2024-—2025学年苏科版数学八年级上册期中复习冲刺(6-7)

2024 年初二数学期中考试复习冲刺练习(7) 参考答案与解析 1. 如图，P 为 上AOB 内一定点，M，N 分别是射线 OA，OB 上的点，当 ΔPMN 的周长最小时，上MPN = 100。，则 上AOB = 40° . 【解析】解：作P 点关于 OA 的对称点 C，作P 点关于 OB 的对称点D，连接 CD 交 OA 于点M，交BO 于点N， 连接MP、NP、OC、OD， : MP = CM，PN = ND， : ΔPMN 的周长 = MP + MN + NP = CM + MN + DN = CD，此时 ΔPMN 的周长有最小值， 由对称性可知 OC = OP = OD，上OCM = 上OPM，上OPN = 上ODN “ 上MPN = 100。， ( 。 ): 上OCM + 上ODN = 100 ， ( 。 ): 上COD = 80 ， “ 上COM = 上MOP，上PON = 上NOD， 1 。 ( 2 ， ): 上MON = 上COD = 40 故答案为：40。. 2. 如图，ΔABC 的面积为 6，AB = 5，AD 平分 上BAC ．若E，F 分别是AC，AD 上的动点，则FE + FC 的最小值 ( ) A. B. C. D. 3 【解析】解：过 C 作 CM 丄 AB，交AB 于点M，交AD 于点F，作M关于AD 的对称点E，连接EF， “ E 是M关于AD 的对称点， : AM = AE， “ AD 平分 上BAC ， : 上MAF = 上EAF， “ AF = AF， : ΔAMF 三 ΔAEF(SAS)， : MF = EF， FE + FC 的最小值 = MF + FC 的最小值，即 ΔABC 中AB 边上的高 CM， “ ΔABC 的面积为 6，AB = 5， : 6 = × 5 × CM， : CM = ，即FE + FC 的最小值为， 故选：B . 3. 如图，ΔABC 中，AD 垂直 BC 于点 D，且 AD = BC，BC 上方有一动点 P 满足 SΔPBC = SΔABC，则点 P 到B、 C 两点距离之和最小时，上PBC 的度数为 ( ) 期中考试复习冲刺 第1页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 ( 。 。 。 。 )A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【解析】解：“ SΔPBC = SΔABC， : P 在与BC 平行，且到BC 的距离为AD 的直线 l 上， : l Ⅱ BC， 作点B 关于直线 l 的对称点B/，连接B/ C 交 l 于P，如图所示： 则BB/ 丄 l，PB = PB/，此时点P 到B、C 两点距离之和最小， 作PM 丄 BC 于M，则BB/ = 2PM = AD， “ AD 丄BC，AD = BC ， : BB/ = BC，BB/ 丄 BC， : △BB/ C 是等腰直角三角形， ( 。 ): 上B/ = 45 ， “ PB = PB/， ( 。 ): 上PBB/ = 上B/ = 45 ， : 上PBC = 90。-45。= 45。； 故选：B . 4. 如图，ΔABC 中，AC = 2，AB Ⅱ DC，上BAC 的角平分线 AD 丄 BD 于D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部 分面积之差的最大值为 2 . 【解析】解：延长BD 交AC 于点H ．设AD 交BE 于点 O . “ AB Ⅱ CD， : 上ADC = 上BAD， “ AD 平分 上BAC， : 上CAD = 上BAD = 上ADC， : CA = CD = 2， “ AD 丄BH， ( 。 ): 上ADB = 上ADH = 90 ， ( 。 。 ): 上ABD + 上BAD = 90 ，上H + 上HAD = 90 ， “ 上BAD = 上HAD， : 上ABD = 上H， : AB = AH ， “ AD 丄BH， : BD = DH， “ DC = CA， : 上CDA = 上CAD， “ 上CAD + 上H = 90。，上CDA + 上CDH = 90。， : 上CDH = 上H， : CD = CH = AC， “ AE = EC， 期中考试复习冲刺 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 : SΔABE = SΔABH，SΔCDH = SΔABH， “ SΔOBD - SΔAOE = SΔADB - SΔABE = SΔADH - SΔCDH = SΔACD， “ AC = CD = 2， : 当DC 丄 AC 时，ΔACD 的面积最大，最大面积为 × 2 × 2 = 2 故答案为：2 . 5. 如图，在 ΔABC 中，上CAB = 30。