数列的概念学案-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第六章　数列 第一节　数列的概念 一、课标要求 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分 【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法 2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式 3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习 数列通项公式的求解，前n项和Sn与数列的项an之间的关系的应用，数列的性质与应用仍是高考考查的热点，题型以选择与填空题为主，有时也会出现在解答题中． 三、知识梳理 1．数列的有关概念 概念 含义 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3. 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 4．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ （1）已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． （2）Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 5．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 6. 根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式． 7. 根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式． 8.形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.若p＝r，则是等差数列，且公差为，即可用公式求通项． 9.根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式． 10. 数列的周期性 对于无穷数列,如果存在一个正整数,对于任意正整数恒有成立,则称是周期为的周期数列.的最小值称为最小正周期,简称周期. [常用结论] 1．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 四、课堂考点突破 考点一　用观察法求通项公式 [例1]　写出下列各数列的一个通项公式. （1）－，，－，，…； （2），2，，8，，…； （3）5，55，555，5 555，…. 变式训练 1.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 考点二　由an与Sn的关系求通项公式 [例2]　 （1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝　　　　. （2）已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＋2an＝2（n∈N*），则an＝　　　　. 变式训练 2.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝　　　　. 3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝－2，则数列{an}的通项公式an＝　　　　. 考点三　由数列的递推关系求通项公式 [例3]　（1）若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则an＝（　　） A.n2　　　　B. C.　　D. （2）在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式为　　　　. 变式训练 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝（　　） A.2＋ln n　　 　B.2＋（n－1）ln n C.2＋nln n　　　D.1＋n＋ln n 5.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝（　　） A.　　　　　B. C.　　D. 考点四　数列的函数特性 题型一　数列的单调性 [例4]　已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是　　　　. 题型二　数列的周期性 [例5]　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，则a2 024的值为（　　） A.2　　　B.－3　　　C.－　　　D. 变式训练 6.在数列中，若a1＝2，an＝1－，则a2 024＝（　　） A.－1　　 　B. C.2　　　　 D.1 7.已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为　　　　. 五、课后作业 一、单项选择题 1．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　) A. B. C. D. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－1，则a3等于(　　) A．－5 B．5 C．7 D．8 3．已知数列{an}的首项为3，an＋1－an＝2n－8(n∈N*)，则a8等于(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 4．若数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于(　　) A．2n－1 B．n2 C. D. 5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 024的值为(　　) A．2 B．1 C. D. 6．已知数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项的值是(　　) A．3 B．19 C. D. 二、多项选择题 7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是(　　) A．a1是数列{an}的最小项 B．a4是数列{an}的最大项 C．a5是数列{an}的最大项 D．当n≥5时，数列{an}是递减数列 8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则下列说法正确的是(　　) A．a2 023>a2 022 B．4a－1＝4an＋1an C.＋的最小值为8＋ D．an≥1 三、填空题 9．若an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是第________项． 10．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________. 11．已知数列{an}满足a1＝1，(n－1)an＝n·2nan－1(n∈N*，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________． 12．(2024·重庆模拟)九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．现假设有n个圆环，用an表示按照某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数，且数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝an－2＋2n－1(n≥3，n∈N*)，则解开九连环最少需要移动________次． 四、解答题 13．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋1＝2＋1. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式． 14．已知在数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第六章　数列 第一节　数列的概念 一、课标要求 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分 【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法 2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式 3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习 数列通项公式的求解，前n项和Sn与数列的项an之间的关系的应用，数列的性质与应用仍是高考考查的热点，题型以选择与填空题为主，有时也会出现在解答题中． 三、知识梳理 1．数列的有关概念 概念 含义 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3. 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 4．