等差数列学案-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第六章　数列 第二节　等差数列 一、课标要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 4.体会等差数列与一元一次函数的关系． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分 【备考策略】1.理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系 5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和。需综合复习 本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式问题综合考查．难度中低档 三、知识梳理 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)． (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列． 4．等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数． (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 常用结论 1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． 2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. 5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S偶－S奇＝nd，＝. 6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 (1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； (2)＝. 四、课堂考点突破 考点一　等差数列基本量的计算 [例1]　（2020·全国Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝　　　　. [答案]　25 [解析]　法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×（－2）＋×1＝25. 法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×（－2）＋×1＝25. 变式训练 1.数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 024＝　　　　. 答案：－ 解析：设等差数列的公差为d，因为a1＝1，a3＝－，所以＝1，＝3，所以3＝1＋2d，解得d＝1，所以＝1＋n－1＝n，所以an＝－1，所以a2 024＝－1＝－＝－. 考点二　等差数列的判定与证明 [例2]　（2021·全国甲卷）已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列； ③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. [解]　选①②作为条件，证明③. 设等差数列{an}的公差为d，因为{}是等差数列，所以2＝＋，即2＝＋，两边平方，得4（2a1＋d）＝a1＋3a1＋3d＋2，整理得4a1＋d＝2，两边平方，得16＋8a1d＋d2＝4（3＋3a1d），化简得4－4a1d＋d2＝0，即（2a1－d）2＝0，所以d＝2a1，则a2＝a1＋d＝3a1. 选①③作为条件，证明②. 设等差数列{an}的公差为d. 因为a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，所以d＝2a1. 所以等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋d＝na1＋·2a1＝n2a1. 又a1＞0，所以＝n. 则－＝（n＋1）－n＝，所以数列{}是公差为的等差数列. 选②③作为条件，证明①. 设等差数列{}的公差为d，因为＝，＝＝＝2，所以d＝－＝2－＝，则等差数列{}的通项公式为＝＋（n－1）＝n，所以Sn＝n2a1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－（n－1）2a1＝（2n－1）a1，且当n＝1时，上式也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝（2n－1）a1，则an＋1－an＝（2n＋1）a1－（2n－1）a1＝2a1，所以数列{an}是公差为2a1的等差数列. 变式训练 2.（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. （1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式. （1）证明：由bn＝S1·S2·…·Sn可得， Sn＝ 由＋＝2知， 当n＝1时，＋＝2，即＋＝2，所以b1＝S1＝，当n≥2时，＋＝2，即2bn＝2bn－1＋1， 即bn－bn－1＝，故数列{bn}是首项为，公差为的等差数列. （2）解：由（1）知，bn＝＋（n－1）×＝， 故当n≥2时，Sn＝＝，S1也符合该式， 即Sn＝（n∈N*），从而a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，a1不符合该式， 所以an＝ 考点三　等差数列的性质及应用 题型一 等差数列项的性质 [例3]　（1）在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（　　） A.20　　B.22 C.24　　D.－8 （2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为　　　　. [答案]　（1）C　（2）4 051 [解析]　（1）∵a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， ∴a8＝24，∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. （2）令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列.设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051. 　题型二 等差数列前n项和的性质 [例4] （1）记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝（　　） A.120　　　B.140　　　C.160　　　D.180 （2）在等差数列{an}中，a1＝－2 024，其前n项和为Sn.若－＝2，则S2 024的值为　　　　. （3）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＝　　　　； [答案]　（1）C　（2）－2 024　（3） [解析]　（1）由题意得∴ ∴S16＝16×（－5）＋×2＝160. （2）由题意知为等差数列，其公差为1，所以＝＋（2 024－1）×1＝－2 024＋2 023＝－1， 所以S2 024＝－2 024. （3）由＝＝＝＝＝， 则＝＝＝＝. 　题型三 等差数列前n项和的最值 [例5]　在等差数列{an}中，已知a1＝13，3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为　　　　. [答案]　49 [解析]　设等差数列{an}的公差为d. 法一（通项法）：由3a2＝11a6，得3×（13＋d）＝11×（13＋5d），解得d＝－2，所以an＝13＋（n－1）×（－2）＝－2n＋15. 由得解得6.5≤n≤7.5. 因为n∈N*， 所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝＝49. 法二（二次函数法）：由3a2＝11a6，得3×（13＋d）＝11×（13＋5d），解得d＝－2，所以an＝13＋（n－1）×（－2）＝－2n＋15. 所以Sn＝＝－n2＋14n＝－（n－7）2＋49， 所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝49. 变式训练 3.在等差数列中，若a2＋a5＋a8＝3，则2a4＋a7＝（　　） A.6　 　B.5 C.4　 　D.3 答案：D 解析：由等差数列的性质可得a2＋a5＋a8＝3a5＝3，则a5＝1，2a4＋a7＝2＋a5＋2d＝3a5＝3. 4.（2024·甘肃金昌模拟）设等差数列的前n项和为Sn，若＝7，则＝（　　） A.　　B. C.　　D. 答案：A 解析：在等差数列中，S7，S14－S7，S21－S14成等差数列，即2＝S7＋， 设S7＝m，则S14＝7m，于是12m＝m＋，解得S21＝18m，所以＝. 5.已知等差数列{an}共有（2n＋1）项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为（　　） A.30　　B.29 C.28　　D.27 答案：B 解析：奇数项共有（n＋1）项，其和为·（n＋1）＝·（n＋1）＝290， ∴（n＋1）an＋1＝290. 偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261， ∴an＋1＝290－261＝29. 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为（　　） A.5　　　B.6 C.7　　　D.8 答案：D 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，则由题意得，解得 所以an＝－2n＋17，由于a8＝－2×8＋17＝1＞0，a9＝－2×9＋17＝－1＜0，所以Sn取得最大值时n的值是8. 法二：设等差数列{an}的公差为d，则由题意得，解得则Sn＝15n＋×（－2）＝－（n－8）2＋64，所以当n＝8时，Sn取得最大值. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　C 解析　因为d＝＝2，Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)． 2．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　) A．7 B．14 C．21 D．7(n－1) 答案　B 解析　因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7， 所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. 3．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　) A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17 答案　A 解析　∵a1＝29，S10＝S20， ∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2， ∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225， ∴当n＝15时，Sn取得最大值． 4．公差不为0的等差数列{an}满足a＋a＝a＋a，Sn为数列{an}的前n项和，则下列各选项正确的是(　　) A．a4＝0 B．a5＝0 C．S8＝0 D．S9＝0 答案　C 解析　依题意，(a－a)＋(a－a)＝0， 即2d(a6＋a4)＋2d(a5＋a3)＝0， ∵d≠0， ∴a6＋a4＋a5＋a3＝0， ∴a5＋a4＝0，即S8＝0. 5．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　(S3n－S2n)－(S2n－Sn) ＝(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n) ＝(a2n＋1－an＋1)＋(a2n＋2－an＋2)＋…＋(a3n－a2n) ＝n2d， 因为n2>0， 若d>0，则S3n－S2n>S2n－Sn， 若S3n－S2n>S2n－Sn，则n2d>0，即d>0， 故“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的充要条件． 6．已知等差数列{an}，an＋m＝am＋n(n≠m，n，m∈N*)，数列{bn}满足bn＝a2n＋1＋a2n－1，则b2 024－b2 023等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　C 解析　∵bn＝a2n＋1＋a2n－1， ∴b2 024＝a4 049＋a4 047，b2 023＝a4 047＋a4 045， ∴b2 024－b2 023＝(a4 049＋a4 047)－(a4 047＋a4 045)＝a4 049－a4 045. 又an＋m＝am＋n， ∴an－am＝n－m， ∴b2 024－b2 023＝a4 049－a4 045＝4 049－4 045＝4. 二、多项选择题 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a1>0，S4＝S12，则(　　) A．公差d<0 B．a7＋a9<0 C．Sn的最大值为S8 D．满足Sn<0的n的最小值为16 答案　AC 解析　因为a1>0，S4＝S12， 则＝， 即a1＋a4＝3(a1＋a12)， 则d＝－a1<0，故A正确； a7＋a9＝2a1＋14d＝－d>0，故B错误； 由a7＋a9>0，得a8>0，a9＝a1＋8d＝d<0， 因为d<0，a1>0， 所以数列{an}是递减数列，且当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0， 所以Sn的最大值为S8，故C正确； Sn＝n2＋n＝－n2＋n， 令Sn<0，解得n>16， 所以满足Sn<0的n的最小值为17，故D错误． 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则(　　) A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐 C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里 答案　AD 解析　由题意可知，两马日行里数分别成等差数列，记数列{an}为良马的日行里数，其中首项a1＝103，公差d1＝13，所以数列{an}的通项公式为an＝13n＋90，n∈N*， 记数列{bn}为驽马的日行里数，其中首项b1＝97，公差d2＝－0.5，所以数列{bn}的通项公式为bn＝－0.5n＋97.5，n∈N*， 因此，驽马第七日行里数为b7＝－0.5×7＋97.5＝94，即驽马第七日行九十四里，故A正确； 第七日良马行走总里程为S7＝103×7＋×13＝994，而齐去长安一千一百二十五里，因为994<1 125，所以第七日良马未至齐，故B错误； 设第m日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，即103m＋×13＋97m－×0.5＝2×1 125，解得m＝9或m＝－40(舍)，即第九日二马相逢，故C错误； 由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了S9＝103×9＋×13＝1 395，所以二马相逢时良马行一千三百九十五里，故D正确． 三、填空题 9．若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项．写出一个满足条件的数列的通项公式an＝________. 答案　2n＋1(答案不唯一) 解析　设{an}的公差为d， 由题意得a2<a1d<a3， 所以a1＋d<a1d<a1＋2d， 又a1，d为正整数， 所以可取a1＝3，d＝2， 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 10．已知公差不为0的等差数列{an}的前23项和等于前8项和．若a8＋ak＝0，则k的值为________． 答案　24 解析　设等差数列{an}的公差为d，d≠0， 则由题意得S23＝S8， 即23a1＋d＝8a1＋d， 整理得a1＝－15d. 因为a8＋ak＝0， 所以a1＋7d＋a1＋(k－1)d＝0，即2a1＋(k＋6)d＝0， 所以－30d＋(k＋6)d＝0， 因为d≠0，所以k＝24. 11．设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝.设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且＝＋λ，则实数λ的值为________． 答案　－ 解析　依题意，B，C，P三点共线， ∴＋λ＝1，∴λ＝1－2×， 依题意，＝＝＝＝＝＝， ∴λ＝1－2×＝－. 12．等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________. 答案　10 解析　因为等差数列{an}共有2n＋1项， 所有奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1＝132， 所有偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1＝120， 所以＝＝＝＝， 解得n＝10. 四、解答题 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由． 解　(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1， 所以当a2＝－1时，－1＝2－λ， 解得λ＝3， 所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列{an}不可能为等差数列．理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)， 若存在常数λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3， 于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24， 这与{an}为等差数列矛盾， 所以对于任意常数λ，{an}都不可能是等差数列． 