24.1.2　垂直于弦的直径课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册 人教版 数学 24.1.2　垂直于弦的直径 第二十四章 圆 - 24.1.2　垂直于弦的直径 探究与应用 课堂小结与检测 第二十四章　圆 活动1　理解并掌握圆的轴对称性 [操作尝试] 剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么? 解:沿着圆的任意一条直径对折,直径两侧的部分总能重合. 探究与应用 [推理证明] 求证:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 证明:如图,设CD是☉O的任意一条直径, A为☉O上点C,D以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD,交☉O于点A’, 垂足为M,连接OA,OA'. 在△OAA'中,∵OA=OA',∴△OAA'是等腰三角形. 探究与应用 又AA'⊥CD,∴AM=MA'. 即CD是AA'的垂直平分线. 这就是说,对于圆上任意一点A, 在圆上都有关于直线CD的对称点A’, 因此☉O关于直线CD对称. 探究与应用 [概括新知] 圆的轴对称性: (1)圆是　　　　 图形,任何一条直径所在直线都是圆的 　 　　　.  (2)圆有　　　　条对称轴.  轴对称 对称轴 无数 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材补充例题)下列说法正确的是 (　　) A.每一条直径都是圆的对称轴　 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线 C 探究与应用 活动2　理解并掌握垂径定理 [问题情境] 1.如图24-1-6所示,从上面[操作尝试]的解答过程可知,如果☉O的直径CD垂直于弦AA',垂足为M,那么 点A和点A'是对称点,图中除OC=OD外,还 有哪些相等的线段和劣弧? 图24-1-6 探究与应用 解:由圆的轴对称性可知,把圆沿着直径CD折叠时, AM与A'M,与,与分别重合, 所以AM=A'M,,. 探究与应用 2.(1)如图24-1-7,若直径CD与弦AA'相交于点M,且CD平分AA',弦AA'不过圆心O,则CD垂直于AA'吗?图中还有哪些劣弧相等? (2)在(1)中,若弦AA'过圆心O,上面得到的 结论还成立吗? 图24-1-7 探究与应用 解:(1)连接OA,OA'. ∵CD平分弦AA', ∴AM=A'M. 又∵OA=OA',∴CD⊥AA', ∴点A与点A'关于直线CD对称,和对称,和对称, ∴,. (2)不一定成立. 探究与应用 垂径定理及其推论的推广——“知二推三” 垂径定理所含的五个论断:①过圆心,②垂直于弦,③平分弦 (不是直径),④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧,若把 其中两个论断作为条件,则可推出另外三个论断. 可 推广 探究与应用 [概括新知] 垂径定理及其推论: 垂径 定理 文字表述 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 符号语言 如下图,已知CD是☉O的直径,CD⊥AB,垂足为E,则AE=　 　,=　 　,=　　　  BE 探究与应用 图 形 推 论 文字 表述 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 　　　　　　　　　　  符号 语言 如上图,已知CD是☉O的直径,AB为弦,AE=BE,则CD⊥　　　　,=　　 　,=　　 　  平分弦所对的两条弧 AB 探究与应用 [理解应用] 例2 (教材补充例题)如图24-1-8,A是☉O上一点,连接OA,弦BC⊥OA于点D.若OD=2,AD=1,则BC的长为 (　　) A.2　　　　 B.4　　　　 C.2　　　　　 D.2 图24-1-8 A 探究与应用 例3 (教材典题)赵州桥(如图24-1-9)是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 图24-1-9 探究与应用 解:如图,用表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足, OC与相交于点C,连接OA. 根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点, CD就是拱高. 由题设可知AB=37,CD=7.23, 探究与应用 所以AD=AB=×37=18.5,OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2, 即R2=18.52+(R-7.23)2, 解得R≈27.3. 因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m. 探究与应用 变式 AB,CD是☉O的两条平行弦,☉O的直径为10 cm, AB=8 cm, CD=6 cm,则AB,CD之间的距离为　　　　　　.  1 cm或7 cm 探究与应用 [本课时认知逻辑] 垂径 定理 内容 推论 辅助线 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 有下列五个论断： ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. 一条直线满足其中两个论断，就可以推出另 外三个论断(“知二推三”) 两条辅助线：连半径;过圆心作弦的垂线段 基本图形及 变式图形 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建 立方程 课堂小结与检测 [检测] 1.圆是轴对称图形,它的对称轴有 (　　) A.1条　　 B.2条　　 C.4条　　 D.无数条 D 课堂小结与检测 2.下列说法中正确的是 (　　) A.垂直于弦的直线必经过圆心 B.平分弦的直径必平分弦所对的弧 C.平分弦的直径垂直于弦 D.弦的垂直平分线必经过圆心 D 课堂小结与检测 3.如图24-1-10,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5 cm, CD=8 cm,则AE的长为 (　　) A.8 cm 　　　　B.5 cm C.3 cm 　　　　D.2 cm 图24-1-10 A 课堂小结与检测 4.如图24-1-11是一款拱门的示意图,其中拱门最下端AB=18分米,C为AB的中点,D为拱门最高点,圆心O在线段CD上, CD=27分米,求拱门所在圆的半径. 图24-1-11 解:连接OA,如图所示. ∵CD过圆心,C为AB的中点, ∴CD⊥AB. ∵AB=18分米,C为AB的中点, ∴AC=BC=9分米. 课堂小结与检测 设拱门所在圆的半径为x分米,则OA=OD=x分米. ∵CD=27分米, ∴OC=(27-x)分米. 在Rt△OAC中,由勾股定理,得AC2+OC2=OA2, 即92+(27-x)2=x2,解得x=15. 答:拱门所在圆的半径是15分米. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$