精品解析：2024-2025学年湘教版九年级上册数学期中模拟试卷（第1章～第3章）

2024-2025学年湘教版九年级上册数学期中模拟试卷（第1章~第3章） 一、单选题 1. 如图，点D在的边上，添加下列哪个条件后，仍无法判定（　　） A. B. C. D. 2. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 必有两个不相等实数根 B. 必有两个相等实数根 C. 方程没有实数根 D. 根的情况随着的变化无法确定 4. 已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶速度（单位：千米/时）关于行驶时间（单位：时）的函数图像为（ ） A. B. C. D. 5. 为精准扶贫，我区扶贫办帮助贫困户承包了一块矩形荒地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示；已知矩形荒地AD＝52米，AB＝30米，阴影部分设计为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为1400平方米，则通道宽为（　　）米 A. 1 B. 2 C. 40 D. 1或40 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（　　） A. 1：1 B. 1：2 C. 2：3 D. 4：3 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4x+4图像与x轴,y轴分别交于A,B两点，正方形ABCD的顶点C,D在第一象限，顶点D在反比例函数 的图像上，若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图像上，则n的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，分别是的边的点，且与交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形的顶点都在坐标轴上，若，与的面积分别为3和6，若双曲线恰好经过的中点E，则k的值为（　　） A. B. 2 C. D. 1 二、填空题 11. 已知中，D是BC上一点，添加一个条件使得，则添加的条件可以是_________． 12. 若关于的方程的一个根是，则另一根是_____，是_____． 13. 若反比例函数的图象经过点，则的图像在_______象限. 14. 为解决老百姓看病贵的问题，某药品经销商决定下调药品价格，某种药品经过两次调价，由每盒100元调至81元，则每次平均调价的百分率为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长都是1）． △A1B1C1是以B为位似中心的△ABC的位似图形，且△A1B1C1与△ABC位似比为2，则点C1的坐标是_______，△A1B1C1的面积是_________． 16. 如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，AC=5，P是AB边上的动点（不与A、B重合），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC相似线．设AP=x，若经过点P能画△ABC的相似线最多只有3条，则x的取值范围是_____________． 17. 已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为______． 18. 如图，矩形放置在平面直角坐标系中，在y轴上，，，已知四边形的面积为，反比例函数的图象经过点B，则k的值为______． 三、解答题 19. 用适当方法下列方程： （1） （2） 20. 如图，直线：与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值． （2）若直线过点，且不经过第一象限，写出一个满足条件的直线的函数解析式，并说明理由． 21. 已知关于的方程. （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）能否找到一个实数，使方程两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由． （3）当等腰三角形ABC边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长． 22. 如图，中，于点H，交于点，若内接矩形邻边． （1）求证： （2）求矩形的面积 23. 2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 24. 某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1．7m的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得，请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度． 25. 如图，等腰直角三角形ABC中，，，点D是边上的中点，点E是平面内一点，连接DE，将，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，，． （1）如图1，若点在线段上，，，求的面积； （2）如图2，若点在直线下方，点是中点，连接，，，若，求猜想线段，，的长度关系，并证明你的结论． （3）如图3，在（2）的条件下，作点E分别关于直线和的对称点、，连接，，，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湘教版九年级上册数学期中模拟试卷（第1章~第3章） 一、单选题 1. 如图，点D在的边上，添加下列哪个条件后，仍无法判定（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB； B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB； C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB； D、无法判断三角形相似． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，得出是解答本题的关键． 3. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 必有两个不相等实数根 B. 必有两个相等实数根 C. 方程没有实数根 D. 根的情况随着的变化无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】解：， ∵a=1，，，， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (，a，b，c为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶速度（单位：千米/时）关于行驶时间（单位：时）的函数图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据题意得出函数关系式，进而得出函数图象． 【详解】解：由题意可得： ， ∴汽车行驶速度是关于行驶时间反比例函数， ∵当时，， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 5. 