精品解析：北京市怀柔区第一中学2023-2024学年高二上学期期中检测试数学试题

怀柔一中高二年级2023-2024学年度第一学期数学学科期中检测试题 2023.11 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的定义求解即可. 【详解】由题易知，实部为1，虚部为-2. 故选：A 2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的圆心坐标为，半径为，即可求出结果. 【详解】由于圆，所以其圆心坐标为，即；半径为. 故选：A. 3. 若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线AB的斜率， 设直线AB的倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 4. 已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直线与平面间的位置关系即可判断得解. 【详解】对于A，若，则也有可能，故A错误； 对于B，若，则也有可能，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知，若，则，故C正确； 对于D，若，则也有可能，故D错误； 故选：C. 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解. 【详解】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线一般式中平行满足的系数关系，即可结合充要条件的定义求解. 【详解】若与直线平行， 则满足，解得， 故“”是“直线与直线平行”的充要条件， 故选：C 7. 过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 先求得圆的圆心和半径，根据直线与圆相切，分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，由求解. 【详解】圆即为， 圆心是， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 而，直线与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 圆心到直线的距离为；， 解得， 所以直线l的方程为， 综上：直线l的方程为或， 故选：C 8. 已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心为，半径为的圆上的点的最值问题，从而得解. 【详解】表示对应的点是圆心为，半径为的圆上的点， 的几何意义表示该圆上的点和点之间的距离， 而圆心到点的距离为， 所以的最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：D. 9. 在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得三角形的面积，再由等积法求点到平面的距离． 【详解】如图，在正方体中，，是的中点， 则，，． ． 设点到平面的距离为， 由，得， 解得． 故选：． 【点睛】本题主要考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 10. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则 .因为，所以.所以，.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知直线与直线垂直，则实数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线一般式垂直时满足的系数关系即可列方程求解. 【详解】与直线垂直，则满足， 解得， 故答案为：3 12. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出，从而求出模长. 【详解】， 故. 故答案为： 13. 已知在四棱锥中，底面为正方形，侧面为边长为2的等边三角形，则四棱锥体积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知侧面底面，即可根据体积公式求解. 【详解】依题意可知，当侧面底面时，四棱锥的体积最大． 取为，连接,则， 由于侧面底面，且交线为,，平面， 故底面, 因为和正方形的边长均为2，故 故 故答案为： 14. 若圆与圆恰有3条公切线，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据两圆外切，即可根据圆心距和半径的关系求解. 【详解】由于圆与圆恰有3条公切线，故两圆外切， 的圆心，半径为，的圆心，半径为， 故，故，解得， 故答案为：7 15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，直线与的延长线分别交于,连接分别交于,连接即可解决；对于②等体积法解决即可；对于③④，建立空间直角坐标系，设，得即可. 【详解】对于①，如图直线与的延长线分别交于,连接分别交于,连接， 则五边形即为所求的截面图形，故①正确； 对于②，由题知，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设点到平面的距离为，由正方体的棱长为2可得， ，， 所以， ， 所以由，可得， 所以直线到平面的距离是，故②错误； 对于③，如图建立空间直角坐标系， 则， 设， 所以， 又因为， 所以， 所以， 假设存在点使得， 所以， 整理得， 所以（舍去），或， 所以存在点使得，故③正确； 对于④，由③知， 所以点在的射影为， 所以点到的距离为 ， 当时，， 所以面积的最小值是，故④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 17. 已知平行四边形的顶点为． （1）求边所在直线的方程； （2）求平行四边形的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率的坐标公式及直线的点斜式方程求解即得. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求解即得. 【小问1详解】 由，得直线的斜率， 在中，，则直线的斜率， 所以直线方程为，即． 【小问2详解】 在中，， 到直线的距离等于到的距离， 所以的面积. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：底面，平面， ， 四边形是矩形，， ，平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，、、两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则 是线段的中点， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，可取， 底面， 为平面的一个法向量， ， 易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【点睛】 19. 如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，侧面是等边三角形，．分别为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明:取的中点，连接， AI 因为为中点，所以 因为为中点，所以 所以且 所以四边形为平行四边形 所以 因为平面平面 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线证明线线平行，进而可得四边形为平行四边形，即可根据线面平行的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以 因为侧面底面，侧面底面侧面 所以底面. 如图在底面内过做的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ． 设是平面的法向量，则有得 令得平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则有 20. 已知圆的圆心为，圆截轴所得的弦长为2. （1）求圆的方程； （2）斜率为1的直线与圆交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆的弦长公式求得圆的半径，再利用圆心和半径即可求解； （2）联立直线与圆的方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算代入化简求解. 【小问1详解】 由已知条件可知圆心到轴的距离为1， 因为圆截轴所得弦长为2， 所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立方程，消得， 由得， 设，则有， 由得， 因为 ， 所以，解得， 所以直线方程为或. 21. 已知四边形为直角梯形，为中点，与交于点，沿将四边形折起，连接． （1）若平面平面，求证：； （2）若平面平面． （ⅰ）求二面角的大小； （ⅱ）线段上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由，平面，平面，得平面， 由，同理得平面，而平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 所以. （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定、再面面平行的判定及性质推理即得. （2）根据给定条件，证明直线两两垂直，再以为原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）求出平面的法向量，利用空间向量求出面面大小；（ⅱ）利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在边长为2的正方形中，， 由平面平面，平面平面， 又平面，得平面，即直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则． （ⅰ）， 设平面法向量为，则，取，得， 设平面法向量为，则，取，得， 于是，而二面角为钝二面角， 所以二面角的平面角的大小为. （ⅱ）假设线段上存在点，使平面，设， 则， 由平面，得，则，解得， 所以线段上存在点，使平面，且. 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀柔一中高二年级2023-2024学年度第一学期数学学科期中检测试题 2023.11 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 4. 已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 A. B. C. D. 6. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（ ） A. B. C. D. 3 10. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知直线与直线垂直，则实数的值为______． 12. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 13. 已知在四棱锥中，底面为正方形，侧面为边长为2的等边三角形，则四棱锥体积的最大值为______． 14. 若圆与圆恰有3条公切线，则的值为______． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 17. 已知平行四边形的顶点为． （1）求边所在直线的方程； （2）求平行四边形的面积． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，侧面是等边三角形，．分别为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 20. 已知圆的圆心为，圆截轴所得的弦长为2. （1）求圆的方程； （2）斜率为1的直线与圆交于两点，若，求直线的方程. 21. 已知四边形为直角梯形，为中点，与交于点，沿将四边形折起，连接． （1）若平面平面，求证：； （2）若平面平面． （ⅰ）求二面角的大小； （ⅱ）线段上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $