基本不等式中的常考模型 讲义-2025届高三数学一轮复习

一轮复习基本不等式的常见模型 1、 知识讲解 1 已知函数，在和上单调递增；在和上单调递减。 2 已知函数，当时，在和上单调递增；在和上单调递减。当时，在定义域内单调递增。 3 由，可得，也可转化为。 4基本不等式：如果都是正数，那么（当且仅当时，等号成立。 ） 5算术平均数与几何平均数：如果都是正数，我们称为的算术平均数，为的几何平均数。 6 重要不等式：，等号成立的条件“”。 考点一 直接利用基本不等式 1 当时，；当时，。 2 基本不等式常见的结论：，（同号），，。 考点二 “1”的活用 如果都是正数，当，求的最小值。 思路：将上述化解为：，接着，然后利用基本不等式（等号成立的条件是：）。 考点三 利用基本不等式求最值问题 利用求最值。 已知，则： (1)如果是定值，那么当且仅当时，有最小值是(积一定和有最小值)。 (2)如果是定值，那么当且仅当时，有最大值是(和一定积有最大值)。 二、例题精析 【考点一、用基本不等式求最值】 【例题1】 已知，求函数的最大值。 【答案】1 【解析】根据题意，构造基本不等式形式，，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。 【例题2】设为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【解析】由已知条件可得，所以，当且仅当时，取得最小值3。 【例题3】函数的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号。 【例题4】已知正数满足 ，则的最大值（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正数满足 ，所以有，当且仅当时取等号。 【方法和总结】：上述构造基本不等式，然后求最值，一定要记住等号成立的条件，如果都是正数，那么（当且仅当时，等号成立）。 【考点二、基本不等式的直接应用】 【例题5】若，则下列不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，又，所以。 【例题6】若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】根据题意，A中应该为；B中应该还有；C中应该是；所以选D。 【例题7】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为，所以（3）正确；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确。 【例题8】（多选）已知，且.则下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】当时，，所以BD选项错误. A， ，当且仅当时，等号成立，A正确. C，，，当且仅当时，等号成立，C正确. 【方法和总结】：如果都是正数，那么（当且仅当时，等号成立） 【考点三、“1”的活用】 【例题9】若正数满足，则的最小值是(　　) A. 　　　　　　　 B. C．5 D．6 【答案】C 【解析】由，，则，当且仅当，即时，等号成立。 【例题10】已知，则的最小值是 A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】：根据题意，上式可转化为。 【例题11】已知x，y都是正数，若，则的最小值为（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，所以，因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当时取“＝”．故A，C，D错误。 【例题12】已知点在直线上，当时，的最小值为______． 【答案】 【解析】因为点在上，所以，所以，当且仅当时等号成立。 【方法和总结】：上述考查基本不等式中的最值，主要方法是构造“1”的活用。 【考点四、基本不等式中函数参数的问题】 【例题13】已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。 【答案】 【解析】根据题意，令， ，。 【例题14】若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】根据   ，当且仅当时，取等号，化简可得，因为，所以，，所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号，又因为恒成立，所以，即k的最大值是4。 【例题15】若两个正实数x，y满足4x+y＝xy，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．{m|﹣4＜m＜1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|m＜0或m＞3} 【答案】C 【解析】若两个正实数x，y满足4x+y＝xy，即＝1，则x+＝（x+）（）＝2+＝4，当且仅当y＝4x，即x＝2，y＝8时取等号，因为不等式恒成立，所以4＞m2﹣3m， 解得，﹣1＜m＜4．故选：C。 【例题16】已知a＞b＞0，，且5a﹣4b≥m恒成立，则m的取值范围为（　　） A． B．（﹣∞，2] C． D．（﹣∞，4] 【答案】：B 【解析】：因为5a﹣4b＝（a﹣b）+（a+b）＝（+）[（a﹣b）+（a+b] ＝（5+××）≥（5+）＝2，当且仅当×＝×，即3（a﹣b）＝a+b时等号成立．故m≤2．故选：B。 【方法和总结】：利用基本不等式求参数的取值范围、。 【考点五、的活用】 【例题17】已知，则的最小值是（ ） A、3 B、4 C、 D、 【答案】B 【解析】根据题意，上式可转化为，令，，不等式的解集为。 【例题18】设为实数，若则的最大值是 。 【答案】： 【解析】：根据题意，上式可转化为，，。 【例题19】函数的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】：B 【解析】：∵0≤x≤10，∴10﹣x≥0，∴，当且仅当x＝10﹣x，即x＝5时，等号成立，所以函数的最大值为5．故选：B。 【例题20】若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是　　． 【答案】： 【解析】：∵x2+y2+xy＝1，∴（x+y）2＝1+xy，∵xy≤ ∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤，∴x+y的最大值是 故答案为：。 【方法和总结】：这类题型比较简单，利用求最值。 【考点六、构造基本不等式求最值】 【例题21】已知，且，则的最小值是（       ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6。 【例题22】函数的最小值为___． 【答案】 【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为。 