2024-—2025学年苏科版数学七年级上册期中复习冲刺(7)

2024 年初一数学期中考试复习冲刺练习(7) 第 7 练：新定义与运算 (循环规律、二进制、分类讨论、取整运算、集合运算) 一、定义新运算 1. 定义新运算“*”，规定 a * b = a × b - (b - 1) × b，则 2 * (-3) 的值为 ( ) A. 6 B. - 18 C. - 6 D. 18 二、新定义与循环规律 2. 定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 - 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 =-1 ，-1 的差倒数是 = ，已知 a1 =- ，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，⋯,依此类推，则 a2017 = . 三、利用新定义认识二进制 3. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 (只有数码 0 和 1)，它们两者之间可以互相换算，如 将 (101)2，(1011)2 换算成十进制数分别是 (101)2 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5，(1011)2 = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 = 11，按此方式将二进制数 (1001)2 + (10110)2 换算成十进制数的结果是 . 四、新定义与分类讨论求值 4. 在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“⊗”法则：a ⊗ b ⊗ c = |a + b + c|-a + b - c，例如：1 ⊗ 2 ⊗ ( -3) = |1 + 2 + (-3)| -1 + 2 - (-3)．在 - , - ,0, , , 这 6 个数中，任意取三个数作为a，b，c 的值，则 a ⊗ b ⊗ c 的最大值为 . 五、利用新定义认识取整运算 5. 我们用 [a] 表示不大于 a 的最大整数，例如：[2.5 ] = 2，[3 ] = 3，[-2.5] =-3；用 ‹a› 表示大于 a 的最小整数，例 如：‹2.5› = 3，‹4› = 5，‹-1.5› =-1 ．解决下列问题： (1) [-2.3] = ，‹4.7› = ； (2) 若 [x] =3，则 x 的取值范围是 ；若 ‹y› =-4，则y 的取值范围是 ； (3) 已知 x，y 满足方程组 1 ，求 x，y 的取值范围. 6. 已知：[x] 表示不超过 x 的最大整数．例：[3.9 ] = 3，[-1.8] =-2 ．令关于 k 的函数f(k) = - Γ|L (k 是 正整数)．例：f 则下列结论错误的是 ( ) A. f(1) = 0 B. f(k + 4) =f(k) C. f(k + 1) ≥f(k) D. f(k) = 0 或 1 期中考试复习冲刺 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 六、古代记数 7. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数 法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 | || ||| |||| ||||| 横式 表示多位数时 ，个位用纵式 ，十位用横式 ，百位用纵式 ，千位用横式 ，以此类推 ，遇零则置空 ，如 “ L T = m ”表示的数是 6728，“ L T ”表示的数是 6708，若已知一个用 这种方式表示的四位数中含有“|”、“ ”和两个空位，则这个四位数是 . 8. 把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；⋯ 我们称之为集合，其 中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数 x 是集合的一个元素时，100 -x 也必是这个集合的元素，这样 的集合又称为黄金集合，例如 {-1，101} 就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且 1180 <m < 1260，则该黄金集合的元素的个数是 ( ) A. 23 B. 24 C. 24 或 25 D. 26 七、新定义与集合的初步认识 9. 定义：若 a + b = 2n，则称 a 与 b 是关于数n 的平均数．比如 3 与 -4 是关于 - 的平均数，7 与 13 是关于 10 的 平均数. (1) 填空：2023 与 是关于 -1 的平均数， 与 -2x + 5 是关于 2 的平均数； (2) 若 a 与 2b 是关于 3 的平均数，2b 与 c 是关于 - 的平均数，c 与 d 是关于 9 的平均数，求 (6b + 3d) - (2b - c)； (3) 现有 a = 3x2 - 10kx + 13 与 b =-3x2 + 5x - 6k(k 为常数)，且 a 与 b 始终是关于数n 的平均数，与 x 的取值无 关，求n 的值. 