集合与常用逻辑用语讲义-2025届高三数学一轮复习

集合知识点以及题型总结 思维导图 知识点一：集合与元素知识点总结 1. 集合与元素的概念 （1） 元素：一般的，我们将研究对象成为元素。元素可以是任何东西，比如“2”，“北京”“高一六班的每一个同学”等等。一般用小写字母a,b,c.......表示。 （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合。一般用大写字母A，B，C........表示。 2. 集合元素的三大特性 （1） 确定性：给定的集合，元素必须是确定的。比如“1~10之间的偶数构成一个集合，那么2，4，6，8就是这个集合的元素；“1~10中较小的数”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的。 （2） 互异性：一个给定的集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。比如高一六班的考试成绩：91，92，93，93，94，就不能构成一个集合，因为出现了重复的元素“93”。 （3） 无序性：一个给定的集合中的元素没有固定的顺序，也就是说，集合中的元素没有先后之分。比如｛2，4，6，8｝的这个集合也可以写成｛4，2，8，6｝，这是同一个集合的不同表达形式。 3. 集合与元素的关系 （1） 如果a 是集合A中的元素，就说a属于A，记作a∈A。 （2） 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a∉A。 例如：若用A表示“1~10之间所有的偶数”组成的集合，那么4∈A，3∉A。 4. 集合的表示方法 （1） 列举法：把集合中所有的元素一一列举出来，并且用花括号“｛｝”括起来的方法 比如：“地球上的四大洋”集合用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} （2） 描述法：设A是一个集合，我们将集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为 A={x|P（x）}的方法。 比如：B={y|y>10}就是描述法，表达的是B中的元素是y,y需要满足的条件是大于10. 第一象限的集合可以表示成{(x,y)|x>0,y>0} 5. 常见集合的字母表示以及之间的关系 自然数集 （非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N Z Q R 【考点一】集合的含义以及元素的特征 1.集合{2a,中实数a的取值范围是（ ） A. {a|a=0或a=2} B. {a|a=0且a=2} C. {a|a≠0或a≠2} D. {a|a≠0且a≠2} 2. 由实数x,-x,|x|, （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.5 【考点二】元素与集合的关系 1. 用适当的符号表示下列关系 0______N -3________N 0.5_______Z 1/3______Q a_______{a,b,c} 2. 已知集合 （ ） A. -3 B. -1或3 C. 3 D. -3或-1 3. （多选）已知x, y, z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是 （ ） D . 4. 已知集合A=实数a的取值范围是_________________________ 5. 已知集合 （1） 设c ∈ A ,求证： （2） 证明：若x∈A ,则 【考点三】集合的表示方法 1. 用适当的表示方法表示下列集合 （1） 小于10的自然数的集合 （2） 方程的所有实数根组成的集合 （3） 一次函数y=x+3与y=2x+6的图像的交点的集合 （4） 所有正偶数的集合 （5） 用Venn图表示下列集合的关系 A={x|x是四边形}，B={x|x是平行四边形}，C={x|x是矩形}，D={x|x是正方形} 2. 若集合中恰有8个整数元素，写出a的一个值_______________________. 3. 已知集合若A中至多有一个元素，则实数a的取值范围为________________________________. 知识点二：集合之间的关系 1. 子集 （1） 定义：一般的对于两个集合A，B。如果集合A中的任何一个元素都是B中的元素，就称A是B的子集。记作: （或者）A B 读作A包含于B（B包含A） （2） 数学表示： 【一般用于证明题】 注明：根据定义可知，如果A是B的子集，可以得出A是B的真子集或者A=B 2. 真子集 （1） 定义：如果集合，就称A集合是B的真子集，记作： B A 读作A真包含于B（或者B真包含A） （2） 数学表示： 注明：要想是真子集，首先得证明是子集 3. 集合相等 （1） 定义：一般的，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，同时集合B中的元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A与集合B相等，记作A=B。【也就是说】 （2） 数学表示： 4. 空集 （1） 定义：一般的，我们将不含任何元素的集合叫做空集，记作 ∅，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 5. 集合关系与相关的二级结论 （1） 任何集合是它本身的子集，即 （2） 对于集合A，B，C，如果 【集合的传递性】 （3） 。 【考点四】子集，真子集的概念 1. 设集合,则它们之间最准确的关系是 （ ） A. A=B B. A ⊈B C . AB D . A ⊆ B 2. 设集合,则它们之间最准确的关系是 ,写出证明过程。 【考点五】根据集合关系求参数 1. 已知集合 ( ) A. 0 B. 1 C.0或1 D.-1 2. (多选）已知则a的值可以是 （ ） A. 0 B. C .4 D .1 3. 