【例题23】当时，函数的最小值为___________． 【答案】 【解析】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为。 【例题24】若，则函数的最大值为 。 【答案】-8 【解析】令,。 【方法和总结】：构造基本不等式。 【考点七、基本不等式的实际应用】 【例题25】：某村计划建造一个室内面积为 800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽 的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【答案】当温室的长为, 宽为时，最大面积为。 【解析】设温室的长为，则宽为，由已知得蔬菜的种植面积为： (当且仅当即时，取“＝”). 故：当温室的长为, 宽为时，蔬菜的种植面积最大，最大面积为。 【例题26】：某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意可设，且当时，，即，解得，所以，所以，当且仅当，即时取等号。 【例题27】：为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)。 (1)将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 答案：如下 【解析】：(1)由题意有，得，故，∴。 (2)由(1)知：，当且仅当，即时等号成立， 即时，有最大值21.5，所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元。 【例题28】：某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：） (1)试用x，y表示s；(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值． 【答案】(1) (2) s的最大值为，此时，． 【解析】（1）由题意可得,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m,故. （2）∵，∴（当且仅当,即，时取等号）.故s的最大值为,此时，。 【方法和总结】：基本不等式中的应用题。 【考点八、基本不等式中的解答题】 【例题29】（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值． （2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值． （3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值； 【答案】（1）；（2）-1；（3）. 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为. （2） 因为x＜3，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为-1. （3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为。 【例题30】18．（1），比较与的大小； （3） 已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 【解析】（1），， ，当且仅当，即时，等号成立.所以. （2） 由（1）知，，当且仅当时取等号，显然要使成立，需满足，解得 综上可知，当，代数式取得最小值20。 【例题31】已知m＞0，n＞0且mn＝m+n+15，求解下列问题． （1）求mn的最值； （2）求m+n的最值； （3）求2m+3n的最小值． 解析：（1）因为m＞0，n＞0，mn＝m+n+15≥2+15，当且仅当m＝n＝5时取等号， 所以mn≥25，即mn的最小值为25； （2）由m+n+15＝mn，当且仅当m＝n＝5时取等号， 解得，m+n≥10（舍负），所以m+n的最小值为10； （3）由mn＝m+n＝15可得，（m﹣1）（n﹣1）＝16， 所以2m+3n＝2（m﹣1）+3（n﹣1）+5+5＝8+5， 当且仅当2m﹣2＝3n﹣3且（m﹣1）（n﹣1）＝16，即n＝1+，m＝1+2时取等号， 所以2m+3n的最小值为5+8。 【例题32】已知a＞0，b＞0，且a+2b+ab＝6． （1）求ab的最大值； （2）求a+2b的最小值； （3）求a+b的最小值． 解析：（1）因为a＞0，b＞0，且a+2b+ab＝6，所以b＝＞0，所以0＜a＜6， 令t＝2+a，则2＜t＜8， ab＝＝＝ ＝10﹣（t）＝2， 当且仅当t＝4，即a＝2时取等号，所以ab的最大值2； （2）a+2b＝6﹣ab＝6﹣×，当且仅当a＝2b时取等号， 所以a+2b≥4，即a+2b的最小值为4； （3）由a+2b+ab＝6可得（a+2）（b+1）＝8， a+b＝a+2+b+1﹣3﹣3＝4﹣3， 当且仅当a+2＝b+1＝，即a＝2﹣2，b＝2﹣1时取等号，所以a+b的最小值为4﹣3。 【方法和总结】：基本不等式的直接运用。 【考点九、基本不等式中的多选题】 【例题33】（多选题）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以xy的最大值为1，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为2，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，令，，则，，，，所以，当且仅当且，即，即时，等号成立，所以的最小值为1，故D正确.故选：ABD。 【例题34】（多选题）下列关于基本不等式的说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，，，则的最小值为 D．若正数x，y满足，则的最小值是3 【答案】AC 【解析】因为，所以，， 当且仅当即时，等号成立 ，故A正确； 函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误. 【例题35】（多选题）设正数满足，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由基本不等式推论有，当且仅当取等号.故A正确. 对于B，，由A分析可知，则，当且仅当取等号.故B正确. 对于C， ，当且仅当，即 时取等号.故C正确. 对于D， ， 当且仅当，即时取等号.故D正确。 【例题33】（多选题）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　） A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞ C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤ 【答案】ABD 解析：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确． ②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确． ③，故C错误． ④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1， 利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．