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ （1）已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． （2）Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 5．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 6. 根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式． 7. 根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式． 8.形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.若p＝r，则是等差数列，且公差为，即可用公式求通项． 9.根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式． 10. 数列的周期性 对于无穷数列,如果存在一个正整数,对于任意正整数恒有成立,则称是周期为的周期数列.的最小值称为最小正周期,简称周期. [常用结论] 1．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 四、课堂考点突破 考点一　用观察法求通项公式 [例1]　写出下列各数列的一个通项公式. （1）－，，－，，…； （2），2，，8，，…； （3）5，55，555，5 555，…. [解]　（1）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝（－1）n×. （2）数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一变形为分数再观察.即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝. （3）将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝（10n－1）. ❙方法总结❙ 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法. 1.常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化 2.具体策略:（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝对值特征；（5）化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；（6）对于符号交替出现的情况，可用或，处理. 1.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 解：（1）数列可变形为 ，，，，，…， ∴an＝. （2）数列可变形为，，，，，…，即，，，，，…， ∴an＝. 考点二　由an与Sn的关系求通项公式 [例2]　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝　　　　. （2）（2024·广东湛江模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＋2an＝2（n∈N*），则an＝　　　　. [答案]　（1）　（2） [解析]　（1）根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3， 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝（2n＋2－3）－（2n＋1－3）＝2n＋1， 当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝ （2）∵Sn＋2an＝2（n∈N*）， ∴a1＝，Sn－1＋2an－1＝2（n≥2）， ∴Sn－Sn－1＋2an－2an－1＝0（n≥2）， ∴3an＝2an－1（n≥2）， ∴＝（n≥2），∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴an＝×＝. 学生用书⬇第129页 ❙方法总结❙ 1.已知Sn求an的3个步骤 （1）先利用a1＝S1求出a1； （2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－S(n－1)（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式； （3）注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. （1）利用an＝Sn－S(n－1)（n≥2）转化为只含Sn，S(n－1)的关系式，再求解； （2）利用（n≥3）转化为只含an，a(n-1)的关系式，再求解. 2.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝　　　　. 答案：4n－5 解析：a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5. ∵a1＝－1也适合上式，∴an＝4n－5. 3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝－2，则数列{an}的通项公式an＝　　　　. 答案：－ 解析：当n＝1时，S1＋a1＝2a1＝－2，解得a1＝－1； 由Sn＋an＝－2，可知当n≥2时，Sn－1＋an－1＝－2，两式相减，得2an－an－1＝0，即an＝an－1（n≥2），所以数列{an}是首项为－1，公比为的等比数列，所以an＝－. 考点三　由数列的递推关系求通项公式 [例3]　（1）若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则an＝（　　） A.n2　　　　B. C.　　D. （2）在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式为　　　　. [答案]　（1）D　（2）an＝ [解析]　（1）由an＋1－an＝n＋1知 a2－a1＝2， a3－a2＝3， a4－a3＝4， … an－an－1＝n， 以上等式累加知an－a1＝2＋3＋…＋n， ∴an＝. （2）∵an＝an－1（n≥2），an≠0， ∴＝， ∴＝，＝，…，＝. 以上（n－1）个式子相乘得， ＝··…·＝， ∴an＝＝. 当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝. ❙方法总结❙ 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝（　　） A.2＋ln n　　 　B.2＋（n－1）ln n C.2＋nln n　　　D.1＋n＋ln n 答案：A 解析：因为an＋1－an＝ln＝ln（n＋1）－ln n， 所以a2－a1＝ln 2－ln 1， a3－a2＝ln 3－ln 2， a4－a3＝ln 4－ln 3， … an－an－1＝ln n－ln（n－1）（n≥2）. 把以上各式累加得an－a1＝ln n－ln 1， 则an＝2＋ln n（n≥2）.因为a1＝2满足此式， 所以an＝2＋ln n. 5.（2024·山东潍坊模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝（　　） A.　　　　　B. C.　　D. 答案：B 解析：法一（累乘法）：因为数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1， 所以S1＋1×a1＝1＋1＝2. 因为{Sn＋nan}为常数列，所以由题意知， Sn＋nan＝2. 当n≥2时，（n＋1）an＝（n－1）an－1，从而···…·＝··…·， 所以an＝（*），当n＝1时（*）式成立， 所以an＝. 法二（特值验证法）：由a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，可得S1＋1×a1＝1＋1＝2， 故Sn＋nan＝2. 当n＝1时，a1＝1，排除C；当n＝2时，S2＋2×a2＝2， 即a1＋a2＋2a2＝2，即3a2＝1，a2＝，A，B，D都满足； 当n＝3时，S3＋3a3＝2，即1＋＋4a3＝2， 解得a3＝，排除A，D. 数列的函数特性 ◉角度（一）　数列的单调性 [例1]　已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是　　　　. [答案]　（－3，＋∞） [解析]　由题意可知，an＋1－an＝（n＋1）2＋λ（n＋1）－n2－λn＝2n＋1＋λ. ∵{an}是递增数列，∴an＋1－an＞0，且当n＝1时，an＋1－an最小， ∴an＋1－an≥a2－a1＝3＋λ＞0，∴λ＞－3，即实数λ的取值范围是（－3，＋∞）. ❙方法总结❙ 学生用书⬇第130页 ◉角度（二）　数列的周期性 [例2]　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，则a2 024的值为（　　） A.2　　　B.－3　　　C.－　　　D. [答案]　D [解析]　由题意知，a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 024＝a506×4＝a4＝. ❙方法总结❙ 1.（2024·甘肃白银模拟）在数列中，若a1＝2，an＝1－，则a2 024＝（　　） A.