专题26.2 反比例函数的图象和性质（3大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.2 反比例函数的图象和性质（3大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的图象 1.反比例函数图象的画法（描点法） （1）列表； （2）描点； （3）连线. 2.图象的特点 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 【特别提示】 双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)又是轴对称图形(对猕轴是直线：y=x或直线y=-x)； 实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。 【知识点2】反比例函数的性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小(增大),所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的. 【知识点3】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝|xy|＝|k|. (2)常见的面积类型： 【特别提示】 (1)已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (2)越大，双曲线离原点越远. (3)求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 题型目录 【反比例函数的图象】 【题型1】判断反比例函数的图象.................................................3; 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式.......................................4； 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围.....................................5； 【题型4】判断反比例函数所在的象限.............................................5； 【反比例函数的性质】 【题型5】反比例函数的对称性...................................................6； 【题型6】判断反比例函数的增减性...............................................6； 【题型7】由反比例函数的增减性求参数...........................................7； 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小.................................7； 【比例系数k的几何意义】 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积...........................................8； 【题型10】由图形面积求比例系数................................................9; 【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考...........................................................10; 【题型12】拓展延伸...........................................................11. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判断反比例函数的图象 【例1】（23-24九年级上·河北沧州·期末）函数，  （1）在坐标系内画出这个函数的图象； （2）以下结论正确的是 ．（填序号） ①该函数图象关于y轴对称 ；      ②时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ③当时， ；        ④若直线与该函数图象只有两个交点，则． 【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式 【例2】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）图所示曲线是反比例函数的图像的一支． （1）这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ． 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围 【例3】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． （1）若，则x的取值范围是__________； （2）若，则x的取值范围是__________； （3）若，且，则x的取值范围是__________． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 【题型4】判断反比例函数所在的象限 【例4】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于的反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）判断该反比例函数图象经过的象限． 【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如果，那么反比例函数的图象在第 象限． 【题型5】反比例函数的对称性 【例5】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． （1）若，求证：． （2）若，，，求该函数的表达式． 【变式1】已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【题型6】判断反比例函数的增减性 【例6】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知反比例函数的图象经过两点． （1）求m和k的值； （2）求出时，y的取值范围． 【变式1】（22-23九年级下·山东德州·开学考试）若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象经过点 C．随的增大而减小 D．图象关于原点对称 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【题型7】由反比例函数的增减性求参数 【例7】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（为常数，且）． （1）若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； （2）若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【变式2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·开学考试）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）点，，都在函数上，则，，的大小关系是 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积 【例9】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． （1）若点的纵坐标为2，求的值； （2）求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【题型10】由图形面积求比例系数 【例10】（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【变式2】（2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）如图，矩形的面积为24，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考 【例1】（2023·四川资阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结． （1）求k、b的值； （2）求的面积； （3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大． 【例2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． （1）当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； （2）当时，______（用含n的代数式表示）． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； （2）设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【例2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．   （1）如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若． ①求反比例函数的表达式． ②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标． (2) 如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.2 反比例函数的图象和性质（3大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的图象 1.反比例函数图象的画法（描点法） （1）列表； （2）描点； （3）连线. 2.图象的特点 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 【特别提示】 双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)又是轴对称图形(对猕轴是直线：y=x或直线y=-x)； 实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。 【知识点2】反比例函数的性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小(增大),所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的. 