精品解析：2024-2025学年河南省安阳市学业水平考试数学试题

2024−2025学年创新人才选拔测评（一） 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是．小明将数据用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 3. 如图是几个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 垂线段最短 B. 相等的角是对顶角 C. 同位角相等 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 6. 已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A. B. 7 C. D. 11 7. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，正方形的面积为18，点E为对角线上不与点A，C重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．当点E从点A向点C运动的过程中，有以下结论：①；②与互余；③整个过程中，有4个时刻的长是整数；④四边形的最大面积为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 12. 已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是__________． 13. 将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则__________． 14. 如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧相交于点M，N，作直线，与相交于点D，则的长为__________． 15. 如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）通过学习，我们知道，乘积为1的两个数互为倒数． 在计算时，小明发现直接计算比较麻烦，但是计算比较简单，而且在求得结果后，只需要取其倒数，就可得出原式的结果． 利用小明的方法先化简，并在，，1，2中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求代数式的值． 17. 已知关于x的分式方程． （1）当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； （2）若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 18. 为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为明年的体育中考做好准备，某中学对进入九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析，从而有目的的指导学生进行体育训练． 下面是给出的部分信息： ①随机抽取男同学和女同学各20名； ②男同学成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：，，，）； ③男同学成绩在这一组的具体分数是：82，83，84，84，84，87，89， 女同学成绩在这一组的具体分数是：82，87，89，89，89，89； ④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表： 性别 平均数 中位数 众数 女 82.1 88 89 男 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m的值； （2）女同学小红和男同学小宇的成绩都是86分，这两名学生在各自性别组中成绩排名更靠前的是__________（填“小红”或“小宇”），并说明你的理由； （3）成绩不低于85分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生240人，男学生260人，且所有学生都参加了模拟测试．你能估计该校九年级有多少人的成绩记为优秀吗？ 19. 为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同． （1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； （2）当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形． （1）当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形； （2）当的最小值为时，求正方形的边长． 21. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点． （1）点M的坐标为____________________； （2）y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与y轴交于点，与x轴交于点． （1）求此抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点A的坐标； （2）点P是直线下方，直线左侧的抛物线上一点，过点P作轴，交于点E，作轴，交直线右侧的抛物线于点F，若，求点F的坐标． 23. 正方形和正方形如图1摆放，且B，A，G三点共线． （1）正方形的边长为a，正方形的边长为b，．当，时，四边形的面积=__________； （2）若正方形可以绕点A顺时针进行旋转，且旋转角度小于． ①如图2，连接，探究的数量关系，并说明理由； ②如图3，连接，在旋转过程中，若点P为的中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年创新人才选拔测评（一） 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数求解，即可解题． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是．小明将数据用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． ∴n的值是6． 故选：C． 3. 如图是几个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图，结合左视图的意义画图，解答即可． 【详解】解：从左面看应该有2列，左边一列有3个正方形，右边一列有3个正方形，如图所示： 故选：D． 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 垂线段最短 B. 相等的角是对顶角 C. 同位角相等 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的知识，解题关键是掌握垂线段最短，两直线平行，同位角相等，相等的角的条件，对顶角的定义，菱形的判定等知识，根据以上知识依次判断即可． 【详解】解：A、垂线段最短是真命题，故符合题意； B、相等的角是对顶角是假命题，例如同角的余角相等，但它们不一定是对顶角，故不符合题意； C、因为两直线平行，同位角相等，所以该选项命题是假命题，故不符合题意； D、对角线相等的平行四边形一定是矩形，不一定是菱形，所以该选项命题是假命题，故不符合题意；   故选：A ． 6. 已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A. B. 7 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，可得，，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：，即， ∵m，n是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故选：A． 7. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系． 如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，设，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 设， 根据题意，得 ， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ． 