－1　　 　B. C.2　　　　 D.1 答案：B 解析：由题意得a1＝2，a2＝1－＝1－＝，a3＝1－＝1－2＝－1， a4＝1－＝1＋1＝2，…… 故为周期数列，一个周期为3，故a2 024＝a674×3＋2＝a2＝. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为　　　　. 答案：3，－1 解析：an＝＝＝1＋，当n≥11时，＞0，且单调递减；当1≤n≤10时，＜0，且单调递减.因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，则a11＝3，a10＝－1. 五、课后作业 一、单项选择题 1．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于，故此数列的一个通项公式为. 2．(2023·北京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－1，则a3等于(　　) A．－5 B．5 C．7 D．8 答案　B 解析　因为Sn＝n2－1， 所以a3＝S3－S2＝(32－1)－(22－1)＝5. 3．已知数列{an}的首项为3，an＋1－an＝2n－8(n∈N*)，则a8等于(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 答案　B 解析　由an＋1－an＝2n－8， 得a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6， 由累加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0， 所以a8＝a1＝3. 4．若数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于(　　) A．2n－1 B．n2 C. D. 答案　D 解析　设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2， 当n≥2时，an＝＝. 5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 024的值为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　A 解析　因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2， 由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由a3＝2，a4＝1，得a5＝， 由a4＝1，a5＝，得a6＝， 由a5＝，a6＝，得a7＝1， 由a6＝，a7＝1，得a8＝2， 由此推理可得数列{an}是周期为6的数列， 所以a2 024＝a2＝2. 6．已知数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项的值是(　　) A．3 B．19 C. D. 答案　C 解析　令f(x)＝x＋(x>0)， 运用基本不等式得f(x)≥6， 当且仅当x＝3时，等号成立． 因为an＝，n∈N*， 所以≤， 所以当n＝9或n＝10时，an＝最大． 二、多项选择题 7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是(　　) A．a1是数列{an}的最小项 B．a4是数列{an}的最大项 C．a5是数列{an}的最大项 D．当n≥5时，数列{an}是递减数列 答案　BCD 解析　假设第n项为{an}的最大项，则即 所以 又n∈N*，所以n＝4或n＝5， 故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}是递减数列． 8．(2023·扬州仪征中学模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则下列说法正确的是(　　) A．a2 023>a2 022 B．4a－1＝4an＋1an C.＋的最小值为8＋ D．an≥1 答案　ABD 解析　因为an＋1－an＝－an＝>0，即an＋1>an，所以an≥a1＝1，故D正确；因为an＋1>an，所以数列{an}为递增数列，可得a2 023>a2 022，故A正确；对于选项B，因为an＋1＝，则2an＋1－an＝，两边平方整理得4a－1＝4an＋1an，故B正确；对于选项C，因为数列{an}为递增数列且an≥1>0，则为递减数列，所以为递减数列，不存在最小值，故C错误． 三、填空题 9．若an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是第________项． 答案　7 解析　由题意得，an＝－2n2＋29n＋3，其对应的二次函数为y＝－2x2＋29x＋3， 函数y＝－2x2＋29x＋3的图象开口向下，对称轴为x＝， 因为n为正整数， 所以当n＝7时，an取得最大值． 10．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________. 答案　n－1 解析　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋， 所以a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 所以＝－， 所以数列{an}是以1为首项，－为公比的等比数列， 故an＝n－1. 11．已知数列{an}满足a1＝1，(n－1)an＝n·2nan－1(n∈N*，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________． 答案　an＝ 解析　当n≥2时，有(n－1)an＝n·2nan－1， 故＝·2n， 则有＝·2n－1，＝·2n－2，…，＝×22. 上述n－1个式子累乘，得＝···…·＝n·2n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＝. 因为a1＝1， 所以an＝， 而当n＝1时，a1＝1×20＝1，也满足上式， 故数列{an}的通项公式为an＝. 12．(2024·重庆模拟)九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．现假设有n个圆环，用an表示按照某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数，且数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝an－2＋2n－1(n≥3，n∈N*)，则解开九连环最少需要移动________次． 答案　341 解析　由题意，an＝an－2＋2n－1， 故a3－a1＝22， a5－a3＝24， … a2n－1－a2n－3＝22n－2， 以上各式相加，可得 a2n－1－a1＝22＋24＋…＋22n－2＝41＋42＋…＋4n－1， 即a2n－1＝1＋41＋42＋…＋4n－1＝＝， 所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a9＝＝341. 四、解答题 13．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋1＝2＋1. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式． 解　(1)∵a1＝1，an＋1＝2＋1， ∴a2＝2＋1＝2＋1＝3. (2)方法一　由an＋1＝2＋1， 得Sn＋1－Sn＝2＋1， 故Sn＋1＝(＋1)2. ∵an>0，∴Sn>0， ∴＝＋1， 即－＝1， 则－＝1(n≥2)， 由累加法可得＝1＋(n－1)＝n， ∴Sn＝n2(n≥2)， 又S1＝a1＝1，满足上式，∴Sn＝n2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又a1＝1适合上式，∴an＝2n－1. 方法二　由an＋1＝2＋1， 得(an＋1－1)2＝4Sn， 当n≥2时，(an－1)2＝4Sn－1， ∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an. ∴a－a－2an＋1－2an＝0， 即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0. ∵an>0，∴an＋1－an＝2(n≥2)． a2－a1＝2， ∴{an}为等差数列，且公差为2， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 14．已知在数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围． 解　(1)∵2Sn＝(n＋1)an， ∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， ∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an， ∴＝， ∴＝＝…＝＝1， ∴an＝n(n∈N*)． (2)∵bn＝3n－λn2， ∴bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)． ∵数列{bn}为递增数列， ∴2·3n－λ(2n＋1)>0， 即λ<. 令cn＝， 则＝·＝>1， ∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2)． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$