11.1与三角形有关的线段 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

与三角形有关的线段 　　你能找出下列图片中的三角形吗？ 问题 　　请你根据小学认识的三角形，判断下列图形是不是三角形． 问题 × × × √ 　　（1）由三条线段组成； 　　（2）三条线段不在同一条直线上； 　　（3）三条线段首尾顺次相接． 　　你能说出三角形有哪些特征吗？ 　　由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 思考 　　在图中，_________________是三角形的边． 　　____________是三角形的顶点． 　　________________是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． A B C 线段 AB，BC，CA 点 A，B，C ∠A，∠B，∠C 　　三角形的相关概念： 　　三角形的表示方法： 　　顶点是 A，B，C 的三角形，记作______，读作“___________”． △ABC 三角形 ABC 　　△ABC 的三边，有时也用 a，b，c 来表示．如图，顶点 A 所对的边 BC 用___表示，顶点 B 所对的边 AC 用___表示，顶点 C 所对的边 AB 用___表示． A B C c a b a b c 　　你还知道三角形边的其他表示方法吗？ 思考 　　观察下列三角形，它们有何特殊之处？试着说出它们的名称． 问题 　　三边都相等的三角形叫做等边三角形，如图（1）； 　　有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如图（2）; 　　图（3）中的三角形是三边都不相等的三角形． A B C A B C A B C （1） （2） （3） 7 　　在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 　　等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． A B C A B C （1） （2） 　　等腰三角形的边还有其他名称吗？等腰三角形与等边三角形有何联系？ 问题 腰 腰 顶角 底边 底角 底角 　　如何按照三个内角的大小对三角形进行分类呢？ 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 思考 　　如何按照边的关系对三角形进行分类呢？ 思考 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底和腰不相等 的等腰三角形 等边三角形 三边都 不相等 的三角形 等腰 三角形 等边 三角形 三角形 　　任意画一个△ABC，从点 B 出发，沿三角形的边到点 C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？ 探究 A B C 　　有两条线路可以选择： 　　一条线路是由点 B到点 C；另一条线路是由点 B 到点 A，再由点 A 到点 C．两条线路的长分别是 BC， AB＋AC．由“两点之间，线段最短”可以得到 AB＋AC＞BC． 11 　　观察下列动图，试着说出你的发现． 探究 探究 AB＋AC＞BC ，即三角形两边的和大于第三边． 　　观察下列动图，试着说出你的发现． 　　观察下列动图，试着说出你的发现． 探究 AC＞BC－AB，即三角形两边的差小于第三边． 　　试着证明你所得到的猜想． A B C 　　AB＋AC＞BC，　　　　　 ① 　　同理，AC＋BC＞AB，　　② 　　AB＋BC＞AC．　　　　　③ 　　即三角形两边的和大于第三边． 　　由不等式②③移项可得 BC＞AB－AC，BC＞AC－AB． 　　即三角形两边的差小于第三边． 　　对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 探究 　　例 1　图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形，并写出它们的边和角． A B C D 　　解：图中有 3 个三角形，分别是△ABC，△ABD，△ADC． 　　△ABC 的三边分别是线段 AB，BC，AC， 三个内角分别是∠BAC，∠B，∠C； 　　△ABD 的三边分别是线段 AB，BD，AD， 三个内角分别是∠BAD，∠B，∠ADB； 　　△ADC 的三边分别是线段 AD，DC，AC， 三个内角分别是∠ADC，∠DAC，∠C． A B C D 　　数三角形个数的常用方法 　 （1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形，由 2 个图形组成的三角形……最后求和）； 　 （2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出另两条边； 　 （3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组． 归纳 　　例 2　用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形． 　 （1）如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ 　　解：设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm． x＋2x＋2x＝18． 　　解得 x＝3.6． 　　所以三边长分别为 3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm． 　　例 2　用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形． 　 （2）能围成有一边的长为 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ 　　分析：因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边， 　　所以需要分情况讨论． 　　 　　解：如果 4 cm 长的边为底边，设腰长为 x cm，则 4＋2x＝18 ，解得 x＝7． 　　如果 4 cm 长的边为腰，设底边长为 x cm，则 　　　 4×2＋x＝18，解得 x＝10． 　　因为 4＋4＜10，不符合三角形两边之和大于第三边，所以不能围成腰长为 4 cm 的等腰三角形． 　　由以上讨论可知，可以围成底边长为 4 cm 的等腰三角形． 　　例 2　用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形． 　 （2）能围成有一边的长为 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ 　　解决等腰三角形问题的关键 　　一分清：分清已知等腰三角形的两边是三角形的腰还是底； 　　二分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论； 　　三验证：解题时一定要检验求得的边长是否满足三角形的三边关系． 归纳 　　在下图中，_________________是三角形的边． 　　____________是三角形的顶点． 　　________________是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． A B C 线段 AB，BC，CA 点 A，B，C ∠A，∠B，∠C 　　1．三角形的相关概念： 　　2．三角形的表示方法： 　　顶点是 A，B，C 的三角形，记作______，读作“___________”． △ABC 三角形 ABC 　　3．三角形按边的相等关系分类： 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 　　（1）__________________________．　 　　（2）__________________________． 　　4．三角形的三边关系： 三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边 　　解：如图， 　　线段 BE，CF 即为所求． 　　如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画_____，____为 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的高． A B C D 　　用同样方法，你能画出△ABC 的另两条边上的高吗？ F E 三角形的高 垂线 垂足 　　你能画出直角三角形和钝角三角形的三条高吗？ 问题 　　你能画出直角三角形和钝角三角形的三条高吗？ 问题 　　你能画出直角三角形和钝角三角形的三条高吗？ 问题 　　试着说出你的发现． 　　（1）锐角三角形的三条高都在三角形的内部，且交于三角形内一点． 　　（2）直角三角形的三条高交于直角顶点． 　　