故选：C． 8. 已知二次函数的图象经过点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由题意得，， 将代入得，， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 9. 如图，正方形的面积为18，点E为对角线上不与点A，C重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．当点E从点A向点C运动的过程中，有以下结论：①；②与互余；③整个过程中，有4个时刻的长是整数；④四边形的最大面积为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得，由可得，所以；②由矩形可得，则，推出，根据，得出，即可得出结论；③根据垂线段最短，得出当点E到达点H时，最小，且最小值为3，得出，从而得出可以取到整数值为3，4，且取整数值为4的时刻有2个，取整数值3的时刻有1个，从而得出答案；④为等腰直角三角形，得出，设，则，根据求出最大值即可． 【详解】解：①连接，交于点O，如图， ∵正方形的面积为18， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵ ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴，， 在和中 ∴ ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故②正确； ③连接交于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵垂线段最短， ∴当点E到达点H时，最小，且最小值为3， ∵点E为对角线上不与点A，C重合， ∴， ∵， ∴可以取到整数值为3，4，且取整数值为4的时刻有2个，取整数值3的时刻有1个， ∴整个过程中，有3个时刻的长是整数，故③错误； ④∵正方形中，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为，故④正确； 综上所述，正确的结论为：①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 10. 如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为，然后求出当直线位于时m的值，当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点，然后与抛物线联立，得到，求出，进而结合图象即可求出当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围． 【详解】解：如图所示， 将抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为 令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点，解题的关键是正确分析图象． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．设，求得，得到，然后代入代数式化简解题即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则__________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 14. 如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧相交于点M，N，作直线，与相交于点D，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质．先由勾股定理求得，再根据线段的垂直平分线性质得到，再设，然后在中利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴， 由作图可知，点D在线段的垂直平分线上，则． 设，则． 在中，， 即． 解得：． 故答案为：． 15. 如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，涉及到了同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，正确构造全等三角形以及运用转化的思想是解题的关键，本题将求阴影面积转化为即可求解． 【详解】解：如图，连接，过D点作于F， ∵ 点C，D是半圆的三等分点， ∴，且每段弧所对的圆周角是， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ∵， ∴是等边三角形， ∵半圆的直径长为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积； 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）通过学习，我们知道，乘积为1的两个数互为倒数． 在计算时，小明发现直接计算比较麻烦，但是计算比较简单，而且在求得结果后，只需要取其倒数，就可得出原式的结果． 利用小明的方法先化简，并在，，1，2中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求代数式的值． 【答案】（1）；（2），当时，原式．当时，原式 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂，二次根式的乘法，分式的混合运算以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，二次根式的乘法，然后计算加减即可求解； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴原式 ∵ ∴，， ∴当时，原式 当时，原式 17. 已知关于x的分式方程． （1）当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； （2）若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【答案】（1） 一，正确的解法： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程． （1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得， 解得， ∴原方程有增根时，． 18. 为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为明年的体育中考做好准备，某中学对进入九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析，从而有目的的指导学生进行体育训练． 下面是给出的部分信息： ①随机抽取男同学和女同学各20名； ②男同学成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：，，，）； ③男同学成绩在这一组的具体分数是：82，83，84，84，84，87，89， 女同学成绩在这一组的具体分数是：82，87，89，89，89，89； ④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表： 性别 平均数 中位数 众数 女 82.1 88 89 男 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m的值； （2）女同学小红和男同学小宇的成绩都是86分，这两名学生在各自性别组中成绩排名更靠前的是__________（填“小红”或“小宇”），并说明你的理由； （3）成绩不低于85分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生240人，男学生260人，且所有学生都参加了模拟测试．你能估计该校九年级有多少人的成绩记为优秀吗？ 【答案】（1）； （2）小宇 （3）该校九年级约有161人的成绩记为优秀． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较女同学和男同学的中位数即可得出答案； （3）利用样本估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：男同学一共有20名同学，在和共有人， 中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据在这一组的第2，3个数，分别为83、84 故中位数； 【小问2详解】 解：小宇； 理由：小红的成绩为85分低于女同学成绩的中位数88分，故小红的成绩低于女同学一半的学生成绩； 小宇的成绩为85分高于男同学成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于男同学一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前； 故答案为：小宇； 【小问3详解】 解：女同学的中位数为88分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：82，87，89，89，89，89； ∵中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据， ∴第10个数据是87， ∴女同学的成绩不低于85分的人数有10人， 男同学的成绩不低于85分的人数有人， ∴（人）， 估计该校九年级约有161人的成绩记为优秀． 19. 为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同． （1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； （2）当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元； （2）剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，根据“用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，根据“购入成本不超过3000元”可得出关于m的一元一次不等式，求得，再根据得到关于m的一次函数，利用二次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元； 【小问2详解】 解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元， 根据题意得， 解得， 则， ∵， ∴随m的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， 答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元． 20. 已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形． （1）当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形； （2）当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】（1） 以，为邻边作平行四边形，如图所示 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用垂线段求最小值，相似三角形的判定与性质，熟练运用垂线段求最小值是解决本题的关键． （1）根据平行四边形两组对比分别平行的性质画图即可； （2）设与交于点，根据平行四边形的性质可知，，得出最短时，最小，再过作的垂线,垂足为，此时最短，再得出，根据相似比求出正方形边长即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 设与交于点， 为平行四边形， ， 最短时，最小， 过作的垂线,垂足为，此时最短， 的最小值为， ， ， 为公共角， ， ， 设正方形边长为， ， ， 解得， 正方形的边长为． 21. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点． （1）点M的坐标为____________________； （2）y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标． 【答案】（1） （2）周长的最小值为； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）令，得；令，得，可得点、的坐标，再由中点坐标公式可得出点的坐标； （2）因为A和M坐标知道，所以长度为定值，要求周长的最小值，实则是求的最小值，即的长； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，得出，，根据列方程求出的得解． 【小问1详解】 解：对于， 令，得； 令，得， 解得：， ∴， ∵点M为线段AB的中点， ∴，即， 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图， 则， ∴, ∵, ∴， ∵点是固定点， ∴， ∴周长的最小值为, 又, ∴ ∴, ∴周长的最小值为； 设直线的解析式为， 把代入，得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为 又过点的直线与交于点， ∴， 又直线和解析式与直线交于点， ∴， ∵, ∴， 整理得，， 解得，，或， ∴点的坐标为：或． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与y轴交于点，与x轴交于点． （1）求此抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点A的坐标； （2）点P是直线下方，直线左侧的抛物线上一点，过点P作轴，交于点E，作轴，交直线右侧的抛物线于点F，若，求点F的坐标． 【答案】（1）；； （2）点F坐标为 ． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数与几何图形的综合等问题，关键是利用二次函数的性质求解． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式；令，得，解方程即可求解； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，求出，再解方程求出m的值，并得出点F坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， 把，代入得： 解得 ∴抛物线的函数表达式为； 令，则， ， ； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则，， ， ∵点P是直线下方，直线左侧的抛物线上一点， ， ， ， 整理得， 解得（舍）， ∴当时，， 此时点F坐标为 ． 23. 正方形和正方形如图1摆放，且B，A，G三点共线． （1）正方形的边长为a，正方形的边长为b，．当，时，四边形的面积=__________； （2）若正方形可以绕点A顺时针进行旋转，且旋转角度小于． ①如图2，连接，探究的数量关系，并说明理由； ②如图3，连接，在旋转过程中，若点P为的中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出的面积． 【答案】（1）15 （2）①，理由如下： ∵正方形和正方形中，，，， ∴即， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，延长至M，使，则， ∵点P为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）将四边形的面积转化为求梯形和的面积，计算时将算式变形为与的形式即可求解； （2）①证明即可求证； ②利用倍长中线法构造，再证明即可求解； （3）利用全等三角形进行等面积转化即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形的面积，且，， ∴四边形的面积． 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：，理由如下： 由（2）知， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、倍长中线法、求不规则图形面积、完全平方公式的变形等知识，解题的关键是发现全等三角形并运用转化的思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $