专题26.1 反比例函数（4大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.1 反比例函数（4大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【知识点2】反比例函数的三种形式 （1）；（2）；（3） 【知识点3】反比例与反比例函数的关系 （1）如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系 （2）成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. （3）反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 【知识点4】待定系数法求反比例函数解析式 1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。 2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： （1） 设：根据题意，设反比例函数的解析式为； （2） 代：把,的对应值代入中，得到关于的方程； （3） 解：解方程，求出常数； （4） 写：把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。 题型目录 【题型1】反比例函数定义....................................................2; 【题型2】根据反比例函数定义求参数..........................................2； 【题型3】求反比例函数值....................................................2； 【题型4】求反比例函数自变量取值范围........................................3； 【题型5】利用表格法求反比例函数解析式......................................4； 【题型6】利用函数变量对应值求函数解析式....................................4； 【题型7】利用交点坐标求反比例函数解析式....................................5； 【题型8】利用面积公式求反比例函数解析式....................................5； 【题型9】直通中考..........................................................5; 【题型10】拓展延伸.........................................................6. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数定义 【例1】已知函数． （1）当m为何值时，y是x的正比例函数？ （2）当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【变式1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成 关系． 【题型2】根据反比例函数定义求参数 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知函数． （1）若y是x的正比例函数，则m的值为________； （2）若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为________． 【变式1】若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点（　　） A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1） 【变式2】点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为 ． 【题型3】求反比例函数值 【例3】（21-22八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． （2）求当时函数的值． （3）求当时自变量x的值． 【变式1】如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．   （1） ； （2） ． 【变式2】（选做）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式3】（选做）如图中，直角顶点在坐标原点，且，点在上，点在上，则 ．    【题型4】求反比例函数自变量取值范围 【例4】已知的三个顶点为、、，将向右平移m（）个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上，求m的值． 【变式1】【变式1】（22-23九年级上·广西桂林·期中）已知反比例函数的图像经过点． （1）求的值； （2）当且时，直接写出的取值范围． 【变式2】已知反比例函数的图象经过点，则 ． 【题型5】利用表格法求反比例函数解析式 【例5】若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 （1）请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； （2）根据函数关系式完成上表． 【变式1】近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．某工程队计划修建铁路，给出了铺轨的天数y（d）与每日铺轨量x（km/d）之间的关系表： y（d） 120 150 200 240 300 x（km/d） 10 8 6 5 4 根据表格信息，判断出y是x的函数，则这个函数表达式是 ． 【题型6】利用函数变量对应值求函数解析式 【例6】【例6】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【变式1】（2019·吉林·中考真题）已知是的反比例函数，并且当时，． ⑴求关于的函数解析式； ⑵当时，求的值． 【变式2】若一个水池内蓄水40m³，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m³，则与之间的函数关系式是 ；当m³时， . 【题型7】利用交点坐标求反比例函数解析式 【例7】已知直线与双曲线有两个交点，其中一个交点的横坐标为．求： （1）两个函数的解析式； （2）两个交点的坐标． 【变式1】已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则直线的解析式为 ，双曲线的解析式为 ． 【变式2】已知双曲线经过直线y=3x－2与y=x+1的交点，则它的解析式为 . 【题型8】利用面积公式求反比例函数解析式 【例8】用解析式表示下列函数． （1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数； （2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数． 【变式1】如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（    ） A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数 C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数 【变式2】已知三角形的面积是12cm²，则三角形的高cm与底cm的函数关系式是 ，这时是的 . 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例1】（2013·山东菏泽·中考真题）已知：关于x的一元二次方程 （k是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 【例2】（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是的函数，给出了几组和的对应值，请根据表格中的数据特点填空． 第1组： 0 5 10 10 5 0 【观察】和同时呈现等差变化 【得出结论】是的 函数 第2组： 1 2 10 5 【观察】与的乘积均为10 【得出结论】是的 函数 第3组： 1 2 3 6 【观察】与的乘积均为 【得出结论】是的 函数 第4组： 0 1 2 12 【观察】当和时，的值均为 【得出结论】是的 函数 第5组： 0 3 0 【观察】随着的增大，的值先增大后减小 【得出结论】是的 函数 第6组： 1 2 1 0 4 9 【观察】随着的增大，的值先减小后增大 【得出结论】是的 函数 第7组： 2 4 0 3 5 【描点画图】 【得出结论】是的 函数 第8组： 0 1 2 4 0 2 8 【描点画图】 【得出结论】是的 函数 【例2】将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.1 反比例函数（4大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【知识点2】反比例函数的三种形式 （1）；（2）；（3） 【知识点3】反比例与反比例函数的关系 （1）如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系 （2）成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. （3）反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 【知识点4】待定系数法求反比例函数解析式 1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。 