2024-2025学年苏科版八年级上学期数学第9周阶段性训练模拟练习

江苏连云港市海滨中学2024-2025学年八上数学第9周阶段性训练模拟练习 一．选择题（共6小题） 1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合．若∠OEC＝136°，则∠BAC的大小为（　　） A．44° B．58° C．64° D．68° 2．如图，数轴上点A对应的数是1，点B对应的数是2，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A．1.4 B． C． D．2.4 3．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，CN的长为（　　） A．7 B． C． D．15 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　） A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.5 5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（　　） A．5 B．2 C．4 D．3 6．如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB＝2，BC＝4，则AF的长是（　　） A．2 B．2.5 C．2.8 D．3 二．填空题（共10小题） 7．如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为　 　长． 8．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 　 　． 9．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为 　 　． 10．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝5，AD＝4．则边AC的取值范围是　 　． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝38°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝　 　． 12．如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为　 　． 13．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为　 　． 14．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝9cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是　 　． 15．如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP＝BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要　 　cm． 16．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　． 三．解答题（共11小题） 17．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x． （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x． 因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝　 　． （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程； （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得ad＝bc） 18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0） （1）在AC上是否存在点P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （2）若点P恰好在△ABC的角平分线上，请求出t的值，说明理由． 19．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，过程如下： 过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE． ∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°． ∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC． 又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB． 又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB． （1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明． （2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝　 　，CB＝　 　． 20．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE． （1）求证：AD＝BE； （2）已知AC＝8，求点C到BE之间的距离． 21．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米． （1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？ 22．在长方形纸片ABCD中，AB＝8，P是边BC上一点，BP＝6．将纸片沿AP折叠后，点B的对应点记为点O，PO的延长线恰好经过该长方形的顶点D． （1）试判断△ADP的形状，并说明理由； （2）求AD长． 23．阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积． 24．已知，△ABC是边长8cm的等边三角形，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动，运动时间为t （1）如图1，t＝　 　s时，△PBC是直角三角形； （2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q分别以1cm/s和2cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由． 25．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：BE＝CF； （2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长． 26．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 27．问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC． 求证：△ABD≌△ACE； 探索：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD2、BD2、CD2之间满足的数量关系，并证明你的结论； 应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，求AD的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．【解答】解：如图连接OB、OC． 在△AOB和△AOC中， ， ∴△AOB≌△AOC， ∴OB＝OC， ∵OD垂直平分AB， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，设∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA＝x． ∵∠OEC＝136°，EO＝EC， ∴∠EOC＝∠ECO＝（180°﹣∠OEC）＝22°， ∴∠OBC＝∠OCE＝22°， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴4x+2×22°＝180°， ∴x＝34°， ∴∠BAC＝2x＝68°， 故选：D． 