期中考试复习冲刺 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初一数学期中考试复习冲刺练习(7) 第 7 练：新定义与运算 (循环规律、二进制、分类讨论、取整运算、集合运算) 一、定义新运算 1. 定义新运算“*”，规定 a * b = a × b - (b - 1) × b，则 2 * (-3) 的值为 ( ) A. 6 B. - 18 C. - 6 D. 18 【解析】解：∵ a * b = a × b - (b - 1) × b， ∴ 2 * (-3) = 2 × (-3) - (-3 - 1) × (-3) =-6 - (-4) × (-3) =-6 - 12 =-18， 二、新定义与循环规律 2. 定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 - 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 - =-1 ，-1 的差倒数是 = ，已知 a1 =- ，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，⋯,依此类推，则 a2017 = . ( 1 - ( - 4 1 - 1 - 4 3 3 , 4 , )【解析】解：因为 a1 =- ，所以 a2 = 1 = 3 ，a3 = 1 = 4，a4 = 1 =- 1 ，⋯ , 由此可见，这列数按 - 1 3 4 循环出现， 又因为 2017 ÷ 3 = 672 余 1， 所以 a2017 =- . ( 故答案为： - 1 )3 . 三、利用新定义认识二进制 3. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 (只有数码 0 和 1)，它们两者之间可以互相换算，如 将 (101)2，(1011)2 换算成十进制数分别是 (101)2 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5，(1011)2 = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 = 11，按此方式将二进制数 (1001)2 + (10110)2 换算成十进制数的结果是 . 【解析】解：(1001)2 + (10110)2 = 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 + 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 2 + 0 = 8 + 1 + 16 + 4 + 2 = 31 . 故答案为：31 . 四、新定义与分类讨论求值 4. 在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“⊗”法则：a ⊗ b ⊗ c = |a + b + c|-a + b - c，例如：1 ⊗ 2 ⊗ ( -3) = |1 + 2 + (-3)| -1 + 2 - (-3)．在 - , - ,0, , , 这 6 个数中，任意取三个数作为a，b，c 的值，则 a ⊗ b ⊗ c 的最大值为 . 【解析】解：当 a + b + c > 0 时，a ⊗ b ⊗ c = a + b + c - a + b - c = 2b，此时最大值是 2 × = ； 当 a + b + c ≤ 0 时，a ⊗ b ⊗ c =-a - b - c - a + b - c =-2a - 2c，此时最大值是 -2 × (- - 2 × (- = . ∴ a ⊗ b ⊗ c 的最大值为 . ( 3 . )故答案为： 8 期中考试复习冲刺 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 五、利用新定义认识取整运算 5. 我们用 [a] 表示不大于 a 的最大整数，例如：[2.5 ] = 2，[3 ] = 3，[-2.5] =-3；用 ‹a› 表示大于 a 的最小整数，例 如：‹2.5› = 3，‹4› = 5，‹-1.5› =-1 ．解决下列问题： (1) [-2.3] = - 3 ，‹4.7› = ； (2) 若 [x] =3，则 x 的取值范围是 ；若 ‹y› =-4，则y 的取值范围是 ； (3) 已知 x，y 满足方程组 { ，求 x，y 的取值范围. 【解析】解：(1) 根据题意得，[-2.3] =-3，‹4.7› = 5 ．故答案为：-3，5 . (2) ∵ [x] = 3， ∴ x 的取值范围是 3 ≤x < 4； ∵< y >=-4， ∴ y 的取值范围是 -5 ≤ y <-4；故答案为：3 ≤x < 4，-5 ≤ y <-4； (3) 解方程组 { ，得 {r ； 则 x、y 的取值范围为 -2 ≤ x <-1，0 ≤ y < 1 . 6. 已知：[x] 表示不超过 x 的最大整数．例：[3.9 ] = 3，[-1.8] =-2 ．令关于 k 的函数f(k) = - Γ|L (k 是 正整数)．例：f(3) = - = 1 ．