2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： （1） 设：根据题意，设反比例函数的解析式为； （2） 代：把,的对应值代入中，得到关于的方程； （3） 解：解方程，求出常数； （4） 写：把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。 题型目录 【题型1】反比例函数定义....................................................2; 【题型2】根据反比例函数定义求参数..........................................3； 【题型3】求反比例函数值....................................................6； 【题型4】求反比例函数自变量取值范围........................................9； 【题型5】利用表格法求反比例函数解析式.....................................11； 【题型6】利用函数变量对应值求函数解析式...................................13； 【题型7】利用交点坐标求反比例函数解析式...................................15； 【题型8】利用面积公式求反比例函数解析式...................................16； 【题型9】直通中考.........................................................18; 【题型10】拓展延伸........................................................20. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数定义 【例1】已知函数． （1）当m为何值时，y是x的正比例函数？ （2）当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】(1)1; (2)0 【知识点】正比例函数的定义、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到，且； （2）根据正比例函数的定义得到，且； （1）解：∵函数是正比例函数， ∴，且，解得． （2）解：∵函数是反比例函数， ∴，且，解得． 即当时，y是x的反比例函数． 【变式1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知一般地，形如，其中是常数的函数叫做反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 解：A、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； B、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； C、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； D、可化为，符合的形式，是反比例函数，符合题意， 故选：D． 【变式2】若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成 关系． 【答案】反比例 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、正比例函数的定义 【分析】根据题意写出y与x的关系及z与x的关系，消去x即可得到答案． 解：由题意可得， ∵与成正比例关系，与成正比例关系， ∴ ，， ，，即， 将，代入中可得， ， 即， ∴则与成反比例关系， 故答案为：反比例． 【点拨】本题考查正比例与反比例，解题的关键是用代入消元法消去x． 【题型2】根据反比例函数定义求参数 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)若y是x的正比例函数，则m的值为________； (2)若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为________． 【答案】(1)或；(2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，将一般式转化为的形式成为解题的关键． （1）根据（k是不等于零的常数）是正比例函数，据此即可解答； （2）根据一般式转化为的形式，据此求解即可． （1）解：∵是正比例函数， ∴且，解得或． 故答案为：或． （2）解：∵是反比例函数， ∴且，解得， ∴， ∴故y关于x的函数表达式为． 【答案】(1)且; (2); (3). 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数 【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得m、n的值； （2）根据正比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值； （3）根据反比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值． （1）解：当函数是一次函数时，，且， 解得：且； （2） 当函数是正比例函数时， ， 解得：． （3） 当函数是反比例函数时， ， 解得：． 【点拨】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的形式． 【变式1】若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点（　　） A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1） 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据反比例函数的定义求参数 【分析】由方程根的情况可求得m的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案． 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根， ∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m＜0， 解得m＜﹣1， ∴m+1＜0， ∴反比例函数的图象经过二、四象限， ∴反比例函数的图象可能经过点（﹣3，1）， 故选：D． 【点拨】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m的取值范围是解题的关键． 【变式2】点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，熟知图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 先求得点A关于x轴对称的点的坐标为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得，则，再解二元一次方程组，进而可求解． 解：点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上， 点关于x轴对称的点为， ， 由， 解得 ， 故答案为：3． 【题型3】求反比例函数值 【例3】（21-22八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1)； (2)；(3). 【分析】（1）根据是反比例函数的比例系数，在分母上求出取值范围即可； （2）把，代入解析式，求出值，即可得解； （3）把，代入解析式，求出值，即可得解． （1）解：∵， ∴； （2）解：把，代入得：； ∴当时函数的值为：； （3）解：把，代入得：，解得：； ∴当时的值为：． 【点拨】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键． 【变式1】如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．   （1） ； （2） ． 【答案】 5 4 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键． （1）由， ，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可； （2）由（1）可知， ，，则，，然后代值求解即可． 解：（1）解：∵， ，在函数的图象上， ∴，，，， ∴， 故答案为：5； （2）解：由（1）可知， ，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 【变式2】（选做）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解． 解：点是反比例函数图象上一点， ，， ， ， 当，时，有最小值为， 故选：A． 【变式3】（选做）如图中，直角顶点在坐标原点，且，点在上，点在上，则 ．    