，上ACB = 90。，AC = 3，D 为 AB 的中点，E 为线段 AC 上任意一点 (不与端 CE 的最小值为 . 【解析】解：如图，在 ΔABC 中，上CAB = 30。，上ACB = 90。，AC = 3，作 CG Ⅱ AB ( 。 ): 上GCA = 上CAB = 30 过点D 作DF 丄 CG 交AC 于点E， 1 : EF = CE 2 所以DE + 2 (1) CE = DE + EF = DF 最小， “ 上CAB = 30。，上ACB = 90。，AC = 3， ( 3 ): AB = 。= 2 3 cos30 “ D 为AB 的中点， 1 ( 3 ): CD = AD = AB = 2 “ 上DCF = 60。 ( 3 2 ): DF = DC . cos60。= ( 3 2 . )所以DE + 2 (1) CE 的最小值为 故答案为 2 (3) . 6. 如图在 ΔABC 中． 上B = 45。． AB = 4 ．点 P 为直线 BC 上一点．当 BP + 2AP 有最小值时，上BAP 的度数 为 15° . 【解析】解；如图，以BC 为边，作 上CBF = 30。，过点P 作PH 丄 BF 于H， : PH = 1 BP 2 ， : BP + 2AP = 2 BP+AP( = PH + AP)， : 当A、P、H 三点共线时，PH + AP 最小， 过点A 作AG 丄 BF 于 G，交BC 于P/， 在RtΔABG 中，上ABG = 30。+45。= 75。， ( 。 ): 上BAG = 15 ， : 当BP + 2AP 有最小值时，上BAP 的度数为 15。， 故答案为：15。. 期中考试复习冲刺 第3页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 7. 如图，AD 是等边三角形 ABC 的BC 边上的高，点E 是 AD 上的一个动点 (点E 不与点 A 重合)，连接 CE ．将 线段 CE 绕点E 顺时针旋转 60。得到EF，连接DF、CF，若AB = 6，则线段DF 长度的最小值是 ( ) A. 3 B. 3 C. 1.5 D. 1 【解析】解：如图，连接BF， “ AD 是等边三角形 ABC 的BC 边上的高，AB = 6， ( 。 ): BD = CD = 3，上CAD = 上BAD = 30 ， “ 将线段 CE 绕点E 顺时针旋转 60。得到EF， ( 。 ): CE = EF，上CEF = 60 ， : ΔEFC 是等边三角形， : CE = CF，上ECF = 60。= 上ACB， : 上ACE = 上BCF， (AC=BC 在 ΔACE 和 ΔBCF 中，{上ACE=上BCF ， EC=FC : ΔACE 三 ΔBCF(SAS)， ( 。 ): 上CBF = 上CAE = 30 ， : 点F 在射线BF 上运动，当DF 丄 BF 时，DF 有最小值， 此时，“ DF 丄BF，上CBF = 30。， ( 2 ， ): DF = 1 BD = 1.5 : 线段DF 长度的最小值是 1.5， 故选：C . 8. 如图，已知：ΔABC 中，AB = BC，上ABC = 70。，点 P 是 ΔABC 内一点．当 PA + PB + PC 最小时，上PCA = 30° . 【解析】解：将 ΔABP 绕点B 逆时针旋转 60。得到 ΔBFE，连接PF，EC . 由旋转的性质可知：AB = BE = BC，BP = BF，上PBF = 60。= 上ABE， : ΔPBF 是等边三角形， : PB = PF， “ 上ABC = 70。， ( 。 ): 上EBC = 上ABE + 上ABC = 130 ， : 上BCE = 180。-130。) = 25。， 又“ PA = EF， : PA + PB + PC = PC + PF + EF， “ PC + PF + EF ≥ EC， : 当P，F 在直线EC 上时，PA + PB + PC 的值最小，即此时点P 在 CE 上， “ AB = BC，上ABC = 70。， ( 。 ): 上ACB = 55 ， ( 。 。 ): 上PCA = 上ACB - 上BCE = 55 -25。= 30 ， 故答案为：30。. 9. 如图，Rt△ABC 中，上C = 90。