为精准扶贫，我区扶贫办帮助贫困户承包了一块矩形荒地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示；已知矩形荒地AD＝52米，AB＝30米，阴影部分设计为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为1400平方米，则通道宽为（　　）米 A. 1 B. 2 C. 40 D. 1或40 【答案】A 【解析】 【分析】设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：设通道的宽为x米， 根据题意得：（52﹣2x）（30﹣2x）＝1400， 解得：x＝40（舍去）或x＝1， 通道的宽为1米； 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程． 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，进而得以解决． 【详解】∵反比例函数 ∴函数图象在第二和第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大 ∵点，点，点在反比例函数的图象上，且 ∴A在第四象限，B、C在第二象限 ∴ 故选： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键，注意反比例函数的图象是两条曲线，要考虑分不同的象限进行处理问题． 7. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（　　） A. 1：1 B. 1：2 C. 2：3 D. 4：3 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：过点D作DF∥BE，交AC于F， ∴AD是BC边上的中线， 即BD=CD， ∴EF=CF， ∵AE：EC=1：2， ∴AE=EF=FC， ∴AE：EF=1：1， ∴AP：PD=AE：EF=1：1． 故选A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4x+4的图像与x轴,y轴分别交于A,B两点，正方形ABCD的顶点C,D在第一象限，顶点D在反比例函数 的图像上，若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图像上，则n的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数的关系式可以求出与x轴和y轴的交点坐标，即求出OA，OB的长，由正方形的性质，三角形全等可以求出DE、AE、CF、BF的长，进而求出G点的坐标，最后求出CG的长就是n的值． 【详解】如图过点D、C分别做DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为E,F． CF交反比例函数的图像于点G． 把x=0和y=0分别代入y=-4x+4 得y=4和x=1 ∴A(1,0),B(0,4) ∴OA=1，OB=4 由ABCD是正方形，易证 △AOB≌△DEA≌△BCF（AAS） ∴DE=BF=OA=1,AE=CF=OB=4 ∴D(5，1)，F(0,5) 把D点坐标代入反比例函数y=，得k=5 把y=5代入y=,得x=1,即FG=1 CG=CF-FG=4-1=3,即n=3 故答案为B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像上的坐标特征，正方形的性质，以及全等三角形判断和性质，根据坐标求出线段长是解决问题的关键． 9. 如图，分别是的边的点，且与交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等比的性质，相似三角形的对应边成比例，解题的关键是熟练掌握等高的两个三角形面积之比等于底边之比即可求解． 根据，得出，，证明，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 又， ， 故选：D． 10. 如图，四边形的顶点都在坐标轴上，若，与的面积分别为3和6，若双曲线恰好经过的中点E，则k的值为（　　） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据，设；，得出，，进而表示出与的面积，表示出E点坐标，进而得出k的值． 【详解】解：因为，设；， 得到：，，， 与的面积分别为3和6， 的面积 ， 的面积 ， 两个等式相除，得到，代入得到， 的中点E点坐标为：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知得出的关系，进而表示出与的面积是解题关键． 二、填空题 11. 已知中，D是BC上一点，添加一个条件使得，则添加的条件可以是_________． 【答案】（本题答案不唯一） 【解析】 【分析】由相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】添加：∠B＝∠DAC 在△ABC和△DAC中, ∵∠BAC＝∠C，∠B＝∠DAC ∴△ABC∽△DAC 故答案为：∠B＝∠DAC（答案不唯一） 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 12. 若关于的方程的一个根是，则另一根是_____，是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即， 解得：， 故答案为：，． 13. 若反比例函数的图象经过点，则的图像在_______象限. 【答案】二、四 【解析】 【分析】用待定系数法求出k的值，根据反比例函数的性质判断其图像所在的象限即可. 【详解】解：将点代入得 ，解得： 因为k<0,所以的图像在二、四象限. 故答案为二、四 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，，当k>0时，图像在一、三象限，当k<0时，图像在二、四象限,正确掌握该性质是解题的关键. 14. 为解决老百姓看病贵的问题，某药品经销商决定下调药品价格，某种药品经过两次调价，由每盒100元调至81元，则每次平均调价的百分率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，本题难度较低，解题的关键是对“平均调价的百分率”的理解．两次调价百分比虽然不一定相等，但是因为是求平均值，则可以假设其两次调价的百分率相等．设每次平均调价的百分率为x，根据每盒100元调至81元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每次平均调价的百分率为x，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， 即每次平均调价的百分率为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长都是1）． △A1B1C1是以B为位似中心的△ABC的位似图形，且△A1B1C1与△ABC位似比为2，则点C1的坐标是_______，△A1B1C1的面积是_________． 【答案】 ①. （1,0） ②. 10 【解析】 【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，0）；故答案为（1，0）； （2））△A1B1C1的面积是：（2+4）×6﹣×2×4﹣×2×4=10． 故答案为10． 16. 如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，AC=5，P是AB边上的动点（不与A、B重合），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC相似线．设AP=x，若经过点P能画△ABC的相似线最多只有3条，则x的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图1，作，则可作，，即过点能画的3条相似线，根据，可求解；如图2，作，则可作，，即过点能画的3条相似线，根据可求解． 【详解】 如图1，作，则可作，，即过点能画的3条相似线， ， ，即， ， ， ， 如图2，作，则可作，，即过点能画的3条相似线， ， ，即， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为______． 