2．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2﹣1＝1，BC＝1， 由勾股定理得，AC＝＝， 则点D表示的数为+1． 故选：C． 3．【解答】解：∵将长方形ABCD沿直线MN折叠，使点C与点A重合， ∴AN＝CN， 设CN＝x，则AN＝CN＝x， ∵AB＝8， ∴BN＝8﹣x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°， 在Rt△CBN中，CN2＝NB2+BC2， 又∵BC＝6， ∴x2＝（8﹣x）2+62， 解得，x＝， 故选：B． 4．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， 在AB上取一点G，使AG＝AF， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， ∴FE＝EG， ∴CE+EF＝CE+EG， 则当点C，E，G三点在一条直线且CG垂直AB时，CG的值最小， ∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CG， ∴3×4＝5CG， ∴CG＝， ∴CE+EF的最小值为， 故选：C． 5．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB＝30°， ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝30°， ∴∠DAF＝∠F＝30°， ∴AD＝DF， ∵AB＝6，∠B＝30°， ∴AD＝AB＝3， ∴DF＝3， 故选：D． 6．【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠FAC＝∠ACB， 由翻转变换的性质可知，∠FCA＝∠ACB， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴FA＝FC， 在Rt△CDF中，FC2＝DF2+CD2，即FA2＝（4﹣AF）2+22， ∴AF＝2.5， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 7．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 设等楼梯的长为xm， ∵圆柱高16m，底面周长8m， ∴x2＝（1×8+4）2+162＝400， ∴登梯至少＝20（m）， 故答案为：20m． 8．【解答】解：作DD′⊥AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD＝∠AFD′， ∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′＝45°， ∴AP′＝P′D′， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16， ∵AP′＝P′D'， 2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16， ∴P′D′＝2， 即DQ+PQ的最小值为2， 故答案为：2． 9．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4， A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1． 故答案为：2n﹣1． 10．【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB． 在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+EC， ∴8﹣5＜AC＜8+5， 即3＜AC＜13， 故答案为：3＜AC＜13． 11．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝38°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝52°． 由折叠的性质可知：DA＝DP＝DB，∠DCP＝∠DCB． 又∵△ABC为直角三角形， ∴DC＝AB， ∴DC＝DA＝DB， ∴∠ACD＝∠A＝38°，∠DCB＝∠B＝52°， ∴∠DCP＝52°， ∴∠ACP＝∠DCP﹣∠ACD＝52°﹣38°＝14°． 故答案为：14°． 12．【解答】解：过点P作FG⊥AD交AD于F，交BC于G， ∵AD∥BC， ∴FG⊥BC， ∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB， ∴PF＝PE＝1， ∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC， ∴PG＝PE＝1， ∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG＝2， 故答案为：2． 13．【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是＝； 当5是斜边时，则第三边是3． 故答案为：和3． 14．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BEA＝90°， 又∵∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠FAE+∠FEA+∠AFE＝180°，且∠BFD＝∠AFE， ∴∠FBD＝∠FAE， 又∵∠ABC＝45°，∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝45°， ∴BD＝AD，且∠ADC＝∠BDF＝90°，∠FBD＝∠FAE， ∴△ADC≌△BDF（ASA） ∴BF＝AC＝9cm， 故答案为：9cm． 15．【解答】解：将长方体展开，连接A、P， ∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP＝BC， ∴AC＝4cm，PC＝BC＝3cm， 根据两点之间线段最短，AP＝＝5（cm）． 故答案为：5． 16．【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线， ∴点B关于AD的对称点B′在AC上， 过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M， 由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN， 过点B作BE⊥AC于E， ∵AC＝10，S△ABC＝25， ∴×10•BE＝25， 解得BE＝5， ∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称， ∴AB＝AB′， ∴△ABB′是等腰三角形， ∴B′N＝BE＝5， 即BM+MN的最小值是5． 故答案为：5． 三．解答题（共11小题） 17．【解答】解：（1）∵a﹣x+b﹣x＝c， ∴x＝， 故答案为：； （2）∵S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC， ∴， 解得x＝， 即正方形IECF的边长是； （3）由（1）和（2）可得， ＝， ∴2ab＝（a+b﹣c）（a+b+c）， ∴2ab＝[（a+b）﹣c][（a+b）+c]， ∴2ab＝（a+b）2﹣c2， ∴2ab＝a2+2ab+b2﹣c2， ∴c2＝a2+b2， ∴勾股定理成立． 18．