24-2-23 A B 探究与应用 切线长定理的基本图形 如图,PA,PB为☉O的切线,此图形中含有: ①一条特殊的角平分线(OP平分∠AOB,PO平分∠APB); ②两个等腰三角形(△PAB,△OAB); ③三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB). 记 图形 探究与应用 [概括新知] 1.切线长的概念:经过圆外一点的圆的切线上,这点和            之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.  2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的 　　　　相等,这一点和圆心的连线平分　　　　　 　　. 切点 切线长 两条切线的夹角 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材补充例题)已知:如图24-2-24,四边形ABCD的边AB, BC,CD,DA与☉O分别相切于点E,F,G,H. 求证:AB+CD=AD+BC. 图24-2-24 证明:∵AB,BC,CD,DA与☉O分别相切于点E,F,G,H, ∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH, ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH, 即AB+CD=AD+BC. 探究与应用 例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°. 求:(1)△PEF的周长; 图24-2-25 解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线, ∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB, ∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB= 12+12=24(cm). 探究与应用 (2)∠EOF的度数. (2)连接OA,OB,OQ. ∵PA,PB,EF均是☉O的切线, ∴PA⊥OA,PB⊥OB,EF⊥OQ,∠AEO=∠QEO,∠QFO=∠BFO, ∴∠EAO=∠EQO=∠FQO=∠FBO=90°, ∴∠AOE=∠QOE,∠BOF=∠QOF. ∵∠AOB=360°-90°-90°-∠P=110°, ∴∠EOF=∠QOE+∠QOF=∠AOB=55°. 探究与应用 活动2　了解三角形的内切圆、内心的概念,会作三角形的内切圆 [问题情境] 图24-2-26是一块三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切? 图24-2-26 探究与应用 解:如图,分别作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN,设它们相交于点I,那么点I到AB,BC,CA的距离都相等,以点I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则☉I与△ABC的三条边都相切,☉I就是所求作的圆. I N M D 探究与应用 [概括新知] 三角形的内切圆与内心:与三角形各边都　　　　的圆叫做 三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形　　　　　　　的 交点,叫做三角形的内心.  相切 三条角平分线 探究与应用 学 方法 三角形内切圆半径的求法 ①利用等面积法,任意三角形内切圆的半径r=; ②利用切线长定理,可得直角三角形内切圆的半径r=(a+b-c) (c为斜边长); ③连接内心和切点、顶点,构造直角三角形求解. 探究与应用 [理解应用] 例3 (教材典题)如图24-2-27,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13.求AF,BD,CE的长. 图24-2-27 解:设AF=x,则AE=x, CD=CE=CA-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得(9-x)+(13-x)=14,解得x=4. 因此AF=4,BD=5,CE=9. 探究与应用 变式 已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC的内切圆的半径为 (　　) A.　　　　　　B.　　　　　　C.2　　　　　　D.3 A 探究与应用 [本课时认知逻辑] 切线长 切线长 定理 原理 图形的轴对称性 作用 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 ①分别连接圆心和切点； ②连接两切点； ③连接圆心和圆外一点 三角形的 内切圆 有关概念 内心的概念及性质 应用 运用切线长定理，将相等线段通过转 化集中到某条边上，从而建立方程 课堂小结与检测 A [检测] 1.三角形内切圆的圆心是 (　　) A.三条内角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高所在直线的交点 课堂小结与检测 2.如图24-2-28,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,下列结论中错误的是 (　　) A.PA=PB B.∠OPA=∠OPB C.OP垂直平分AB D.∠APB=60° 图24-2-28 D 课堂小结与检测 3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 D 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$