【答案】0或1或 【解析】 【分析】分和两种情况，再分别解一元一次方程和一元二次方程，然后根据解都是整数即可得． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）当时， 方程为，解得，满足解是整数； （2）当时， 方程为一元二次方程， 因式分解，得， 解得， 方程的解都是整数，k也是整数， 一定是整数， 整数或； 综上，整数的值为0或1或， 故答案为：0或1或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 18. 如图，矩形放置在平面直角坐标系中，在y轴上，，，已知四边形的面积为，反比例函数的图象经过点B，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由于，则 ，在中根据勾股定理可得，求得，故 作轴于点，再证明，可得，设，表示出点坐标，根据四边形的面积为列方程即可解决． 【详解】解， ， ， ， 在中根据勾股定理可得 ，解得：， ， 作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 令， 在中根据勾股定理可得 ， ， 矩形中, ，， 连接 ， ， ， 解得：， ， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标的特征、矩形的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，利用了数形结合的思想. 三、解答题 19. 用适当的方法下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 由题意得，， 则， ∴， 即，； 【小问2详解】 可变为， 则或 解得，； 20. 如图，直线：与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值． （2）若直线过点，且不经过第一象限，写出一个满足条件的直线的函数解析式，并说明理由． 【答案】（1）， （2）（答案不唯一），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先将点A的坐标代入反比例函数中可得k的值，则，代入一次函数可得b的值； （2）根据直线过点B，且不经过第一象限，可知直线解析式为：，则可以是负数． 【小问1详解】 解：（1）将点代入反比例函数中得：， ， ， 将点代入中得：； 【小问2详解】 （2）满足条件的直线的函数表达式可以是：，理由如下： ∵直线， ∴， ∵直线过点B，且不经过第一象限， ∴满足条件的直线的函数表达式可以是：． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，涉及反比例函数的图象与一次函数的交点，求出点A的坐标是解题的关键． 21. 已知关于的方程. （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由． （3）当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）10． 【解析】 【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可． （2）两实数根互为相反数，让即可求得k的值． （3）分，两种情况做． 【详解】解：（1）∵△=， ∴方程总有实根； （2）∵两实数根互为相反数， ∴， 解得； （3）①当时，则△=0， 即， ∴， 方程可化， ∴， ∴，∴不适合题意舍去； ②当，则， ∴， 方程化为， 解得，， ∴c=2，C△ABC=10， 当c=a=4时，同理得b=2， ∴C△ABC=10， 综上所述，△ABC的周长为10． 22. 如图，在中，于点H，交于点，若内接矩形邻边． （1）求证： （2）求矩形的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形，是解题的关键； （1）利用字模型相似三角形，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）根据相似三角形的性质求出、的长，再算出矩形即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵于点H交于点I， ∴； 【小问2详解】 ∵， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的面积为． 23. 2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为 （2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 24. 某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1．7m的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得，请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度． 【答案】花丛中路灯的高度米． 【解析】 【分析】易知，，可得，，因为，推出，列出方程求出，由 ，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意可得：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，经检验符合题意， ∵ ， ∴， ∴， 经检验符合题意； 答：花丛中路灯的高度米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25. 如图，等腰直角三角形ABC中，，，点D是边上的中点，点E是平面内一点，连接DE，将，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，，． （1）如图1，若点在线段上，，，求的面积； （2）如图2，若点在直线下方，点是中点，连接，，，若，求猜想线段，，的长度关系，并证明你的结论． （3）如图3，在（2）的条件下，作点E分别关于直线和的对称点、，连接，，，当时，直接写出的值． 【答案】（1）5 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，利用得、的长，从而得出，利用勾股定理得出，从而得出答案； （2）连接，，设交于点，延长到点使得，首先利用证明，，再利用，得，可说明，得，，利用证明，得，，可说明是等腰直角三角形，即可证明结论； （3）连接交于点，作交延长线于点，作于点，则，设，则，由，可知，得，，，再利用，知，，再利用勾股定理得出和的值即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为M，如图，则， ， ， ∵， ∴， 由题意可得：，， ，， ， 由旋转可得：为等腰直角三角形， ； 【小问2详解】 ， 证明：连接，，设交于点，延长到点使得，连接，如图， 由题意可得：， 为的中位线，，，， ，， ，， ，， ，，，，， 又， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， 又，， ， 又，， ， ，， 为等腰直角三角形， 由勾股定理得， 即， ， 即； 小问3详解】 连接交于点，作交延长线于点，作于点，如图， 由轴对称的性质得，，，，， ， 又， ， 即， ， 设，则， 由（2）得， ， ， ， ， ， ，， 由题意得，，， ， ，， ， 由勾股定理得，， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图和思维能力，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$