，AC = 3 ，BC = 4 ，AB = 5 ，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的动点，则 △DEF 的周长的最小值是 ( ) A. 2.5 B. 3.5 C. 4.8 D. 6 期中考试复习冲刺 第4页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：如图，作 D 关于直线 AC 的对称点 M，作 D 关于直线 BC 的对称点 N，连接 CM，CN，CD，EN， FM，DN，DM . ∴ DF =FM，DE =EN，CD = CM，CD = CN， ∴ CD = CM = CN， ∵ ∠MCA = ∠DCA，∠BCN = ∠BCD，∠ACD + ∠BCD = 90° , ∴ ∠MCD + ∠NCD = 180° , ∴ M、C、N共线， ∵ DF +DE +EF =FM +EN +EF， ∵ FM +EN +EF ≥ MN， ∴ 当M、F、E、N共线时，且 CD ⊥ AB 时，DE +EF +FD 的值最小， 最小值为MN = 2CD， ∵ CD ⊥AB， ∴ ⋅ AB ⋅ CD = ⋅ BC ⋅ AC ， ∴ CD = = = 2.4 ， ∴ DE +EF +FD 的最小值为 4.8 . 故选：C . 10. 我们知道，( 2 )2 = 2；(4 + 3 ) (4 - 3 ) = 42 - ( 3 )2 = 13 ⋯⋯ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它 们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如 4 + 3 与 4 - 3 互为有理化因式， 5 + 2 与 5 - 2 互为有理化因式. 利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例 如： = = ， = = (33)2 (+)-222 = =- 3 - 2 . (1) 分母有理化的结果是 ； (2) 按上面的方法将和 分母有理化； (3) 利用以上知识计算： + + +⋯+ . 【解析】解：(1) = = ， 故答案为：； (2) 7 - 6 = ( 7 + 6 )( 7 - 6 ) 7 - 6 = 7-6 =、7 - 6 ； 期中考试复习冲刺 第5页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 = = 1 n + n +1 n +1 - n ( n +1 + n )( n +1 - n ) n +1 - n n +1-n = n +1 - n ， (3) + + +⋯+ = 2 - 1 + 3 - 2 + 4 - 3 +⋯+ 2023 - 2022 = 2023 - 1 . 11. 我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母 和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式. ( - 6 )( 7 + 6 ) ) ( 1 7 + 6 . )比如： 7 - 6 = ( 7 = 7 + 6 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较： 7 - 6 ( 1 / 7 ) ( 1 、 6 ) ( , 6 - 5 = ) ( . )和 6 - 5 的大小可以先将它们分子有理化如下： 7 - 6 = + 6 + 5 因为 7 + 6 > 6 + 5 ，所以， 7 - 6 < 6 - 5 . 再例如，求y = 、x +2 - 、x-2 的最大值、做法如下： ( 4 ) ( x + 2 ) ( + x - 2 ) ( . )解：由 x + 2 ≥ 0，x - 2 ≥ 0 可知 x≥ 2，而y = 、x +2 - 、x-2 = 当 x = 2 时，分母 x +2 + x-2 有最小值 2 ．所以y 的最大值是 2 . 利用上面的方法，完成下面问题： (1) 比较 19 - 18 和 18 - 17 的大小； (2) 求y = x +1 - x-1 + 2 的最大值. ( + 18 )( 19 - 18 ) ) ( 1 ) ( ; ) ( = ) ( 1 9 ) ( 19 + 18 + 1 8 )【解析】解：(1) 19 - 18 = ( 19 ( + 17 )( 18 - 17 ) ) ( 1 ) ( = ) ( , )18 - 17 = ( 18 ( 1 8 ) 18 + 17 + 17 ∵ 19 + 18 > 18 + 17 ， ∴ 19 - 18 < 18 - 17 ； (2) ∵ x + 1 ≥ 0 且x - 1 ≥ 0， ∴ x ≥ 1， ( 2 ) ( + 2 ， ) ( 原式 = )、x +1 + x-1 当 x = 1 时， 有最大值为 2 ， 此时，原式有最大值为 2 + 2 . 12. 阅读资料：“问题：已知 2 x + 4 y -2 = x + y + 3 在实数范围内成立，求 x、y 的值”．