2024-—2025学年苏科版数学九年级上册期中复习冲刺(6-7)

2024 年初三数学期中考试复习冲刺练习(6) 第 6 练：二次函数与相似，二次函数与区间最值 (定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间) 1. 抛物线 y = ax2 - 2x + c 经过点 A(3,0)，点 C(0, -3)，直线 y=-x + b 经过点 A，交抛物线于点E ．抛物线的对 称轴交AE 于点B，交 x 轴于点D，交直线AC 于点F . (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图①,点P 为直线 AC 下方抛物线上的点，连接PA，PC，ΔBAF 的面积记为 S1，ΔPAC 的面积记为 S2，当 S2 S1 时．求点P 的横坐标； (3) 如图②,连接 CD，点 Q 为平面内直线 AE 下方的点，以点 Q，A，E 为顶点的三角形与 ΔCDF 相似时 (AE 与 CD 不是对应边)，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标. 2. 二次函数y=-x2 - 2x + c 在 -3 ≤x ≤ 2 的范围内有最小值 -5，则 c 的值是 . 3. 已知二次函数y = x2 - 2x + 2 在 t ≤ x ≤ t + 1 时的最小值是 t，则 t 的值为 . 4. 已知关于 x 的二次函数y = x2 - 2x - 2，当 a ≤ x ≤ a + 2 时，函数有最大值 1，则 a 的值为 . 5. 当 -2 ≤x ≤ 1 时，关于 x 的二次函数y=- (x -m)2 + m2 + 1 有最大值 4，则实数m 的值为 ( ) A. 2 B. 2 或 -、3 C. 2 或 - 3 或 - D. 2 或 ±、3 或 - 6. 当 -2 ≤x ≤ 1 时，二次函数y=- (x -m)2 + 2 的最大值是 1，则实数m 的值为 ( ) A. 0 或 1 B. - 1 或 0 C. 2 或 -3 D. - 2 或 3 初一伴读 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初三数学期中考试复习冲刺练习(6) 参考答案与解析 第 6 练：二次函数与相似，二次函数与区间最值 (定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间) 1. 抛物线 y = ax2 - 2x + c 经过点 A(3,0)，点 C(0, -3)，直线 y=-x + b 经过点 A，交抛物线于点E ．抛物线的对 称轴交AE 于点B，交 x 轴于点D，交直线AC 于点F . (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图①,点P 为直线 AC 下方抛物线上的点，连接PA，PC，ΔBAF 的面积记为 S1，ΔPAC 的面积记为 S2，当 S2 = S1 时．求点P 的横坐标； (3) 如图②,连接 CD，点 Q 为平面内直线 AE 下方的点，以点 Q，A，E 为顶点的三角形与 ΔCDF 相似时 (AE 与 CD 不是对应边)，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标. 【解析】解：(1) 将A(3,0)，点 C(0, -3) 代入 y = ax2 - 2x + c，∴ { ，解得 {c (a)1 3 ， ∴ y = x2 - 2x - 3； (2) 将A(3,0) 代入 y =-x + b 中， ∴ b = 3， ∴ y =-x + 3， 设直线AC 的解析式为 y = kx + b/， ∴ { ，解得 {b (k)/1-3 ， ∴ y = x - 3， ∵ y = x2 - 2x - 3 = (x - 1)2 - 4， ∴ B(1,2)，D(1,0)，F(1, -2)， 过点P 作 x 轴垂线交AC 于点M，交 x 轴于点N，设P(m,m2 - 2m - 3)，则M(m,m - 3)， ∴ PM=-m2 + 3m， ∴ S2 = × OA × PM =- m2 + m， S1 = × BF × AD = 4， ∵ S2 = S1， ∴- m2 + m = ，解得m = 或m = ， ∴ P 点的横坐标为 或 ； (3) ∵ C(0, -3)，D(1,0)，F(1, -2)， ∴ CD = 10 ，CF = 2 ，DF = 2， 初一伴读 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ E(-2,5)，A(3,0)， ∴ AE = 5 2 ， 设 Q(x,y)， ( CD DF CF = = ) ( AQ AE EQ ， )①当 ΔCDF ∽ ΔQAE 时， ( 10 ∴ = )2 2 = ( AQ ∴ AQ = 5 )5 2 EQ ， 5 ，EQ = 5， ∴ { ，解得 {y (x)5 (-)7 或 {y (x)10 (-2)(舍去)， ∴ Q(-7,5)； ( CD AQ ) ( DF CF ) ( = = ) ( QE AE ， )②当 ΔCDF ∽ ΔAQE 时， 10 2 2 ( , )∴ = = ( 5 2 )AQ EQ ∴ AQ = 5 10 ，QE = 10， ( ∴ { ),解得 {y (x)15 (-2)(舍去) 或 {y (x)5 (-)12 ， ∴ Q(-12,5)； ③当 ΔCDF ∽ ΔEQA 时，EQ (CD) = AQ (DF) = AE (CF) ， 10 2 2 ∴ = = ， EQ AQ 5 2 ∴ EQ = 5 10 ，AQ = 10， ∴ { ，解得 {y (x)3 10 或 {y (x)0 (13)(舍去)， ∴ Q(3, -10)； ④当 ΔCDF ∽ ΔQEA 时，EQ (CD) = AE (DF) = AQ (CF) ， 10 2 2 ( ∴ = = )EQ 5 2 AQ ， ∴ EQ = 5 5 ，AQ = 5， ∴ { ，解得 {y (x)35 或 {y (x)0 (8)(舍去)， ∴ Q(3, -5)； 综上所述：Q 点坐标为 (-7,5) 或 (-12,5) 或 (3, -10) 或 (3, -5) . 2. 二次函数y=-x2 - 2x + c 在 -3 ≤x ≤ 2 的范围内有最小值 -5，则 c 的值是 3 . 【解析】解：把二次函数 y=-x2 - 2x + c 转化成顶点坐标式为 y=- (x + 1)2 + c + 1， 又知二次函数的开口向下，对称轴为 x =-1， 故当 x = 2 时，二次函数有最小值为 -5， 故 -9 + c + 1 =-5， 故c=3. 故答案为：3 . 3. 已知二次函数y = x2 - 2x + 2 在 t ≤ x ≤ t + 1 时的最小值是 t，则 t 的值为 1或2 . 【解析】解：y = x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1，分类讨论： (1) 若顶点横坐标在范围 t ≤ x ≤ t + 1 右侧时，有 t+ 1 < 1，即 t< 0，此时 y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x = t + 1 时，函数取得最小值，y最小值 = t = (t + 1)2 - 2(t+1( + 2， 方程无解. 初一伴读 第2页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 (2) 若顶点横坐标在范围t ≤ x ≤ t + 1 内时，即有 t ≤ 1 ≤ t + 1， 解这个不等式，即 0 ≤t ≤ 1 ．此时当 x = 1 时，函数取得最小值，y最小值 = 1， ∴ t = 1 . (3) 若顶点横坐标在范围 t ≤ x ≤ t + 1 左侧时，即 t> 1 时，y 随 x 的增大而增大， ∵ 当 x = t 时，函数取得最小值，y最小值 = t = t2 - 2t + 2，解得 t = 2 或 1(舍弃)， ∴ t = 1 或 2 . 故答案为：1 或 2 . 4. 已知关于 x 的二次函数y = x2 - 2x - 2，当 a ≤ x ≤ a + 2 时，函数有最大值 1，则 a 的值为 -1或1 . 【解析】解：当 y = 1 时，x2 - 2x - 2 = 1， 解得：x1 =-1，x2 = 3， ∵ 当 a ≤ x ≤ a + 2 时，函数有最大值 1， ∴ a =-1 或 a + 2 = 3，即 a = 1 . 故答案为：-1 或 1 . 5. 当 -2 ≤x ≤ 1 时，关于 x 的二次函数y=- (x -m)2 + m2 + 1 有最大值 4，则实数m 的值为 ( ) ( 4 4 )A. 2 B. 2 或 - 3 C. 2 或 - 3 或 - 7 D. 2 或 ± 3 或 - 7 【解析】解：当m <-2，x=-2 时，y最大 =- (-2 -m)2 + m2 + 1 = 4，解得m =- 4 (7) (舍)， 当 -2 ≤m ≤ 1，x = m 时，y最大 = m2 + 1 = 4，解得m =- 3 ； 当m > 1，x = 1 时，y最大 =- (1 -m)2 + m2 + 1 = 4， 解得m = 2， 综上所述：m 的值为 - 3 或 2， 故选：B . 6. 当 -2 ≤x ≤ 1 时，二次函数y=- (x -m)2 + 2 的最大值是 1，则实数m 的值为 ( ) A. 0 或 1 B. - 1 或 0 C. 2 或 -3 D. - 2 或 3 【解析】解：∵ y =- (x -m)2 + 2， ∴ 二次函数开口向下，对称轴为 x = m， 当m≥ 1 时，则 -2 ≤x ≤ 1 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，当 x = 1 时，y 有最大值， ∴ 1 =- (1 -m)2 + 2，解得m = 0(舍去) 或m = 2， 当m≤-2 时，则 -2 ≤x ≤ 1 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小，当 x=-2 时，y 有最大值， ∴ 1 =- (-2 -m)2 + 2，解得m =-1(舍去) 或m =-3， 综上可知m 的值为 2 或 -3， 故选：C . 初一伴读 第3页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初三数学期中考试复习冲刺练习(7) 第 7 练：三角函数 (解三角形、解决实际问题、等腰三角形构造半角与倍角) 1. Rt△ABC 的边长都扩大 2 倍，则tanA 的值 ( ) A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断 2. 如图 1 是第七届国际数学教育大会 (ICME) 会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 2 所 示的四边形 OABC ．若AB = BC，sin∠AOB = ，则tanC 的值为 ( ) ( 3 7 7 2 10 )A. B. C. D. ( 7 3 4 7 )3. (1) 如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它 的正弦值和余弦值的变化规律； (2) 根据你探索到的规律，试比较 18° , 34° , 52° , 65° , 88° ,这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； (3) 比较大小：(在空格处填写“< ”或“> ”或“= ”) 若 ∠α =45° ,则 sinα cosα;若 ∠α < 45° ,则 sinα cosα;若 ∠α > 45° ,则 sinα cosα ; (4) 利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： sin10° , cos30° , sin50° , cos70° . 4. 如图，滑雪场有一坡角 20° 的滑雪道，滑雪道 AC 长为 200 米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 AB 的长为 ( ) 米. A. B. C. 200cos20° D. 200sin20° 期中考试复习冲刺 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 5. 在学习了测高相关知识后，小明和小丽想利用所学知识测量学校一棵大树 AB 的高度，如图所示，大树的影子 落在BC 处，小明站在影子顶端 C 处，此时小丽测量小明影子长度 CD = 2.7m，小丽将测倾器插在D 处测得点 A 的仰角(a = 21.9° . 已知小明的身高 CE = 1.8m，测倾器的高度DF = 1.3m，点B、C、D 在同一直线上，AB ⊥ BD，EC ⊥ BD，FD ⊥ BD，求大树 AB 的高度． (结果精确到 1m ．参考数据：sin21.9° ≈ 0.37，cos21.9° ≈ 0.93，tan21.9° ≈ 0.4) 6. 某校九年级学生到教育实践基地开展实践活动．当天，他们先从基地门口 A 处向正北方向走了 900 米，到达菜 园B 处采摘蔬菜，再从 B 处沿正西方向到达果园 C 处采摘水果，再向南偏东 37° 方向走了 600 米，到达手工坊 D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口 A 处，手工坊在基地门口北偏西 65° 方向上．求菜园与果园之间的距 离． (结果保留整数，参考数据：sin65° ≈ 0.91，cos65° ≈ 0.42，tan65° ≈ 2.14，sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80， tan37° ≈ 0.75) 7. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为 3m 的筒车 ⊙ O 按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与 水面分别交于点 A、B，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某 个盛水筒P 刚浮出水面 (点A) 时开始计算时间. (1) 求盛水筒P 从A 点到达最高点所经过的路程； (2) 求浮出水面 3.4 秒时，盛水筒P 到水面的距离； (3) 若接水槽MN所在直线是 ⊙ O 的切线，且与直线 AB 交于点M，MO = 8m，直接写出盛水筒P 从最高点开始， 经过多长时间恰好第一次落在直线 MN 上． (参考数据：cos43° = sin47° ≈ , sin16° = cos74° ≈ , sin22° = 期中考试复习冲刺 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初三数学期中考试复习冲刺练习(7) 参考答案与解析 1. Rt△ABC 的边长都扩大 2 倍，则tanA 的值 ( ) A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断 【解析】解：“ Rt△ABC 的边长都扩大 2 倍. : 所得的三角形与原三角形相似. : 上A 的大小没有发生变化. : tanA 的值不变. 