已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3},若B⊆A，则实数a的取值范围是__________. 4设（i=1,2,3)均为实数，若集合A=的所有非空真子集的元素之和是12，则求A集合中的元素之和为_________________. 【考点六】集合相等与空集 1. （多选）下列说法不正确的是 （ ） A. {x|x+y=1}={y|x+y=1} B. {(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2} C. {x|x>2}={y|y>2} D. {1,2}={2,1} E. {（1,2）}={（2,1）} 2. 若含有三个实数的集合既可以表示成{a,,1},又可以表示成 【考点七】子集，真子集的个数 1.若集合（ ） A. 4 B.3 C .2 D .1 知识点三：集合的基本运算 1. 集合的并集 （1） 定义：有所有属于集合A或者所有属于集合B的元素组成的集合，成为集合A和B的并集。记作A∪B，（读作：A并B）即 A∪B={x|x∈A ,或x∈B } A B A∪B （2） 例题1：集合A={1，2，3，4}，B={4，5，6},求A∪B。 （3） 例题2：设集合A={x|-1<x<2},B ={x|1<x<3},求A∪B。 （4） 思考：A∪A=A，A∪∅=A 2.集合的交集 （1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集，记作A ⋂B，（读作：A交B） A ⋂B={x|x∈A，且x∈B} （2） 例题1：设平面上直线l上的点的集合为L，另一条直线m上的 A A ⋂B B 点的集合为M，试用集合的运算表示两条直线的位置关系 （4） 思考：A ⋂A=A，A ⋂∅= ∅ 3.集合的补集 （1）全集定义：如果一个集合含有所研究对象的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。 （2）补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集，记作∁，即： ∁={x|x∈U ,且x∉A } ∁ A （3） 例题1：设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁，∁。 4.集合运算的二级结论 （1）德摩根定律：∁=∁∪∁ 【交的补等于补的并】 ∁∩∁=∁ 【补的交等于并的补】 （2)若A ∪ B= B ，则。 （4） 若A ⋂B= B ，则。 （5） ，，． （6） ，，． （7） ，，． （8） 集合个数的关系： 记card(A)为集合A中元素的个数： 【考点八】并集，交集，补集运算 1.已知集合A={x|-6<2-x<-2},B={y|y=3/4x,x∈A},则A∩B= （ ） A .{x|3<x<6} B.{x|4<x<6} C.{x|3<x<8} D.{x|4<x<8} 2. 已知集合A={x|-2<x<1},B={x|x≤2},则集合{x|x≤-2或x≥1}= ( ) A. A∪B B.A ∩ B C. D. 3. 已知集合S={s|s=2n+1，n∈Z } ,T={t|t=4n+1,n∈Z},则S ∩ T= ( ) A.∅ B. S C.T D. Z 4. 已知M，N均为R的子集，且= （ ） A . ∅ B. M C .N D. R 5. 已知集合A=。若A∩B =C ，则集合C中的元素个数为 （ ） A. 0 B .1 C. 2 D. 3 6. 已知全集U=R，A={x|2<x<6},B={x|1<x<4} ，则途中阴影部分表示的集合为 （ ） A.{ x|1<x≤2} B. {x|1<x<2} C. {1,2} D. ∅ U A B 7.已知A={（x，y）|xy=12}，B={（x，y）|x，y∈N，y<x}，则A⋂B的元素个数是_____________ 【考点九】根据集合运算求参数 1. 已知集合A={1，2, m}，B={1，}，A∪B=A，则m= （ ） A. 0或4 B .0或 C .1或 D .1或4 2. 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}，则使得∅成立的实数m的取值范围可以是 （ ） A .{m|-3≤m≤4} B. {m|m>2} C.{m|2<m<4} D.{m|m≤4} 3.已知集合构成的集合是_____________________________________________. 【考点十】集合的实际运用 1. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远，球类，跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同是参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则 （ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有8人 C. 仅参加跑步比赛的有7人 D. 同时参加两项比赛的有10人 2. 已知集合A={（x,y）|mx+y=-1}，B={（x,y）|2x+ny=7}，甲，乙两名同学在进行A∩B的运算时，甲看错了m,解得A∩B={（2，3）}；乙看错了n ,解得A∩B={（3，2）} （1） 求实数m,n的值 （2） 求集合A∩B 【考点十一】集合的新定义问题 1. 设A是非空数集，若对任意x,y∈A ,都有x+y∈A ,xy∈A ,则称A具有性质P，给出一下命题： （1） 若A具有性质P，则A可以是有限集； （2） 若A，B具有性质P，且集合A和B的交集不是空集，则A和B的交集具有性质P； （3） 若A，B具有性质P，则A和B的并集具有性质P； （4） 若A具有性质P，且A≠R，则不具有性质P. 其中所有真命题的序号是______________________ 2. 