精品解析：2024—2025学年苏科版八年级数学上册期中复习卷

八年级数学 期中复习卷02 （总分：130分，用时：120分钟） 班级：____________ 姓名：______________ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面四个图形中，是轴对称图形的（ ） A. B. C. D. 2. 实数，，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 由下列条件不能判定为直角三角形是 （ ） A. B. ，， C. D. 4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 5. 如图，点A，B在数轴上分别表示数1，2，以为边作正方形，连接，以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ） A. B. 8 C. 10 D. 34 8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 6 二．填空题（共8小题） 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_______． 10. 等腰三角形的两边长分别是和，则该三角形周长为______． 11. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得___________． 12 如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a=_____ 13. 小亮用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为_________． 14. 如图，门上钉子处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得，．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点、、三点在同一直线上，则点的高度下降了______． 15. 如图，一个无盖的长方体盒子，底面是边长为2的正方形，高为4，一只蚂蚁从盒外的BC中点M，沿长方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是____________.° 16. 如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为________． 三．解答题（共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 19. 已知一个正数的平方根分别是和，的算术平方根是3，求的立方根． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在点上） （1）在图中作出关于直线对称的（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点）； （2）直接写出的面积为______； （3）直接写出点A到线段的距离______． 21. 如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接 （1）求证：； （2）若，，求周长. 22. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知，，为的三边长．化简：． 23. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直 (如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若， （1）求旗杆长． （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂 (拉绳处E 与脚底 F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小迪手臂伸直后的高度为2米，问小迪需要后退几米？ (结果保留根号) 24. 定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． （2）如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 25. 如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． （1）把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． （2）是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 26. 在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． （1）若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； （2）如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学 期中复习卷02 （总分：130分，用时：120分钟） 班级：____________ 姓名：______________ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面四个图形中，是轴对称图形的（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在实数，，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了立方根，无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：，， ，是无理数， 故选：B． 3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是 （ ） A. B. ，， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及勾股逆定理，如果找出一个角为则为直角三角形；如果较小的两边的平方和等于最大边的平方，则通过勾股逆定理证明其为直角三角形，即可作答． 【详解】解：A、∵， ∴ ∴ 故该选项是能判定为直角三角形； B、∵，， ∴不满足较小的两边的平方和等于最大边的平方 故该选项是不能判定为直角三角形； C、∵ ∴ 故该选项是能判定为直角三角形； D、∵ ∴设 则 故该选项是能判定为直角三角形； 故选：B 4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 5. 如图，点A，B在数轴上分别表示数1，2，以为边作正方形，连接，以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理算出的长度，即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 由勾股定理可得：， 由题意可得： 则点E表示的数是 故选：B 【点睛】此题考查了实数和数轴，勾股定理，解题的关键是正确求得的长度． 6. 已知，，则的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由x+y=-5，xy=3可得到x＜0，y＜0，再利用二次根式的性质化简得到原式= ，然后把xy=3代入计算即可． 【详解】∵x+y=−5，xy=3， ∴x<0，y<0， ∴原式=（x＜0，y＜0）， 当xy=3时,原式=. 故选B. 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于先化简. 7. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ） A. B. 8 C. 10 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，再利用勾股定理计算出AB即可． 【详解】解：如图：可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为10， 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解． 【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c， ∴ABa，ACb，BCc， ∵∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴2a2+2b2＝2c2， ∴a2+b2＝c2， ∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC， ∴BG＝GH＝a， ∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9， ∴（a+c）（c﹣a）＝9， ∴c2﹣a2＝18， ∴b2＝18， ∴b＝3， ∴ACb＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键． 二．填空题（共8小题） 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根式有意义的条件“被开方数为非负数”.根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可. 【详解】解：要使有意义，则需要， 解得. 故答案为：. 10. 等腰三角形的两边长分别是和，则该三角形周长为______． 【答案】##17厘米 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长时，解答出即可． 【详解】根据题意， ①当腰长为时， ∵， 不能构成三角形； ②当腰长为时， ∵， 能构成三角形， ∴周长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，是一道基础题．注意还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 11. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：． 12. 如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a=_____ 【答案】5 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义可得到3a﹣8＝7，然后解方程即． 