14．(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解　(1)∵3a2＝3a1＋a3， ∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， an＝a1＋(n－1)d＝nd， 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0， 解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝nd＝3n. (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3， 即＝＋， ∴6＝＝， 即a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0， 又S99－T99＝99， 由等差数列的性质知， 99a50－99b50＝99， 即a50－b50＝1， ∴a50－＝1， 即a－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51， 解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51， 解得d＝. 综上，d＝. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第六章　数列 第二节　等差数列 一、课标要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 4.体会等差数列与一元一次函数的关系． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分 【备考策略】1.理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系 5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和。需综合复习 本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式问题综合考查．难度中低档 三、知识梳理 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)． (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列． 4．等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数． (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 常用结论 1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． 2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. 5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S偶－S奇＝nd，＝. 6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 (1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； (2)＝. 四、课堂考点突破 考点一　等差数列基本量的计算 [例1]　（2020·全国Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝　　　　. 变式训练 1.数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 024＝　　　　. 考点二　等差数列的判定与证明 [例2]　（2021·全国甲卷）已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列； ③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 变式训练 2.（2021·全国乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. （1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式. 考点三　等差数列的性质及应用 题型一 等差数列项的性质 [例3]　（1）在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（　　） A.20　　B.22 C.24　　D.－8 （2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为　　　　. 　题型二 等差数列前n项和的性质 [例4] （1）记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝（　　） A.120　　　B.140　　　C.160　　　D.180 （2）在等差数列{an}中，a1＝－2 024，其前n项和为Sn.若－＝2，则S2 024的值为　　　　. （3）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＝　　　　； 　题型三 等差数列前n项和的最值 [例5]　在等差数列{an}中，已知a1＝13，3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为　　　　. 变式训练 3.在等差数列中，若a2＋a5＋a8＝3，则2a4＋a7＝（　　） A.6　 　B.5 C.4　 　D.3 4.（2024·甘肃金昌模拟）设等差数列的前n项和为Sn，若＝7，则＝（　　） A.　　B. C.　　D. 5.已知等差数列{an}共有（2n＋1）项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为（　　） A.30　　B.29 C.28　　D.27 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为（　　） A.5　　　B.6 C.7　　　D.8 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　) A．7 B．14 C．21 D．7(n－1) 3．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　) A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17 4．公差不为0的等差数列{an}满足a＋a＝a＋a，Sn为数列{an}的前n项和，则下列各选项正确的是(　　) A．a4＝0 B．a5＝0 C．S8＝0 D．S9＝0 5．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知等差数列{an}，an＋m＝am＋n(n≠m，n，m∈N*)，数列{bn}满足bn＝a2n＋1＋a2n－1， 则b2 024－b2 023等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 二、多项选择题 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a1>0，S4＝S12，则(　　) A．公差d<0 B．a7＋a9<0 C．Sn的最大值为S8 D．满足Sn<0的n的最小值为16 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则(　　) A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐 C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里 三、填空题 9．若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项．写出一个满足条件的数列的通项公式an＝________. 10．已知公差不为0的等差数列{an}的前23项和等于前8项和．若a8＋ak＝0，则k的值为________． 11．设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝.设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且＝＋λ，则实数λ的值为________． 12．等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________. 四、解答题 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由． 14．(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$