绝对值不等式、分式不等式、高次不等式复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

南航苏州附中高一数学期中复习专题——绝对值不等式、分式不等式、高次不等式 绝对值不等式、分式不等式、高次不等式的解法 班级 姓名 一、基本方法梳理 1.分式不等式的解法：将分式化成整式不等式： (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2.高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： ①标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的整式，右侧化为0的形式； ②分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式） 的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； ③求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； ④穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“奇过偶不过”； ⑤得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 3.绝对值不等式的解法（其中(1)，(2)，(3)，（4）中的a,b,g(x)均为正，（4）中c为正） （1）； 推广： ； （2）或； 推广：或； （3）或；（4）； （5）与的三种解法： ①数轴上的几何意义：在数轴上的几何意义表示为到两定点的距离之和，； 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距离之差，. ②采用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （6）绝对值三角不等式： ①，对于，当且仅当时，等号成立． ② ，当且仅当时等号成立． 二、基础训练 1.不等式的解集是 （    ） A． B． C． D． 2.不等式的解集是 （     ） A． B． C． D． 3.不等式的解集是 ． 4.不等式的解集为 （     ） A． B． C． D． 5.不等式的解集为 ． 6.不等式的解集为 （     ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 三、典题解析 1.已知集合，，则 （     ） A． B．或 C．或 D．或 2.已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 . 3.设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 4.已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 5.已知为实数集，集合，集合，则)=（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6.已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 四、课后作业 1.“”是“”的 （     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.不等式的解集是 ． 3.不等式的解集为 ． 4.分式不等式的解集为 ． 5.不等式的解集是 ． 6.已知函数. (1)当时，求函数的零点；(2)当时，求不等式的解集. 7.已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 8.已知函数，. (1)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围； (2)若不等式有解，求实数m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南航苏州附中高一数学期中复习专题——绝对值不等式、分式不等式、高次不等式 绝对值不等式、分式不等式、高次不等式的解法 班级 姓名 一、基本方法梳理 1.分式不等式的解法：将分式化成整式不等式： (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2.高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： ①标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的整式，右侧化为0的形式； ②分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式） 的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； ③求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； ④穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“奇过偶不过”； ⑤得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 3.绝对值不等式的解法（其中(1)，(2)，(3)，（4）中的a,b,g(x)均为正，（4）中c为正） （1）； 推广： ； （2）或； 推广：或； （3）或；（4）； （5）与的三种解法： ①数轴上的几何意义：在数轴上的几何意义表示为到两定点的距离之和，； 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距离之差，. ②采用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （6）绝对值三角不等式： ①，对于，当且仅当时，等号成立． ② ，当且仅当时等号成立． 二、基础训练 1.不等式的解集是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.不等式的解集是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 3.不等式的解集是 ． 【答案】 4.不等式的解集为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 5.不等式的解集为 ． 【解析】由可得，由不等式，解得或， 由不等式，解得，∴不等式组的解集为或 6.不等式的解集为 （    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】A 三、典题解析 1.已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 2.已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 . 【答案】 3.设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【详解】设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2}, 设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1}, 由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m∈. 4.已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为，， 所以．故选：B． 5.已知为实数集，集合，集合，则)=（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】由可得，，解得，或，所以，或.由可得，，解得，，所以，.所以，)=或.故选：C． 6.已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以不等式等价于或或，解得，不等式的解集为 （2）法一：由（1）知：当时，；当时，；当时，.故函数的值域为，即的最小值是3 不等式对一切实数恒成立，，解得 故实数的取值范围是 四、课后作业 1.“”是“”的 （     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 2.不等式的解集是 ． 【答案】 3.不等式的解集为 ．【答案】 4.分式不等式的解集为 ．【答案】 5.不等式的解集是 ．【答案】 6.已知函数. (1)当时，求函数的零点；(2)当时，求不等式的解集. 【详解】（1）当时，，令，得，解得或，故的零点为或. （2）因为， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 又，故解得或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 7.已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【详解】（1）由题意，因为为幂函数， 所以，解得或. 当时，，定义域为，关于原点对称， 显然成立，故为偶函数，符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是偶函数，不符合题意. 故函数. （2）因为，则不等式等价于，即. 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 7.已知函数，. (1)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围； (2)若不等式有解，求实数m的取值范围. 【详解】（1）设，则， 易知当时，单调递减，当时，单调递增，故, 要使对任意的恒成立，需，即，解得，故实数a的取值范围为. （2），当且仅当时等号成立. 因为有解，所以，解得或. 所以实数m的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$