专题 求函数值域　讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

南航苏州附中高一数学期中复习专题——求函数值域 专题 求函数值域 一、基本方法梳理 1.观察法(图像法）：若根据解析式能画出对应函数的图像，可根据图像得出函数值域；若不能画出图像，可根据解析式自变量和函数的变化关系，由定义域的取值范围，推出的取值范围。. 2.单调性法：求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域 3.换元法：适用于形如，， 等如：函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 4.分离常数法：将形如()的函数分离常数，变形过程为： ，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. 二、基础训练 1．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（选做）； 三、例题解析 1．函数的值域是 （   ） A． B． C． D． 2. 函数的值域是 （ ） A. B. C. D. 3. 求函数的值域。 4.（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是 （     ） A． B． C． D． 5．函数的值域为 （    ） A． B． C． D． 6.已知二次函数，，求函数的最值. 四、巩固练习 1．已知函数，则该函数的值域为 ． 2、函数的值域是 （        ） A． B． C． D． 3. 求函数的值域为 . 4．若，则函数的值域为 （     ） A． B． C． D． 5. 求函数的值域为 ． 6．（选做）函数的值域为 （     ） A． B． C． D． 7.（多选）已知函数，若恒成立，则实数m可以是 （     ） A．－3 B． C．4 D．5 8．函数的最小值为 . 9．已知，则的值域为 ． 10．函数， （Ⅰ）画出函数的图象； （Ⅱ）当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）. 11.求函数的最小值. 12.已知二次函数是常数，且）满足条件：且方程有等根． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）问：是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如存在，求出的值；如不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$南航苏州附中高一数学期中复习专题——求函数值域 专题 求函数值域 一、基本方法梳理 1.观察法(图像法）：若根据解析式能画出对应函数的图像，可根据图像得出函数值域；若不能画出图像，可根据解析式自变量和函数的变化关系，由定义域的取值范围，推出的取值范围。. 2.单调性法：求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域 3.换元法：适用于形如，，等如：函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 4.分离常数法：将形如()的函数分离常数，变形过程为： ，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. 二、基础训练 1．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（选做）； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 三、例题解析 1．函数的值域是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当时，单调递增，， 当时，单调递增，，故函数，的值域是．故选：C． 2. 函数的值域是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 3. 求函数的值域。 【答案】 【详解】设，则的对称轴为，所以在上单调递增，所以当时，，所以的值域为 4.（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是 （     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】函数，当定义域是时，函数单调递减， 当时，，当时，，故其值域为，不合题意； 当定义域是时，函数单调递减，当时，，当时，，故其值域为，符合题意； 当定义域是时，函数在单调递减，在单调递增，当时，，当时，，故其值域为，符合题意； 当定义域是时，函数单调递增，当时，，当时，，故其值域为，不合题意.故选：BC. 5．函数的值域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当时，当时，综上可知的值域为，故选：B. 6.已知二次函数，，求函数的最值. 四、巩固练习 1．已知函数，，则该函数的值域为 ． 【答案】 【详解】函数的图像为抛物线，开口向上，对称轴为，故其在区间上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值，没有最大值，无限接近于， 所以该函数的值域为.故答案为：. 2、函数的值域是 （        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因此，函数的值域是.故选：B. 3. 求函数的值域为 . 【答案】 【详解】设，则，函数可化为，对称轴为，所以函数在上单调递减，所以当时，，所以原函数的值域为 4．若，则函数的值域为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为.故选：A. 5. 求函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，则，由及，得，所以，则（），为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增 因此当时，；当时，，故函数的值域为． 6．（选做）函数的值域为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，由于函数，所以，故，故选：B 7.(多选)已知函数，若恒成立，则实数m可以是 （     ） A．－3 B． C．4 D．5 【答案】BCD 【详解】函数，因为，所以，故． 因为恒成立，即，也就是．故选：BCD． 8．函数的最小值为 . 【答案】/-2.5 【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为： 9．已知，则的值域为 ． 【答案】 【详解】令，则，因为，可得，可得， 根据对勾函数的性质，可得函数在上单调递减，单调递增， 所以当时，取得最小值，由当时，；当时，， 所以函数的值域为.故答案为：. 10．函数，  (1)画出函数的图象； (2)当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）. 【详解】（1）函数在上的图象是直线在的部分， 在上的图象是抛物线在的部分， 在上的图象是直线在的部分，函数的图象如图，  （2）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，而，因此，，所以函数在上的值域为. 11.求函数的最小值. 【答案】 12.已知二次函数是常数，且）满足条件：且方程有等根． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）问：是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如存在，求出的值；如不存在，说明理由． 解析：（Ⅰ）． （Ⅱ）因为，所以， 则函数在上递增，所以． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$