1.1.1空间向量及其线性运算课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，如拉力、风力、重力. 新知引入 问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 平面向量的概念 空间向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或|a|. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或|a|. 探究新知 问题2 如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？ 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 (1)有向线段 A (起点) B (终点) a (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y) (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y，z) a c b 印刷体： a 手写体： 探究新知 问题3 从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念，你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 探究新知 例1.判断正误. (1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量（ ） (2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同（ ） (3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（ ） (4)将空间所有单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆（ ） (2)× 空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同． (3)× 缺少另一条件：方向相同． (1)× 缺少另一条件：长度相等． (4)× 它们的终点构成一个球面． 小试身手 特点: 共起点，连终点，指被减 1. 向量加法三角形法则: 特点: 首尾相接，首尾连 特点: 共起点，对角线 向量加法平行四边形法则: 2.向量减法三角形法则: A O B 问题4 平面向量的线性运算有哪些？ 探究新知 实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa， 其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. 3.数乘运算： 探究新知 问题5 如何进行空间向量的线性运算？你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算． 空间向量的线性运算 平移 平面向量的线性运算 探究新知 空间向量的线性运算 加法： (三角形法则，首尾相接，首尾接) (平行四边形法则，共起点，对角线) 减法： (三角形法则，共起点，连终点，指被减) 数乘： 交换律： 结合律： 分配律： 因为任意两个空间向量都可平移到同一平面内， 所以任意两个空间向量的运算可以转化为平面向量的运算. 方法总结 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 例2：如图,已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量. A B C D A1 B1 C1 D1 (1) (2) (3) (4) 【拓展提升】空间向量的线性运算 练习：课本P5-2 E F 同起点的两个平面向量的和向量为平行四边形的对角线所在向量； 同起点的三个空间向量的和向量为平行六面体的体对角线所在向量. 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 A B C D E F 第2题 课本P5-2 小试身手 A B C D E F (第4题) A B C D D1 C1 B1 A1 M (课本第10页 第5题) A 问题6 你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 共线向量定理：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使. 探究新知 如右图，O是直线 l上一点，在直线 l上取非零向量 a，我们把与向量 a平行的非零向量称为直线 l的方向向量. 对于直线 l上任意一点 P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数 λ ，使得 = λa. 也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 直线的方向向量 探究新知 共面向量：平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 平行或重合 平行于平面α或在平面α内 探究新知 问题7 任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，那么三个向量可以平移到同一平面内吗？ 任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面. 追问 如何判断三个向量是否共面呢？ a b . O α c p 探究新知 问题8 你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ a b . O α p p＝xa +yb 共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 平面向量基本定理： 若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量， 则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ， 使得： p＝xa +yb. 探究新知 小试身手 小试身手 【例题讲解】向量共面、四点共面 P5-例1. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使 ， 求证：E，F，G，H四点共面. 追问(1) 如何证明E ，F ，G ，H四点共面？ 追问(2) 如何证明这三个向量共面？ 可以通过证明 这四点构成的三个向量，如 共面，来证明这四点共面. 根据向量共面的充要条件，用 表示 即可. 【例题讲解】向量共面、四点共面 P5-例1. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使 ， 求证：E，F，G，H四点共面. 思路： · 证明: 、、三点共线 、、、 点共面 方法总结 【实战演练】向量共面、四点共面 P10-6. 如图，已知E，F，G，H，分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四点共面. 空间向量共面的推论 P、A、B、C四点共面的充要条件 是对空间任意一点O， O A C B P 共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 探究新知 、、三点共线 、、、 点共面 应用拓展 练一练：已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线，如果，则的值为____________ 作业讲评 作业讲评 定义；表示法；相关概念. 加、减、数乘运算及其运算律. 直线的方向向量；向量共面. 空间向量的概念 空间向量 的线性运算 线性运算的应用 课堂小结 1．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段eq \o(OA,\s\up21(→))所在的直线OA与直线l_______________，那么称向量a平行于直线l. 2．向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段eq \o(OA,\s\up21(→))所在的直线OA_______________________，那么称向量a平行于平面α. 【典例分析】 已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面． 证明　 由题意可设＝x＋y，则有 e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2. 因为e1和e2不共线， 所以解得 所以＝＋， 所以A，B，C，D四点共面． $$