【详解】解：∵， 而最简二次根式与可以合并成一个二次根式，即它们是同类二次根式， ∴3a﹣8＝7， ∴a＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了同类二次根式：若把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式． 13. 小亮用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．对千分位数字四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法将精确到的近似值为， 故答案为：． 14. 如图，门上钉子处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得，．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点、、三点在同一直线上，则点的高度下降了______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图1，作，则，由勾股定理得，，即到的垂直距离为；如图2，作于，作于，则缩短后，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理得，，即，可求，，则，由，可求，，则到的垂直距离为；然后根据点的高度下降了，计算求解即可． 【详解】解：如图1，作， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴到的垂直距离为； 如图2，作于，作于， 由题意知，缩短后， ∵长方形挂牌，点、、三点在同一直线上， ∴， 由勾股定理得，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，即， 解得，， ∴到的垂直距离为； ∴点的高度下降了， 故答案为：． 15. 如图，一个无盖的长方体盒子，底面是边长为2的正方形，高为4，一只蚂蚁从盒外的BC中点M，沿长方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是____________.° 【答案】5 【解析】 【分析】分情况讨论，根据题意画出长方体的展开图，利用勾股定理分别计算即可. 【详解】解：分两种情况讨论， 当爬行路线如图①所示，由题意得：MC=1，CD1=4+2=6， 此时蚂蚁爬行的最短距离MD1＝； 当爬行路线如图②所示，由题意得：MD=2+1=3，DD1=4， 此时蚂蚁爬行的最短距离MD1＝， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是5， 故答案为5. 【点睛】本题考查了长方体的平面展开图、两点之间线段最短以及勾股定理，根据题意得到只需分两种情况进行计算比较是解题的关键. 16. 如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，首先证明，推出，作点D关于的对称点G，连接，此时的值最小，最小值即为线段的长． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ， ， 作点D关于的对称点G，连接， 则，的最小值即为线段的长， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的值最小为：， 故答案为：． 三．解答题（共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算0指数幂，乘方，算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算乘方，负整数幂，立方根，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方根解题即可． （2）利用立方根解题即可． 【小问1详解】 解： 或 【小问2详解】 解： 【点睛】本题主要考查利用平方根及立方根解方程，能够熟练运用平方根及立方根公式是解题关键． 19. 已知一个正数的平方根分别是和，的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．利用一个正数的两个平方根互为相反数，求出a的值，再根据正的平方根是算术平方根求出b，即可求出立方根得解． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得：， 的算术平方根是3， ， 解得：， ， 的立方根为2． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在点上） （1）在图中作出关于直线对称的（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点）； （2）直接写出的面积为______； （3）直接写出点A到线段的距离______． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，网格中三角形面积的计算，掌握几何图形都是由点构成，画一个图形的对称图时在于找特殊的点的对称点． （1）关于l轴对称即原来的点与对称点到直线l的距离都相等即可找到． （2）用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． （3）根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：， ∴的面积为5． 故答案为：5． 【小问3详解】 解：∵与关于直线l对称， ∴， 设点A到直线的距离为h， ∵， ∴． 故答案为：． 21. 如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接 （1）求证：； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. 【小问2详解】 解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 22. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长 ∴， ∴ ． 23. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直 (如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若， （1）求旗杆的长． （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂 (拉绳处E 与脚底 F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小迪手臂伸直后的高度为2米，问小迪需要后退几米？ (结果保留根号) 【答案】（1）旗杆的长为12米 （2）米 【解析】 【分析】（1）设旗杆的长为米，则的长为米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）根作于，则四边形是矩形，得，米，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，求出旗杆的长是解题的关键． 【小问1详解】 解：设旗杆的长为米，则的长为（米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：旗杆的长为12米； 【小问2详解】 解：如图3，过作于， 则四边形是矩形， ，米， 米， （米， 在中，米， （米， 米， （米， 答：小迪需要后退米． 24. 定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． （2）如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． （1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：，， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， 【小问2详解】 解：如图：以在上找一点使得，再作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 25. 如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． （1）把沿着过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，请求出此时t的值． （2）是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】（1） （2）为等腰三角形时，的值为5或或8 （3）为或10 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 在中，，，， 则， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，，即， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； 【小问3详解】 解：当点在上时，如图2， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； ∴为或10时满足条件． 26. 在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． （1）若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； （2）如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）①；②，理由见解析 （2）或20 【解析】 【分析】（1）①根据折叠得出，利用勾股定理求出的长即可； ②根据平行线的性质和翻折的性质可证，从而； （2）由是直角三角形，当时，则四边形是正方形，得；当时，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解，当时，点P在线段上，不符合题意，舍去． 【小问1详解】 解：①根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵将沿直线翻折至的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，如图所示： ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴点E、D、C三点共线， 由翻折知，根据勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴； 当时，点P在线段上，不符合题意，舍去， 综上：或20． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 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