已知非空数集S,T满足：. （1） 若T由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T； （2） 若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值 知识点四：充分条件和必要条件 1. 命题以及真假 （1） 命题的定义：可以判断真假的陈述句叫做命题 （2） 判断为真，则是真命题；判断为假，则是假命题 （3） 所有的命题都可以写成“若p，则q”的形式，其中p是命题的条件，q是命题的结论。 2. 充分条件，必要条件 （1） 定义：如果命题“若，则”为真命题，意思是由P通过推理可以得出q(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件。 如果命题“若，则”为假命题，意思是由P不能通过推理可以得出q(记作⇏q)，则p不是的充分条件；同时q不是的必要条件。 3. 充要条件 （1）若且q ⇏p，则是的充分不必要条件； （2）若p ⇏q, 且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若p ⇏q且q ⇏p，则不是的充分条件，也不是的必要条件. （1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）既不充分也不必要条件 （4）充要条件 【考点十二】充分条件和必要条件的判断 1. 下列说法正确的是 （ ） A. “ac=bc”是“a=b”的充分条件 B. “x≥1”是“”的必要条件 C. “1<x<3”是“x≥0”的充分不必要条件 2. 使“a<b”成立的一个充分不必要条件是 （ ） A.任意x∈{x|0<x≤1},a≤b+x B.任意x∈{x|0<x≤1},a+x<b C.存在x∈{x|0≤x≤1},a<b+x D.存在x∈{x|0≤x≤1},a+x≤b 3. （多选）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列结论正确的是 （ ） A. r是q的充要条件 B. p是q的充分条件 C. r是q的必要不充分条件 D. r是s的充分不必要条件 4. 设x∈R ,不等式|x-3|<2成立的一个充分不必要条件是 （ ） A.1<x<5 B.x>0 C.x<4 D.2≤x≤3 【考点十二】根据条件求参数 1.设p：若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 （ ） A.{a|0≤a≤} B.{a|0<a<} C.{a|a≤0或a≥} D.{a|a<0或a>} 2.已知p:方程一个必要不充分条件是a≤m+1，则实数m的取值范围是________________________ 3.已知集合M={x|x<-3或x>5}，P={x|a≤x≤8}. (1) 求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件 (2) 求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充分不必要条件 (3) 求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的必要不充分条件 4．已知条件 ： ； ： .若 是一个充分不必要条件是 ，求实数 的取值范围. 5. 关于x的不等式在R上恒成立的充要条件是 （ ） A.0<a<1 B.0<a<1 C.a>1 D. a<1或a>1 知识点五：全称量词和存在量词 1. 全称量词以及全称量词命题 （1） 全称量词定义：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。 （2） 全称量词命题定义：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为： 读作“对任意属于，有成立”. （3） 举例：p: [为全称量词，p是全称量词命题] 2. 存在量词以及存在量词命题 （1） 存在量词定义：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （2） 存在量词命题定义：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为 读作“存在中元素，使成立” （3） 举例：p： [为存在量词，p是存在量词命题 ] 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 【考点十三】全称命题和存在命题的理解以及判断 1. （多选）下列命题是“”的表述方法的有 ( ) A. 有一个x∈R,使得成立 B. 对有些x∈R，使得成立 C. 任选一个x∈R,都有成立 D. 至少有一个x∈R,使得成立 2. （多选）下列命题中，为真命题的是 （ ） A. B. C. D. 3. 判断下列命题是全称命题还是存在命题 （1） 非负实数有两个平方根 （2） 有一对实数（x,y),使2x-y+1<0成立 【考点十四】根据条件求解参数 1. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是 （ ） A .a≤3 B.a≥4 C.a≥3 D.a≥5 2.已知条件实数满足，条件实数满足，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点十五】全称命题和存在命题的否定 1.命题“存在实数x,使”的否定是__________________________________________ 2. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是 （ ） A. {x|x<1} B .{x|-1≤x≤4} C .{x|0≤x<3} D.{x|-4<x<4} 3. 命题“”的否定是______________________________. 4. 若命题p:______________________________________. 学科网（北京）股份有限公司 $$