（3）钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点． 归纳 　　解：如图， 　　线段 BE，CF 即为所求． 　　如图，连接△ABC 的_____A 和它所对的边 BC 的_____D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的中线． A B C D 　　用同样方法，你能画出△ABC 的另两条边上的中线吗？ F E 三角形的中线 顶点 中点 　　你能画出直角三角形和钝角三角形的三条中线吗？ 问题 　　三角形的三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 　　试着说出你的发现． 实践 　　取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心． 　　如图，画∠A 的_______AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的角平分线． 　　用同样方法，你能画出△ABC 的另两个角的角平分线吗？ A B C D 　　解：如图， 　　线段 BE，CF 即为所求． F E 三角形的角平分线 平分线 　　你能画出直角三角形和钝角三角形的三条角平分线吗？ 问题 　　试着说出你的发现． 三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部． 　　例 3　如图 ，在△ABC 中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE 分 别是边 BC，AC 上的高，且 AD＝6.5，求 BE 的长． 　　解：在△ABC 中，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的高，已知 AC＝8，BC＝6，AD＝6.5， 根据三角形面积公式，得 　　　　　　　　　　 解得 即 A B C D E 归纳 　　根据三角形面积公式求高 　　解决与三角形高线和面积有关的问题时，根据三角形面积公式可求得不同边上的高． 　　例 4　如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 　　分析：根据 CD 是△ABC 的中线，可得 BD＝AD ． 在△ACD 和△BCD 中，CD 是公共边，所以△ACD 和△BCD 的周长差就是 AC 和 BC 的差． A B C D 　　例 4　如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 　　解：因为CD 是△ABC 的中线， 　　所以BD＝AD． 　　所以△ACD 和△BCD 的周长差为 　　(AC＋CD＋AD)－(BC＋CD＋BD) 　　＝AC－BC＝9－3＝6（cm）， 　　即△ACD 和△BCD 的周长差为 6 cm． A B C D 　　三角形中线常见的两个应用 　 （1）根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角形的周长有关的问题； 　 （2）根据中线把三角形分成面积相等的两部分，用于求解与面积有关的问题． 归纳 　　例 5　如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． 　 （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； 　 （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 　　分析：（1）根据∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4， 　　所以 AD 是 △AEF 和 △ABC 的角平分线； 　 （2）根据 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 可得∠2＋∠3＝∠1＋∠4， 　　所以∠EAF＝　∠BAC． 1 2 3 4 A B E D F C 41 　　例 5　如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． 　 （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； 　 （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 　　解：（1）AEF 　　ABC； 　 （2）因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 　　所以∠2＋∠3＝　(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)，即∠EAF＝　∠BAC． 1 2 3 4 A B E D F C 　　三角形中边角的等量变换——沟通已知与未知的纽带 　　在判断角之间或线段之间的数量关系时，往往根据已知或隐含的相等关系进行等量变换，从而沟通已知与未知，这也体现了数学中的转化思想． 归纳 　　1．三角形的高： 　　从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画_____，____为 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的高． 　 （1）锐角三角形的三条高都在三角形的内部，且交于三角形_______． 　 （2）直角三角形的三条高交于_________． 　 （3）钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形_______． 垂线 垂足 内一点 直角顶点 外一点 　　连接△ABC 的_____A 和它所对的边 BC 的_____D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的中线． 　　三角形的三条中线___________． 　　三角形三条中线的交点叫做三角形的_____． 　　3．三角形的角平分线： 　　画∠A 的_______AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的角平分线． 　　2．三角形的中线： 顶点 中点 相交于一点 重心 平分线 　　工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（如图 1），其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条（如图 2），为什么要这样做呢？ 思考 （1） （2） 　　如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 探究 　　不会改变．也就是说，三角形的三条边长确定后，三角形的形状就确定了． 　　如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 探究 　　会改变．也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变． 　　如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？ 探究 　　不会改变． 　　观察下面动图，试着归纳出结论． 探究 　　观察下面动图，试着归纳出结论． 探究 　　可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性． 　　还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形． 归纳 　　三角形的稳定性有广泛的应用，你能举出一些例子吗？ 问题 钢架桥 起重机 　　三角形的稳定性有广泛的应用，你能举出一些例子吗？ 问题 国家体育场 输电铁塔 　　四边形的不稳定性也有广泛的应用，你能举出一些例子吗？ 问题 活动挂架 伸缩门 　　例 6　以下不是利用三角形稳定性的是（　　）． 　　A．在门框上斜钉一根木条 　　B．高架桥的三角形结构 　　C．伸缩衣挂 　　D．屋顶的三角形钢架 　　解析：伸缩衣挂是四边形结构，利用的是四边形的不稳定性． C 归纳 　　三角形的稳定性——小性质，大用途 　　三角形的稳定性的实质是三角形的各边的长度被确定后，其形状不会再发生改变．现实生活中常常利用这一性质，将原本不稳定的形状转化为三角形，使之稳定． 　　例 7　观察下列图形，回答问题. 　 （1）图形中具有稳定性的是_______（只填序号）； ① ② ③ ④ ⑤ ①④⑤ 　　例 7　观察下列图形，回答问题. 　 （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． ① ② ③ ④ ⑤ 　　答案不唯一． 　　对于比较复杂的图形，只要使整个图形均由三角形构成，就能使整个图形具有稳定性． 归纳 三角形 三边关系 概念与表示 两边的和大于第三边 两边的差小于第三边 分类 边 内角 顶点 按角分类 按边分类 61 $$