【知识点3】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝|xy|＝|k|. (2)常见的面积类型： 【特别提示】 (1)已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (2)越大，双曲线离原点越远. (3)求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 题型目录 【反比例函数的图象】 【题型1】判断反比例函数的图象.................................................3; 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式.......................................5； 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围.....................................8； 【题型4】判断反比例函数所在的象限............................................10； 【反比例函数的性质】 【题型5】反比例函数的对称性..................................................12； 【题型6】判断反比例函数的增减性..............................................14； 【题型7】由反比例函数的增减性求参数..........................................16； 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小................................18； 【比例系数k的几何意义】 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积..........................................21； 【题型10】由图形面积求比例系数...............................................24; 【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考...........................................................28; 【题型12】拓展延伸...........................................................32. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判断反比例函数的图象 【例1】（23-24九年级上·河北沧州·期末）函数，  （1）在坐标系内画出这个函数的图象； （2）以下结论正确的是 ．（填序号） ①该函数图象关于y轴对称 ；      ②时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ③当时， ；        ④若直线与该函数图象只有两个交点，则． 【答案】(1)见解析； (2)②④ 【分析】本题考查画函数图像，反比例函数图像和性质． （1）根据函数解析式即可画出； （2）根据函数解析式结合函数图像逐一分析即可得出． 解：（1）解：∵， ∴当时可知，函数为反比例函数经过第一象限， 当时可知，函数为反比例函数经过第二象限， 如下图所示：    （2）解：∵函数不是相同函数，值不同， 故不对称，①不正确； ∵通过观察图象可知，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小， 故②正确； ∵当时，代入中得： ，③不正确； ∵直线与该函数图象只有两个交点， ∴，整理得：，即：，解得：， ∵通过观察图象可知交点在第一和第二象限，故， ，整理得：，即：，舍去， ∴，④正确， 故答案为：②④． 【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 解：由图可知，当时，． 故答案为：． 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式 【例2】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）图所示曲线是反比例函数的图像的一支． （1）这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 【答案】(1)第四象限；； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以即可求解； （2）由一次函数可求出，利用△AOB的面积求出点的纵坐标，再由一次函数可求得点，则，解此方程求出n即可． 解：（1）解：图像的另一支位于第四象限； 由图知，解得． （2）过作轴的垂线，垂足为，如图． 在中，令，则， 解得： 即． 由得， ∴， 即A点的纵坐标为． 将代入，求得， 即． ∴ ∴． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点C的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3，故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用．求得中点A的坐标是解题的关键． 由点D的坐标为，可求得菱形的边长，得到，由点中点性质即得． 解：∵点 D 的坐标为 ， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围 【例3】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． （1）若，则x的取值范围是__________；（2）若，则x的取值范围是__________； （3）若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或；(2)；(3)或. 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 解：（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数时，图象在第一、三象限，呈下降趋势，当时，图象在第二、四象限，呈上升趋势．根据反比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 解：∵反比例函数的图象经过第二、第四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型4】判断反比例函数所在的象限 【例4】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于的反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）判断该反比例函数图象经过的象限． 【答案】(1)；(2)第一、三象限． 【分析】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质； （1）根据图象经过点的意义，代入计算即可； （2）根据反比例函数的符号进行判断即可． 解：（1）解：图象经过点， ， 解得：． （2）解：当时， ， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限． 【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如果，那么反比例函数的图象在第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．判断出的取值范围即可求解． 解：， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限． 故答案为：一、三． 【题型5】反比例函数的对称性 【例5】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． （1）若，求证：． （2）若，，，求该函数的表达式． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，然后由，即可证得． （2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值． 解：（1）证明：反比例函数的图象过点． ，， ， ． （2）解：，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数的表达式为． 【变式1】已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出的值即可判断． 解：点、、都在反比例函数的图象上， ，，， ， 故选． 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键． 设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， 解得：， 故答案为∶1． 【题型6】判断反比例函数的增减性 【例6】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知反比例函数的图象经过两点． （1）求m和k的值； （2）求出时，y的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象经过得、，即，计算得，即可得； （2）由（1）得，，即反比例函数解析式为，把， 分别代入反比例函数解析式即可得，，即可得解． 解：（1）解：∵反比例函数的图象经过 ∴、， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 即反比例函数解析式为， 当时，， 当时，， 即当时，随着的增大而减小， y的取值范围为：． 【变式1】（22-23九年级下·山东德州·开学考试）若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象经过点 C．随的增大而减小 D．图象关于原点对称 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的解析式及性质，根据值，及把点的坐标代入函数解析式，然后运用性质进行解题． 解：．反比例函数图像位于一、三象限；该选项正确，不符合题意； ．当，，所以经过，该选项正确，不符合题意； ．在每一项内y随x的增大而减小，该选项错误，符合题意； ． 反比例函数图像关于原点对称，该选项正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 C D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 解：（1）∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，图象与坐标轴没有公共点，图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，图象关于原点对称， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C； （2）∵反比例函数， ∴， ，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）由题意得，， ∴， 故答案为：． 【题型7】由反比例函数的增减性求参数 【例7】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（为常数，且）． （1）若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； （2）若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2)，；或． 【分析】（）根据反比例函数的性质可得，据此即可求解； （）把代入反比例函数解析式求出，即可得到反比例函数解析式，再把代入所得解析式即可求出；求出时的值，再结合反比例函数的性质即可解答； 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，； 由得反比例函数解析式为，当时，， ∵， ∴在每一象限内，随增大而增大， ∴当时，的取值范围为或． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质即可得． 