这类问题可通过配方解 决： ∵ ( x - 1)2 = x - 2 x + 1，( y -2 - 2)2 = y - 4 y -2 + 2 ∴ 已知等式可变为 ( x - 1)2 + ( y -2 - 2)2 = 0 由非负性可得：x = 1，y = 6 利用上述方法解决下面问题： ( x + xy 的值. ) ( y + z )已知等式 4( x + y -1 + z-2) = x+ y +z + 9，在实数范围内成立，求 【解析】解：∵ 4( x + y -1 + z-2) = x + y +z + 9， ∴ x - 4 x + 4 + (y - 1) - 4 y -1 + 4 + (z - 2) - 4 z-2 + 4 = 0， ∴ ( x - 2)2 + ( y -1 - 2)2 + ( z-2 - 2)2 = 0， ∴ x - 2 = 0，y -1 - 2 = 0， z-2 - 2 = 0 ， ∴ x = 4，y = 5，z = 6， ∴ 原式 = 、4 + 、20 5 + 6 ( + 2 5 ) ( = ) ( 2 / 6 ) + 5 = 2 6 - 2 5 + 2 5 = 2 6 . 期中考试复习冲刺 第6 页 共6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初二数学期中考试复习冲刺练习(7) 第 7 练：二次根式、最值 (将军引马、垂线段最短、线段拼接、费马点，手拉手，两点间距离) 一、最值问题-将军饮马问题 1. 如图，P 为 ∠AOB 内一定点，M，N 分别是射线 OA，OB 上的点，当 ΔPMN 的周长最 1 小时，∠MPN = 100° , 则 ∠AOB = . 二、最值问题-将军饮马与垂线段最短结合 2. 如图，ΔABC 的面积为 6，AB = 5，AD 平分 ∠BAC ．若E，F 分别是AC，AD 上的动点，则FE + FC 的最小值 ( ) D. 3 三、最值问题-动点轨迹为对称轴 3. 如图，ΔABC 中，AD 垂直 BC 于点 D，且 AD = BC，BC 上方有一动点 P 满足 SΔPBC = SΔABC，则点 P 到B、 C 两点距离之和最小时，∠PBC 的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 四、最值问题 - 线段最短 4. 如图，ΔABC 中，AC = 2，AB ⎳ DC，∠BAC 的角平分线 AD ⊥ BD 于D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部 分面积之差的最大值为 . 五、最值问题--垂线段最短-折线化直与胡不归 5. 如图，在 ΔABC 中，∠CAB = 30° , ∠ACB = 90° , AC = 3，D 为 AB 的中点，E 为线段 AC 上任意一点 (不与端 CE 的最小值为 . 六、最值问题 - 提取系数再构造 6. 如图在 ΔABC 中. ∠B = 45° . AB = 4 ．点 P 为直线 BC 上一点．当 BP + 2AP 有最小值时，∠BAP 的度数 为 . 七、最值问题确定轨迹－直接利用手拉手全等导角确定轨迹 7. 如图，AD 是等边三角形 ABC 的BC 边上的高，点E 是 AD 上的一个动点 (点E 不与点 A 重合)，连接 CE ．将 线段 CE 绕点E 顺时针旋转 60° 得到EF，连接DF、CF，若AB = 6，则线段DF 长度的最小值是 ( ) A. 3 B. 3 C. 1.5 D. 1 期中考试复习冲刺 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、最值问题 - 线段的拼接与费马点问题 8. 如图，已知：ΔABC 中，AB = BC，∠ABC = 70° ,点 P 是 ΔABC 内一点．当 PA + PB + PC 最小时，∠PCA = . 九、最值问题-线段的拼接与构造对称型全等 9. 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90 ° , AC = 3 ，BC = 4 ，AB = 5 ，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的动点，则 △DEF 的周长的最小值是 ( ) A. 2.5 B. 3.5 C. 4.8 D. 6 十、分母有理化 10. 我们知道，( 2 )2 = 2；(4 + 3 ) (4 - 3 ) = 42 - ( 3 )2 = 13 ⋯⋯ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它 们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如 4 + 3 与 4 - 3 互为有理化因式， 5 + 2 与 5 - 2 互为有理化因式. 利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例 ( 1 2 2 1 = = ) ( 如： ( 1 ) )3 +2 3 +2 3 +2 ( =- 3 - 2 . ) ( 2 = ( ) ( 2 2 × 2 2 ， 3 - )3 -2)( 3 +2) = ( 3 )2 -22 = -1 ( 4 ) ( 分母有理化的结果是 ); 5 ( 1 1 1 + ) ( ( 2 ) 按上面的方法将 ) ( 分母有理化； ) ( 和 + 2 )1 ( + 6 + n + 1 ) ( 7 )n ( 1 3 + 4 ) ( 1 2022 + 2023 . ) ( ( 3 ) 利用以上知识计算： ) ( 3 + ) ( +⋯+ )1 2+ 十一、分子有理化 11. 我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母 和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式. ( - 6 )( 7 + 6 ) 7 + 6 ) ( 1 7 + 6 . )比如： 7 - 6 = ( 7 = 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较： 7 - 6 ( 1 / 6 ) ( 1 / 7 ) ( , 6 - 5 = ) ( . )和 6 - 5 的大小可以先将它们分子有理化如下： 7 - 6 = + 6 + 5 因为 7 + 6 > 6 + 5 ，所以， 7 - 6 < 6 - 5 . 再例如，求y = 、x +2 - 、x-2 的最大值、做法如下： ( 4 ) ( x + 2 ) ( + x - 2 ) ( . )解：由 x + 2 ≥ 0，x - 2 ≥ 0 可知 x≥ 2，而y = 、x +2 - 、x-2 = 当 x = 2 时，分母、x +2 + 、x-2有最小值 2 ．所以y 的最大值是 2 . 利用上面的方法，完成下面问题： (1) 比较 19 - 18 和 18 - 17 的大小； (2) 求y = 、x +1 - 、x-1 + 2 的最大值. 期中考试复习冲刺 第2页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 12. 阅读资料：“问题：已知 2 = x + y + 3 在实数范围内成立，求 x、y 的值”．这类问题可通过配方解 决： ∵ ( x - 1)2 = x - 2 x + 1，( y -2 - 2)2 = y - 4 y -2 + 2 ∴ 已知等式可变为 ( x - 1)2 + ( y -2 - 2)2 = 0 由非负性可得：x = 1，y = 6 利用上述方法解决下面问题： 已知等式 4( x + y -1 + z-2) = x+ y +z + 9，在实数范围内成立，求 的值. 期中考试复习冲刺 第3 页 共3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初二数学期中考试复习冲刺练习(6) 第 6 练：勾股定理的应用 (直角边与斜边和差关系、方位角、噪音范围)、勾股数 一、风吹树折 1. 如图，一棵高为 16m 的大树被台风刮断，若树在离地面 6m 处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 m 处. 二、出水芙蓉 2. 阅读并解答问题 明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题： 原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉. 良工高士素好奇，算出索有几？ 译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺 (水平距离)时，秋千的踏板就和人一样 高，这个人的身高为 5 尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？ (注古代 5 尺为 1 步) 建立数学模型，如图，秋千绳索 OA 静止的时候，踏板离地高一尺 (AC = 1 尺)，将它往前推进两步 (EB = 10 尺)，此 时踏板升高离地五尺 (BD = 5 尺)，已知 OC 丄 CD 于点 C，BD 丄 CD 于点D，BE 丄 OC 于点E，OA = OB，求秋 千绳索 (OA 或 OB) 的长度．请解答下列问题： (1) 直接写出四边形ECDB 是哪种特殊的四边形； (2) 求 OA 的长. 三、求梯子的滑动距离 3. 如图，梯子AB 斜靠在竖直的墙AO 上，AO 为 2.4m，OB 为 0.7m . (1) 求梯子AB 的长； (2) 梯子的顶端A 沿墙下滑 0.4m 到点 C，梯子底端B 外移到点D，求BD 的长. 期中考试复习冲刺 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 四、梯子的滑动与等腰三角形中的化斜为直 4. 如图，一架梯子 AB 斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点 A 处，底端在水平地面的点B 处．保持梯子底端 B 的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E 处. (1) 如图 1，若顶端A 距离地面的高度AC 为 2.4 米，BC 为 0.7 米. ①则梯子的长为 米； ②若顶端E 距离地面的高度EF 比AC 少 0.4 米，求走廊的宽是多少米？ (2) 如图 2，G 是线段AE 上中点左侧一点，若BG = 2，AG . GE = 2、3 ，则梯子的长为 米. 五、长方体与展开图 5. 如图，长方体的长、宽、高分别为 8cm，4cm，5cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点B ．则蚂蚁爬行 的最短路径的长是 ( )cm . A. 17 B. 13 C. 145 D. 170 六、圆柱体与展开图 6. 如图，圆柱的底面周长为 32cm，高为 24cm，从圆柱底部 A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 B 处做装饰 (点B 在 点A 的正上方)，则这条丝线的最小长度为 ( ) A. 30cm B. 40cm C. 50cm D. 60cm 七、方向角 7. 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口 2 小时后分别位于 Q、R 处，且相距 40 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 期中考试复习冲刺 第2页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、化动为静 (噪声范围) 8. 如图，铁路MN和公路PQ 在点 O 处交汇，∠QON = 30° . 公路PQ 上 A 处距离 O 点 240 米，如果火车行驶时， 火车头周围 150 米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以 72 千米/ 小时的速度行驶时， A 处受到噪音影响的时间为 s . 九、共边直角三角形与垂美四边形 9. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD，AC 与 BD 相交于点O，若 AB = 5，CD = 3，则 AD2 + BC2 = . 10. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”. (1) 性质探究：如图 1，已知四边形ABCD 中，AC ⊥ BD，垂足为 O，求证：AB2 + CD2 = AD2 + BC2 . (2) 解决问题：如图 2，在RtΔABC 中，∠ACB = 90° , AB = 5、2 ，BC = 4、2 ，分别以 ΔABC 的边BC 和 AB 向外作 等腰RtΔBCE 和等腰RtΔBAD，连接DE，求DE 的长. 期中考试复习冲刺 第3页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初二数学期中考试复习冲刺练习(6) 参考答案与解析 1. 如图，一棵高为 16m 的大树被台风刮断，若树在离地面 6m 处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 8 m 处. 【解析】解：设树顶端落在离树底部 x 米处，由题意得： 62 + x2 = (16 - 6)2， 解得：x1 = 8，x2 =-8(不合题意舍去) . 故答案为：8 . 2. 阅读并解答问题 明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题： 原文：平地秋千未起，踏板一尺离地. 送行二步与人齐，五尺人高曾记. 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉. 良工高士素好奇，算出索有几？ 译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺 (水平距离)时，秋千的踏板就和人一样 高，这个人的身高为 5 尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？ (注古代 5 尺为 1 步) 建立数学模型，如图，秋千绳索 OA 静止的时候，踏板离地高一尺 (AC = 1 尺)，将它往前推进两步 (EB = 10 尺)，此 时踏板升高离地五尺 (BD = 5 尺)，已知 OC ⊥ CD 于点 C，BD ⊥ CD 于点D，BE ⊥ OC 于点E，OA = OB，求秋 千绳索 (OA 或 OB) 的长度. 请解答下列问题： (1) 直接写出四边形ECDB 是哪种特殊的四边形； (2) 求 OA 的长. 【解析】解：(1) 四边形ECDB 是矩形，理由是： ∵ OC ⊥ CD，BD ⊥ CD，BE ⊥ OC， ∴ ∠ECD = ∠CDB = ∠BEC = 90° , ∴ 四边形ECDB 是矩形； (2) 设 OA 的长为 x 尺， ∵ EC = BD = 5 尺，AC = 1 尺 ∴ EA = EC - AC = 5 - 1 = 4 尺 在RtΔOEB 中，OE = (x - 4) 尺，OB = x 尺，EB = 10 尺， 由勾股定理得：102 + (x - 5 + 1)2 = x2，解得：x = 14.5 . 答：秋千绳索 (OA 或 OB) 的长度为 14.5 尺. 期中考试复习冲刺 第1页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 3. 如图，梯子AB 斜靠在竖直的墙AO 上，AO 为 2.4m，OB 为 0.7m . (1) 求梯子AB 的长； (2) 梯子的顶端A 沿墙下滑 0.4m 到点 C，梯子底端B 外移到点D，求BD 的长. 【解析】解：(1) ∵ AO 为 2.4m，OB 为 0.7m， ∴ AB =、2⋅42 +0⋅72 = 2.5(m)， 答：梯子AB 的长为 2.5m； (2) 在RtΔCOD 中，CD2 = CO2 + OD2， 即DO = (2.5)2 -22 = 1.5(m)， 故BD = OD - OB = 1.5 - 0.7 = 0.8(m)， 答：BD 的长为 0.8m . 4. 如图，一架梯子 AB 斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点 A 处，底端在水平地面的点B 处．保持梯子底端 B 的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E 处. (1) 如图 1，若顶端A 距离地面的高度AC 为 2.4 米，BC 为 0.7 米. ①则梯子的长为 2.5 米； ②若顶端E 距离地面的高度EF 比AC 少 0.4 米，求走廊的宽是多少米？ (2) 如图 2，G 是线段AE 上中点左侧一点，若BG = 2，AG ⋅ GE = 2、3 ，则梯子的长为 米. 解：①在RtΔABC 中，AB = = 2.5 ， 故答案为：2.5； ② ∵ 梯子的长度不变， ∴ BE =AB = 2.5， ∵ 顶端E 距离地面的高度EF 比AC 少 0.4 米， ∴ EF = 2.4 - 0.4 = 2， 在RtΔBEF 中，BF = BE2 -EF2 = 2⋅52 -22 = 1.5， ∴ CF =BC +BF = 0.7 + 1.5 = 2.2(米)， 答：走廊的宽是 2.2 米； (2) 如图，设AE 的中点为H，连接BH，设AG = x 米， ∵ AG ⋅ GE = 2 3 ， 期中考试复习冲刺 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 设梯子的长为 y 米， ∵ AB = BE，AE 的中点为H ∴ BH ⊥AE， 在RtΔABH 中，BH2 = AB2 - AH2 = y2 - 在RtΔBGH 中，BH2 = BG2 - GH2 = 22 - 化简得：y2 = 4 + 2 3 ， ∴ y = 3 + 1 . ∴ 梯子的长为 (、3 + 1) 米， 故答案为：(、3 + 1) . 5. 如图，长方体的长、宽、高分别为 8cm，4cm，5cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点B ．则蚂蚁爬行 的最短路径的长是 ( )cm . A. 17 B. 13 C. 145 D. 170 【解析】解：如图 (1)：AB = 、(8+4)2 +52 = 13； 如图 (2)：AB = 82 +(5+4)2 = 、145 . (3) 如图 (3)：AB = 42 +(5+8)2 = 、185 . ∵ 145 < 13 < 185 ， ∴ 最短距离为、145 . 故选：C . 6. 如图，圆柱的底面周长为 32cm，高为 24cm，从圆柱底部 A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 B 处做装饰 (点B 在 点A 的正上方)，则这条丝线的最小长度为 ( ) A. 30cm B. 40cm C. 50cm D. 60cm 期中考试复习冲刺 第3页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形 ACBD， 则从圆柱底部 A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处做装饰， 这条丝线的最小长度是长方形的对角线 AB 的长. “ 圆柱的底面周长是 32cm，高是 24cm， : AB2 = 322 + 242 = 1600(cm)， : AB = 40cm . 