故选：A . 2. 如图 1 是第七届国际数学教育大会 (ICME) 会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 2 所 示的四边形 OABC ．若AB = BC，sin上AOB = ，则tanC 的值为 ( ) ( 3 7 7 2 10 )A. B. C. D. ( 7 3 4 7 )【解析】解“：in (A)上 (B)AOB (= 3x) =，则BC = 3x， : BO = 7x， 故选：B . 3. (1) 如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它 的正弦值和余弦值的变化规律； (2) 根据你探索到的规律，试比较 18。，34。，52。，65。，88。，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； (3) 比较大小：(在空格处填写“< ”或“> ”或“= ”) 若 上α = 45。，则 sinα = cosα;若 上α < 45。，则 sinα cosα;若 上α > 45。，则 sinα cosα ; (4) 利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： sin10。，cos30。，sin50。，cos70。. 【解析】解：(1) 在图 (1) 中，令 AB1 = AB2 = AB3，B1 C1 丄 AC 于点 C1，B2 C2 丄 AC 于点 C2，B3 C3 丄 AC 于点 期中考试复习冲刺 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 C3， 显然有：B1C1 > B2C2 > B3C3，上B1AC > 上B2AC > 上B3AC . “ sin上B1AC = ，sin上B2AC = ，sin上B3AC = ，而 > > . : sin上B1AC >sin上B2AC >sin上B3AC . 在图 (2) 中，RtΔACB3 中，上C = 90。，cos上B1AC = ，cos上B2AC = ，cos上B3AC = ， “ AB3 < AB2 < AB1， AC AC AC : > > AB1 AB2 AB3 . 即 cos上B3AC > cos上B2AC > cos上B1AC . (2)sin88。> sin65。> sin52。> sin34。> sin18。； cos88。< cos65。< cos52。< cos34。< cos18。. (3) 若 上α =45。，则 sinα =cosα;若 上α < 45。，则 sinα < cosα;若 上α > 45。，则 sinα > cosα . (4)cos30。> sin50。> cos70。> sin10。. 4. 如图，滑雪场有一坡角 20。的滑雪道，滑雪道 AC 长为 200 米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 AB 的长为 ( ) 米. A. B. C. 200cos20。 D. 200sin20。 【解析】解：“ sin上C = ， : AB = AC .sin上C = 200sin20。， 故选：D . 5. 在学习了测高相关知识后，小明和小丽想利用所学知识测量学校一棵大树 AB 的高度，如图所示，大树的影子 落在BC 处，小明站在影子顶端 C 处，此时小丽测量小明影子长度 CD = 2.7m，小丽将测倾器插在D 处测得点 A 的仰角(a = 21.9。．已知小明的身高 CE = 1.8m，测倾器的高度DF = 1.3m，点B、C、D 在同一直线上，AB 丄 BD，EC 丄 BD，FD 丄 BD，求大树 AB 的高度． (结果精确到 1m ．参考数据：sin21.9。≈ 0.37，cos21.9。≈ 0.93，tan21.9。