解：， 函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 点在函数的图象上， 又，， ∴， ， ∴， ∴的值可以是1； 故答案为：C． 【变式2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 【答案】（1）；（2）；（变式1）B；（变式2）A 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的纵坐标比较大小的方法：方法一（利用函数增减性比较）：在同一象限的，根据，随的增大而减小，，随的增大而增大比较；在不同象限时，轴上方图象上点的纵坐标大，反之则小．方法二（数形结合法）：画出草图，大致标出各点，从图象中比较大小．（此方法为最简单的方法）方法三（特殊值法）给和要比较的点的横坐标取满足条件的数，算出对应的纵坐标，再进行比较． （1）把点代入即可求解； （2）利用反比例函数的增减性比较即可； 变式1：利用反比例函数的增减性比较即可； 变式2：利用反比例函数的增减性比较即可； 解：（1）将点代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）， 反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点，，都在反比例函数的图像上， 在第三象限，和在第一象限， ，，， 又， ． 变式1： ， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， 点分布在第三象限，，分布在第一象限，且， ，， ． 故选B； 变式2： 在反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， ，均在第三象限， ， ，A正确，符合题意； 当时，， 点在第三象限，点在第一象限， ，， ，B，C错误，不符合题意；当时，， ，在第一象限， ， ，D错误，不符合题意． 故选A． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·开学考试）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出的值进行比较即可． 解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． ． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）点，，都在函数上，则，，的大小关系是 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 把点，，代入反比例函数的关系式求出，，，比较得出答案． 解：把点，，代入反比例函数的关系式； 解得：，，， 故， 故答案为： 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积 【例9】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． （1）若点的纵坐标为2，求的值； （2）求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4; (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 解：（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此逐项分析即可． 解：左起第一个图．阴影部分面积为 此选项符合题意； 第二个图．阴影部分的面积为 此选项符合题意； 第三个图．阴影部分的面积为 此选项不符合题意； 第四个图．阴影部分的面积为 ，此选项符合题意； 所以正确的个数共有3个． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所均成的三角形的面积是，保持不变．先设，由直线轴，则两点的纵坐标都为而分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 解：设， ∵直线轴， ∴两点的纵坐标都为而点A在反比例函数的图象上， ∴当 即点Ａ的坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当 ∴B点坐标为， ∴， ∴ 故答案为：3． 【题型10】由图形面积求比例系数 【例10】（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）4.5；（3）；（4） 【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键． （1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点，再把点代入，即可求解； （2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入求出横坐标，即可得出点，从而可求得，，然后利用，即可求解； （3）设，则，，则，，根据求解即可； （4）设，则，，则，，根据求解即可． 解：（1）∵B的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵E在上， ∴， ∴； （2）∵B的坐标是，，D在上， ∴D的纵坐标为4， ∵D在上， ∴D的横坐标， ∴， ∴，， ∵B的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数、三角形的中位线，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的中位线可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 解：设点的坐标为，则， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵的面积为12，轴， ∴，即， 又∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）如图，矩形的面积为24，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得，再利用相似三角形的判定和性质可得出，进而求出，再由反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可． 解：如图所示，过点D作于点E， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， 又∵反比例函数图像在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考 【例1】（2023·四川资阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结． （1）求k、b的值； （2）求的面积； （3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大． 【答案】(1)的值为，的值为1; (2)3 (3)经过点的一次函数解析式为（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）利用反比例函数求出点和点，代入计算即可； （2）利用、、三点的坐标和面积公式计算即可； （3）求出点的坐标，然后写出解析式即可． 解：（1）解：把点、代入得，， 解得，， ，， 把，代入中得： ， 解得， 即的值为，的值为1； （2）解：直线与轴交于点， ， 的面积为：； （3）解：当时，， ， 则设经过点的一次函数解析式为， 随的增大而增大， ， 经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）． 【例2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． （1）当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； （2）当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；；; (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 解：（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； （2）设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为; (2); (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设，利用两点坐标公式建立方程求解即可． 解：（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入， 得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ． 如图，C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点拨】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 【例2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．   （1）如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若． ①求反比例函数的表达式． ②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标． (2) 如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值． 【答案】(1)①；②; (2) 【分析】（1）①过点A作于点F，根据等边三角形的性质可得，再结合勾股定理可得点A的坐标为，即可求解； ②连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，则，证明四边形是平行四边形，则，求出直线的解析式为，可设直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立得：，即可求出答案； （3）过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，再求出点C的坐标为，点D的坐标为，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标为，从而得到，再求出直线的解析式，可得点E的坐标为， 从而得到，即可求解． 解：（1）解：①过点A作于点F，    ∵是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数表达式为：； ②如图，连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，    ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ∵， ∴点B的坐标为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得： 解得：（舍去）或， ∴点M的坐标为； （2）解：如图，过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，    ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∵点C，D均在反比例函数解析式上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握求反比例函数解析式的方法和反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$