故选：B . 7. 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口 2 小时后分别位于 Q、R 处，且相距 40 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【解析】解：由题意可得：RP = 12 × 2 = 24 海里，PQ = 16 × 2 = 32 海里，QR = 40 海里， “ 322 + 242 = 402， : ΔRPQ 是直角三角形， ( 。 ): 上RPQ = 90 ， ““远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东 45。方向航行， ( 。 ): 上RPS = 45 ， :“海天”号沿北偏西 45。(或西北) 方向航行. 8. 如图，铁路MN和公路PQ 在点 O 处交汇，上QON = 30。．公路PQ 上 A 处距离 O 点 240 米，如果火车行驶时， 火车头周围 150 米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以 72 千米/ 小时的速度行驶时， A 处受到噪音影响的时间为 9 s . 【解析】解：如图：过点 A 作AC 丄 ON，AB = AD = 150 米， “ 上QON = 30。，OA = 240 米， : AC = 120 米， 当火车到B 点时对A 处产生噪音影响，此时 AB = 150 米， “ AB = 150 米，AC = 120 米， : 由勾股定理得：BC = 90 米，CD = 90 米，即BD = 180 米， “ 72 千米/ 小时 = 20 米/ 秒， : 影响时间应是：180 ÷ 20 = 9(秒) . 故答案为：9 . 期中考试复习冲刺 第4页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 9. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 丄 BD，AC 与 BD 相交于点O，若 AB = 5，CD = 3，则 AD2 + BC2 = 34 . 【解析】解：“ AC 丄BD， ( 。 ): 上AOB = 上BOC = 上COD = 上AOD = 90 ， 在RtΔAOB 中，AB = 5， 由勾股定理得：OA2 + OB2 = AB2 = 25， 同理：OC2 + OD2 = CD2 = 9，OA2 + OD2 = AD2，OC2 + OB2 = BC2， : AD2 + BC2 = OA2 + OD2 + OC2 + OB2 = 25 + 9 = 34， 故答案为：34 . 10. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”. (1) 性质探究：如图 1，已知四边形ABCD 中，AC 丄 BD，垂足为 O，求证：AB2 + CD2 = AD2 + BC2 . (2) 解决问题：如图 2，在RtΔABC 中，上ACB = 90。，AB = 5、2 ，BC = 4、2 ，分别以 ΔABC 的边BC 和 AB 向外作 等腰RtΔBCE 和等腰RtΔBAD，连接DE，求DE 的长. 【解析】(1) 证明：“ AC 丄 BD，垂足为 O，如图 1， : AB2 = OA2 + OB2，CD2 = OC2 + OD2，AD2 = OA2 + OD2，BC2 = OB2 + OC2， : AB2 + CD2 = OA2 + OB2 + OC2 + OD2，AD2 + BC2 = OA2 + OB2 + OC2 + OD2， : AB2 + CD2 = AD2 + BC2 . (2) 解：如图 2，过点D 作DM 丄 BE，交EB 的延长线于点M， 则 上BMD = 90。， “ 上ACB = 90。， : AC = AB2 -BC2 = 3、2 ， “ ΔBCE 和 ΔABD 都是等腰直角三角形， ( 。 ): 上CBE = 上ABD = 90 ，BE = BC = 4，BD = BA， : 上CBM = 180。-上CBE = 180。-90。= 90。， ( 。 ): 上ABC + 上ABM = 90 ， “ 上DBM + 上ABM = 90。， : 上ABC = 上DBM， “ 上ACB = 上DMB = 90。， : ΔABC 三 ΔDBM(AAS)， : MD = AC = 3 2 ，BM = BC = 4 2 ， : ME = BE + BM = 4 2 + 4 2 = 8 2 ， 在RtΔBMD 中，DE = DM2 +ME2 = 、146 . 期中考试复习冲刺 第5页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$