【解答】解：（1）如图1，设存在点P，使得PA＝PB， 此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t， 在Rt△PCB中， PC2+CB2＝PB2， 即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2， 解得：t＝， ∴当t＝时，PA＝PB； （2）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上， 此时t＝2或t＝3.5秒； 当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，如图2， 此时AP＝2t，PC＝PM＝4﹣2t， △APB的面积＝PM•AB＝BC•AP， ∴AP：AB＝PM：BC， 即：2t：5＝（4﹣2t）：3， 解得：t＝； 当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，如图3， 此时BP＝7﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4）， △APB的面积＝PN•AB＝BP•AC， ∴BP：BA＝PN：AC， 即：（7﹣2t）：5＝（2t﹣4）：4， 解得：t＝， 综上，当t＝2s或3.5s或s或s时，点P在△ABC的角平分线上． 19．【解答】解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．理由如下： 过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD， ∴∠BCD＝∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD， ∵∠AFC＝∠BFD， ∴∠CAE＝∠D， 在△ACE和△DCB中，， ∴△ACE≌△DCB（ASA）， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE＝CB． 又∵BE＝AB﹣AE， ∴BE＝AB﹣BD， ∴AB﹣BD＝CB． 如图（3）：BD﹣AB＝CB．理由如下： ：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD， ∵∠AFB＝∠CFD， ∴∠CAE＝∠D， 又∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE＝CB． 又∵BE＝AE﹣AB， ∴BE＝BD﹣AB， ∴BD﹣AB＝CB． （2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况， ∴综合了第一个图和第二个图两种情况， 若是第1个图：由（1）得：△ACE≌△DCB，CE＝CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴∠AEC＝45°＝∠CBD， 过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形． BD＝BH， ∴BH＝DH＝1． 直角△CDH中，∠DCH＝30°， ∴CD＝2DH＝2，CH＝． ∴CB＝+1； 若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H． 解法类似上面，CD＝2，得出CB＝﹣1； 故答案为：2，+1或﹣1． 20．【解答】（1）证明： ∵△ABC和△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （2）解： 由（1）可知△ACD≌△BCE， ∴S△ACD＝S△BCE， 设C到BE的距离为h，则AD•CO＝BE•h， ∴h＝CO， ∵AO平分∠BAC， ∴CO＝BC＝AC＝4， 即点C到BE的距离为4． 21．【解答】解：（1）根据勾股定理： 所以梯子距离地面的高度为：AO＝（米）； （2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米）， 根据勾股定理：OB′＝＝2（米）， 所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米）， 答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米． 22．【解答】解：（1）△ADP为等腰三角形； 理由：由翻折可得∠APB＝∠APD， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB， ∴∠DAP＝∠APD， ∴AD＝DP， ∴△ADP为等腰三角形； （2）由翻折可知PO＝BP＝6，AO＝AB＝8，∠AOD＝∠AOP＝∠B＝90°， 设AD的长为x． ∵AD＝DP， ∴OD＝x﹣6， 在直角△AOD中有AD2＝AO2+OD2， ∴x2＝64+（x﹣6）2， 解得x＝， 即AD的长为． 23．【解答】解：（1）由题意可得， AE＝AC＝5，∠EAC＝90°， 则△EAC的面积是：（cm2）， 即四边形ABCD的面积为12.5cm2， 故答案为：12.5； （2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH， 在△GFH和△NFO中， ， ∴△GFH≌△NFO（SAS）， ∴FH＝FO， ∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO， ∴HM＝OM， 在△HFM和△OFM中， ， ∴△HFM≌△OFM（SSS）， ∵△OFM的面积是：cm2， ∴△HFM的面积是12.5cm2， ∴四边形HFOM的面积是25cm2， ∴五边形FGHMN的面积是25cm2． 24．【解答】解：当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°， 而∠BPC＝90°，则∠BCP＝30°， ∴BP＝BC＝4， 所以t＝4（s）， 故答案为4； （2）当∠BPQ＝90°时，BP＝0.5BQ， 而BP＝8﹣2t，BQ＝2t， ∴8﹣t＝0.5×2t，所以t＝4； 当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， ∴8﹣t＝2×2t，所以t＝； 所以t＝4或； （3）相等，如图所示： 作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG， ∴∠G＝∠AEP， 在△EAP和△GCQ， ， ∴△EAP≌△GCQ（AAS）， ∴PE＝QG， ∴△PCD和△QCD同底等高， 所以面积相等． 25．【解答】（1）证明：连接DB、DC． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵DG垂直平分BC， ∴DB＝DC， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AF＝AE＝6， 由（1）得：BE＝CF， ∵△ABC的周长＝AB+AC+BC， ＝AE+EB+AF﹣CF+BC， ＝AE+AF+BC＝20， ∴BC＝20﹣12＝8． 26．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP＝BQ， 在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）； （2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分） （3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分） 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM， ∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°． 27．【解答】问题： 证明：在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， 探索： 解：结论：2AD2＝BD2+CD2， 理由是：如图2中，连接EC． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∵△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴DE2＝CE2+CD2， Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2， ∴2AD2＝BD2+CD2； 应用： 解：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG， 则△DAG是等腰直角三角形， ∴∠ADG＝45°， ∵∠ADC＝45°， ∴∠GDC＝90°， 同理得：△BAD≌△CAG， ∴CG＝BD＝6， Rt△CGD中，∵CD＝2， ∴DG＝＝＝＝4， ∵△DAG是等腰直角三角形， ∴AD＝AG＝4．书面同意 学科网（北京）股份有限公司 $$