故选：ABD． 【方法和总结】：基本不等式中最新的高考方向，多选题。 【考点十、基本不等式中的证明题】 【例题37】利用基本不等式证明：已知都是正数，求证： 【解析】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）； （当且仅当时取等号），即。 【例题38】已知均为正实数． (1)求证：． (2)若，证明：． 证明.（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （3） 由题可得， 则左边 ， 当且仅当，，，，即时取“＝”． 故成立。 【例题39】已知a，b，c均为正实数，求证： (1) ；(2)． （1） 证明：左边， 当且仅当时取“＝”．故． （2） 证明：因为，当且仅当时取“＝”， 所以，所以，所以，① 同理，当且仅当时取取“＝”，② ，当且仅当时取“＝”．③ ①+②+③，得， 当且仅当时等号成。 【例题40】已知,且.证明： （Ⅰ）；（Ⅱ）. 证明Ⅰ，b，，且， ， ，当且仅当时，等号成立  Ⅱ，，，， ，。 【考点十一、基本不等式的综合问题】 【例题41】若log4（3a+4b）＝log2，则a+b的最小值是（　　） A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4 【答案】：D 解析：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0 ∵log4（3a+4b）＝log2， ∴log4（3a+4b）＝log4（ab） ∴3a+4b＝ab，a≠4，a＞0．b＞0 ∴＞0，∴a＞4， 则a+b＝a+＝a+＝a+3+＝（a﹣4）++7+7＝4+7，当且仅当a＝4+2取等号．故选：D。 【例题42】设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（　　） A．0 B． C．2 D． 【答案】：C 解析：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数， ∴＝+﹣3≥2﹣3＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”）， 即x＝2y（y＞0），∴x+2y﹣z＝2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）＝4y﹣2y2＝﹣2（y﹣1）2+2≤2． ∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C． 【例题43】设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】：B 解析：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数， ∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”）， ∴＝1，此时，x＝2y． ∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2， ∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意． ∴的最大值为1．故选：B． 【例题44】已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝（m＞0），l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（　　） A．16 B．8 C．8 D．4 【答案】：B 解析：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD， 则﹣log2xA＝m，log2xB＝m；﹣log2xC＝，log2xD＝； ∴xA＝2﹣m，xB＝2m，xC＝，xD＝． ∴a＝|xA﹣xC|，b＝|xB﹣xD|， ∴＝＝||＝2m•＝． 又m＞0，∴m+＝（2m+1）+﹣≥2﹣＝（当且仅当m＝时取“＝”） ∴≥＝8．故选：B． 【例题45】若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（　　） A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1 【答案】：BC 解析：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1， 令，则， ∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对， ∵x2+y2＝＝＝∈[，2]， 故C对，D错， 方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即， ∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对， 对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy， ∴x2+y2≤2，故C对； ∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝， ∴，故D错误．故选：BC． 【例题46】设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为　4　． 解析：∵x＞0，y＞0，x+2y＝5， ∴2xy≤（）2＝，当且仅当x＝2y时取等号， ∴xy≤， 则＝＝＝2+； 由基本不等式有： 2+≥2＝4； 当且仅当2＝时， 即：xy＝3，x+2y＝5时，即：或时；等号成立， 故的最小值为4； 故答案为：4 【例题47】若实数a，b，c满足2a+2b＝2a+b，2a+2b+2c＝2a+b+c，则c的最大值是　　． 解析：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4， 令t＝2a+b，由2a+2b+2c＝2a+b+c可得2a+b+2c＝2a+b2c，所以2c＝ 因为t≥4，所以，即，所以 故答案为：2﹣log23 【例题48】设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为　　． 解析：∵x，y∈R，且xy≠0， ∴＝1+4+≥5+2＝9 当且仅当时等号成立， ∴的最小值为9． 故答案为9． 学科网（北京）股份有限公司 $$