则下列结论错误的是 ( ) A. f(1) = 0 B. f(k + 4) =f(k) C. f(k + 1) ≥f(k) D. f(k) = 0 或 1 【解析】解：f(1) = - = 0 - 0 = 0，故选项A 正确； f(k + 4) = L (Γ)|- Γ|L = +1|LΓ - |L (Γ) +1 = - LΓ| =f(k)，故选项B 正确； C、当 k = 3 时，f(3 + 1) = - Γ|L = 1 - 1 = 0，而f(3) = 1，故选项 C 错误； D、当 k = 3 + 4n(n 为自然数) 时，f(k) =1，当 k 为其它的正整数时，f(k) =0，所以D 选项的结论正确； 故选：C . 六、古代记数 7. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数 法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 | || ||| |||| ||||| 横式 表示多位数时 ，个位用纵式 ，十位用横式 ，百位用纵式 ，千位用横式 ，以此类推 ，遇零则置空 ，如 “ T = T ”表示的数是 6728，“ T ”表示的数是 6708，若已知一个用 这种方式表示的四位数中含有“|”、“ ”和两个空位，则这个四位数是 . 【解析】解：由题知，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式， ∵“| ”、“ ”是纵式的 1 和横式的 9， ∴ 千位是横式的 9，纵式的 1 在百位或者个位， 即这个四位数为 9100 或 9001， 故答案为：9100 或 9001 . 期中考试复习冲刺 第2页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 8. 把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；⋯ 我们称之为集合，其 中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数 x 是集合的一个元素时，100 -x 也必是这个集合的元素，这样 的集合又称为黄金集合，例如 {-1，101} 就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且 1180 <m < 1260，则该黄金集合的元素的个数是 ( ) A. 23 B. 24 C. 24 或 25 D. 26 【解析】解：在黄金集合中一个整数是 x，则必有另一个整数是 100 -x，当 x = 100 -x 时，x = 50， ∴ 50 可以单独存在于该黄金集合中， 当 x≠ 50 时，两个整数的和为x + 100 -x = 100， ∴ 若一个黄金集合有 k 个元素，则这 k 个元素的和m = 100 × k = 50k(k 为正偶数) 或m = 100 × + 50 = 50k (k 为正奇数)， ∵ 1180 <m < 1260 时、，1180 ÷ 50 = 23 ⋯⋯ 30，1260 ÷ 50 = 15 ⋯⋯ 10， ∴ 该黄金集合有 24 或 25 个元素. 故选：C . 七、新定义与集合的初步认识 9. 定义：若 a + b = 2n，则称 a 与 b 是关于数n 的平均数．比如 3 与 -4 是关于 - 的平均数，7 与 13 是关于 10 的 平均数. (1) 填空：2023 与 -2025 是关于 -1 的平均数， 与 -2x + 5 是关于 2 的平均数； (2) 若 a 与 2b 是关于 3 的平均数，2b 与 c 是关于 - 的平均数，6b + 3d) - (2b - c)； (3) 现有 a = 3x2 - 10kx + 13 与 b =-3x2 + 5x - 6k(k 为常数)，且 a 与 b 始终是关于数n 的平均数，与 x 的取值无 关，求n 的值. 【解析】(1) 解：∵-1 × 2 - 2023 =-2025， ∴ 2023 与 -2025 是关于 -1 的平均数， ∵ 2 × 2 - (-2x + 5) = 4 + 2x - 5 = 2x - 1， ∴ 2x - 1 与 -2x + 5 是关于 2 的平均数， 故答案为：-2025；2x - 1； (2) 由题意得：a + 2b = 2 × 3 = 6，2b + c =- × 2 =-5，c + d = 2 × 9 = 18， ∴ 原式 = a - c + 2b + d - 2b + c = (a + 2b) - (c + 2b) + (d + c) = 6 - (-5) + 18 = 29； (3)a + b = 3x2 - 10kx + 13 - 3x2 + 5x - 6k = (5 - 10k)x + 13 - 6k， ∵ a 与 b 始终是关于数n 的平均数，与 x 的取值无关， ∴ 5 - 10k = 0， ∴ k = ， ∴ a + b = 13 - 6 × = 13 - 3 = 10 = 2n， ∴ n = 5 . 期中考试复习冲刺 第3页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$