24.1.4　圆周角 课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册

九年级上册 人教版 数学 24.1.4　圆周角 第二十四章 圆 - 24.1.4　圆周角 探究与应用 课堂小结与检测 第二十四章　圆 活动1　了解圆周角的概念 [初识概念] 圆周角:在圆中,除圆心角外,还有一类角(如图24-1-20中的 ∠ACB),它的　　　　在圆上,并且两边都与圆　　　　,我 们把这样的角叫做圆周角. 图24-1-20 顶点 相交 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材补充例题)如图24-1-21,∠APB是圆周角的是(　　) 图24-1-21 D 探究与应用 圆周角必须具备两个条件 ①顶点在圆上; ②两边都与圆相交. 记 关键 探究与应用 活动2　探究并掌握圆周角定理 [操作猜想] 用量角器分别测量图24-1-22的各圆中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数,填入下表,观察分析它们之间有什么关系,并用一句话表述你发现的规律. 图24-1-22   图① 图② 图③ ∠BAC       ∠BOC       探究与应用 解:填表略,∠BAC=∠BOC. 规律:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 探究与应用 圆周角定理的应用 利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,可以 借助同弧,实现圆心角与圆周角之间的数量转化. 知 应用 探究与应用 [推理证明] 1.请你根据图24-1-22中的各种情况,证明你发现的规律. 证明:(1)如图①,当圆心O在∠BAC的一边上时. 图24-1-22 证明:(1)∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA. 又∠BOC=∠BAC+∠OCA, ∴∠BAC=∠BOC. 探究与应用 (2)如图②,当圆心O在∠BAC的内部时. 图24-1-22 (2)连接AO并延长交☉O于点D,如图①. D 由(1)的结论得∠BAD=∠DOB,∠CAD=∠DOC, ∴∠BAD+∠CAD=∠DOB+∠DOC =(∠DOB+∠DOC), 即∠BAC=∠BOC. 探究与应用 (3)如图③,当圆心O在∠BAC的外部时. 图24-1-22 (3)连接AO并延长交☉O于点D,如图②. D 由(1)的结论得∠BAD=∠DOB,∠CAD=∠DOC, ∴∠CAD-∠BAD=∠DOC-∠DOB =(∠DOC-∠DOB), 即∠BAC=∠BOC. 探究与应用 2.一条弧所对的圆心角有几个?所对的圆周角有几个? 解:一条弧所对的圆心角有一个;所对的圆周角有无数个. [概括新知] 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 　　　　.  一半 探究与应用 活动3　掌握圆周角定理的两个推论 [操作猜想] (1)如图24-1-23①,A,B是☉O上的两个定点,改变动点C在上的位置,看看圆周角∠ACB的度数有没有变化,你发现了什么? 图24-1-23 解:(1)圆周角∠ACB的度数没有发生变化. 发现:同弧所对的圆周角相等. 探究与应用 (2)如果把(1)中发现的结论中的“同弧”改为“等弧”,结论还正确吗? (3)如图②,半圆所对的圆周角是多少度?90°的圆周角所对的弦具有什么特点? 图24-1-23 解:(2)正确. (3)半圆所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是直径. 探究与应用 [概括新知] 推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角　　　　.  (2)半圆(或直径)所对的圆周角是　　　　,90°的圆周角所 对的弦是　　　　.  相等 直角 直径 探究与应用 [理解应用] 例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为 6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长. 图24-1-24 解:如图,连接OD. ∵AB是直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中, BC==8(cm). 探究与应用 ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2, ∴AD=BD=AB=×10=5(cm). 探究与应用 学 方法 (1)等角转换转移条件关系 利用同弧或等弧所对的圆周角相等可实现等角转换,将条件 集中于同一个三角形中或者转移至有关系的角之间. (2)圆中常添辅助线——“见直径,作直角” 当题目中出现直径时,通常作出直径所对的圆周角,可得直 角,进而构造直角三角形解决问题. 探究与应用 活动4　理解并掌握圆内接四边形的性质 [观察猜想] 已知:如图24-1-25,四边形ABCD内接于☉O,则∠A与∠C,∠B与∠D之间有什么数量关系?证明你的结论. 图24-1-25 探究与应用 解:∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°. 证明:如图,连接OB,OD. ∵∠A所对的弧为,∠C所对的弧为, 又和所对的圆心角的和是周角, ∴∠A+∠C==180°. 同理∠B+∠D=180°. 探究与应用 [概括新知] 圆内接四边形及其性质: 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫 做　　 　　　,这个圆叫做这个多边形的　　　　.  性质:圆内接四边形的　　　　互补.  圆内接多边形 外接圆 对角 探究与应用 [理解应用] 例3 (教材补充例题)在圆内接四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C的度数之比是2∶3∶6,求这个四边形各个角的度数. 解:设∠A,∠B,∠C的度数分别为2x,3x,6x. ∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°, ∴2x+6x=180°,∴x=22.5°, ∴∠A=45°,∠B=67.5°,∠C=135°, ∴∠D=180°-∠B=180°-67.5°=112.5°. 探究与应用 变式1 如图24-1-26,四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠BOD=80°,则∠BCD=　　　　°.  图24-1-26 140 探究与应用 变式2 如图24-1-27,四边形ABCD为☉O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于 (　　) A.20°　　　　　　B.40°　　　　　　 C.80°　　　　　　D.100° 图24-1-27 C 探究与应用 [本课时认知逻辑] 圆周角 圆心角 类比 圆周角 的定义 圆周角与直 径的关系 圆周角定理 圆周角定理 的推论 课堂小结与检测 [检测] 1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则∠AOC的度数为 (　　) A.140° B.130° C.120° D.110° 图24-1-28 A 课堂小结与检测 2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则∠DBC的度数是 (　　) A.50° B.45° C.40° D.35° 图24-1-29 C 课堂小结与检测 3.如图24-1-30,在☉O中,A是的中点,∠ADC=24°,则∠AOB的度数是 (　　) A.24° 　　　　　B.26° C.48° 　　　　　D.66° 图24-1-30 C 课堂小结与检测 4.如图24-1-31,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径, ∠ADC=130°,连接AC,则∠BAC的度数为　　　　.  图24-1-31 40° 课堂小结与检测 5.(2022日照)一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图24-1-32所示的测量,测得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为　　　　.  图24-1-32 cm 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$