≈ 0.4) 【解析】解：如图所示，过点F 作FH 丄 AB 于H，交 CE 于 G ， “ AB 丄BD，EC 丄BD，FD 丄BD，FH 丄AB， : 四边形BHGC 和四边形 CGFD 都是矩形， : BH = CG = DF = 1.3m，FG = CD = 2.7m，BE = BC， “ 太阳光是平行光线， : ACⅡ DE， : 上ACB = 上EDC， 期中考试复习冲刺 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ tan ∠ACB =tan ∠EDC = = ， 设AB = 2x m，BC = 3x m， ∴ AH= (2x - 1.3)m，FH = (3x + 2.7)m， 在RtΔAHF 中，tan ∠AFH = ， ∴ tan21.9° = ≈ 0.4，解得 x ≈ 3.0， 经检验，x ≈ 3.0 是原方程的解， ∴ AB = 2x = 6m， ∴ 大树AB 的高度约为 6m . 6. 某校九年级学生到教育实践基地开展实践活动．当天，他们先从基地门口 A 处向正北方向走了 900 米，到达菜 园B 处采摘蔬菜，再从 B 处沿正西方向到达果园 C 处采摘水果，再向南偏东 37° 方向走了 600 米，到达手工坊 D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口 A 处，手工坊在基地门口北偏西 65° 方向上．求菜园与果园之间的距 离． (结果保留整数，参考数据：sin65° ≈ 0.91，cos65° ≈ 0.42，tan65° ≈ 2.14，sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80， tan37° ≈ 0.75) 【解析】解：作DE ⊥ AB，作 CF ⊥ ED 的延长线于点F， 由题知，AB = 900m，CD = 600m，∠DCF = 37° , ∠A = 65° , ∠B = 90° , 可得四边形BCFE 为矩形， ∴ BC =EF，BE = CF， ∵ = = sin37° , = = cos37° , ∴ DF = 360m，CF = 480m， ∴ BE = 480m， ∴ AE =AB -BE = 900 - 480 = 420(m)， ∴ DE =AE ⋅ tan65° = 420 × 2.14 = 898.8(m)， ∴ BC =EF =DF +DE = 360 + 898.8 = 1258.8 ≈ 1259(m). 答：菜园与果园之间的距离为 1259m . 7. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为 3m 的筒车 ⊙ O 按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与 水面分别交于点 A、B，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某 个盛水筒P 刚浮出水面 (点A) 时开始计算时间. (1) 求盛水筒P 从A 点到达最高点所经过的路程； (2) 求浮出水面 3.4 秒时，盛水筒P 到水面的距离； (3) 若接水槽MN所在直线是 ⊙ O 的切线，且与直线 AB 交于点M，MO = 8m，直接写出盛水筒P 从最高点开 始，经过多长时间恰好第一次落在直线 MN 上． (参考数据：cos43° = sin47° ≈ , sin16° = cos74° ≈ , sin22° 期中考试复习冲刺 第3页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：(1) 如图 1 中，连接 OA . 由题意，筒车每秒旋转 360。× ÷ 60 = 5。， 在RtΔACO 中，cos上AOC = ( 。 ): 上AOC = 43 ， : 2π × 3 × 答：盛水筒P 从A 点到达最高点所经过的路程为m . (2) 如图 2 中，盛水筒P 浮出水面 3.4 秒后，此时 上AOP = 3.4 × 5。= 17。 : 上POC = 上AOC + 上AOP = 43。+17。= 60。， 过点P 作PD 丄OC 于D， 在RtΔPOD 中，OD = OP . cos60。= 3 × = 1.5 2 - 1.5 = 0.7(m)， 答：盛水筒P 到水面的距离为 0.7m . (3) 如图 3 中， “ 点P 在 Θ O 上，且MN 与 Θ O 相切， : 当点P 在MN上时，此时点P 是切点，连接 OP，则 OP 丄MN 在RtΔOPM 中，cos上POM = ( 。 ): 上POM≈ 68 ， 在RtΔCOM 中，cos上COM = ( 。 ): 上COM = 74 ， ( 。 。 。 。 ): 上POH = 180 -上POM- 上COM = 180 -68 -74。= 38 ， : 需要的时间为 = 7.6 答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过 7.6 秒恰好在直线MN上. 期中考试复习冲刺 第4 页 共4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$