【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、求反比例函数值、相似三角形的判定与性质综合、由反比例函数值求自变量 【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，结合题意和直角三角形两个锐角互余可推得，，根据相似三角形的判定和性质可得，，设，则，根据题意可求得，，推得点的坐标，代入，即可求解． 解：过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图：    ∵，轴，轴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵点在上， 将代入得：， ∴， 则， 故， ∵点在上， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了直角三角形两个锐角互余，相似三角形的判定和性质，求反比例函数的函数值和自变量，熟练掌握反比例函数上点的特征是解题的关键． 【题型4】求反比例函数自变量取值范围 【例4】已知的三个顶点为、、，将向右平移m（）个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上，求m的值． 【答案】m的值为4或0.5 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、求反比例函数值 【分析】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入，求出平移后的横坐标，进而可求出m的值． 解：解①∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴AB中点坐标为． 在中，当时，， 故； ②∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴AC中点坐标为， 在中，当时，， 故； ③∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴BC中点坐标为， 在中，当时，没有意义． ∴m的值为4或0.5． 【点拨】此题考查了平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，分类讨论是解答本题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·广西桂林·期中）已知反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)当且时，直接写出的取值范围． 【答案】(1); (2)当且时，或. 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解； （2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由且即可求出图像位置，由此即可求解． （1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴． （2）解：反比例函数的图像如图所示， 当且时，在第二象限：或在第四象限：． 【点拨】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键． 【变式2】已知反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数性质，根据题意，得出，即可求解． 解：反比例函数的图像经过点， 解得： 故答案为：． 【题型5】利用表格法求反比例函数解析式 【例5】若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 （1）请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； （2）根据函数关系式完成上表． 【答案】(1); (2)见解析. 【知识点】用反比例函数描述数量关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据矩形的面积公式设出关系式，再把点代入求解析式即可； （2）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 解：（1）设， 把代入得，， ∴； （2）把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 完成表格如下： 【变式1】近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解． 解：根据表格数据可得，， 所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：， 故选：B． 【变式2】．某工程队计划修建铁路，给出了铺轨的天数y（d）与每日铺轨量x（km/d）之间的关系表： y（d） 120 150 200 240 300 x（km/d） 10 8 6 5 4 根据表格信息，判断出y是x的函数，则这个函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据是定值判断即可． 解：因为， 所以y是x的反比例函数， 且函数解析式为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数解析式的确定，根据积为定值判断函数是反比例函数是解题的关键． 【题型6】利用函数变量对应值求函数解析式 【例6】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1)； (2). 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 解：（1）设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 【变式1】（2019·吉林·中考真题）已知是的反比例函数，并且当时，． ⑴求关于的函数解析式； ⑵当时，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）直接利用x=4代入求出答案． 解：（1）y是x的反例函数， 所以，设， 当x=2时，y=6． 所以，k=xy=12， 所以，； （2）当x=4时，=3． 【点拨】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键． 【变式2】若一个水池内蓄水40m³，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m³，则与之间的函数关系式是 ；当m³时， . 【答案】 20h 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】依据放净全池污水所需的时间为h，每小时的放水量为m³，即可得到与之间的函数关系式；将m³函数关系式中，求出T的值即可． 解：由题可得，与之间的函数关系式为： ， 当m³时，=20h． 故答案为  ； 20h. 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解答本题的关键. 【题型7】利用交点坐标求反比例函数解析式 【例7】已知直线与双曲线有两个交点，其中一个交点的横坐标为．求： （1）两个函数的解析式； （2）两个交点的坐标． 【答案】(1)，；(2)，. 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数交点的综合运用． （1）由已知条件可求出k的值，即可得出比例函数与反比例函数的解析式． （2）联立直线与双曲线解析式可得两交点坐标． （1）解：∵直线与双曲线有两个交点，其中一个交点的横坐标为 ∴ ， 解得：， ∴直线的解析式为：，双曲线 （2）联立直线与双曲线解析式可得：， 解得：或， ∴两个交点的坐标为：， 【变式1】已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则直线的解析式为 ，双曲线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】把代入与双曲线可得、的值，进而可得答案． 解：直线与双曲线的一个交点的坐标为， ，， ，， 直线的解析式为，双曲线的解析式为， 故答案为：；． 【点拨】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 【变式2】已知双曲线经过直线y=3x－2与y=x+1的交点，则它的解析式为 . 【答案】y= 【分析】设出反比例函数解析式y=，将y=3x－2与y=x+1组成方程组求出交点，然后代入反比例函数解析式中即可得解. 解：设反比例函数解析式为y=， 将y=3x－2与y=x+1组成方程组 得：， 解得x=2，y=4. ∴4=，得k=8， 则函数解析式为y=. 故答案为y=. 【点拨】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式.先根据题意将两个已知的函数组成方程组求出交点，然后代入反比例函数解析式中求出系数，最后写出解析式即可. 【题型8】利用面积公式求反比例函数解析式 【例8】用解析式表示下列函数． （1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数； （2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数． 【答案】（1）；（2） 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】（1）根据三角形的面积公式写出解析式即可； （2）根据圆锥的体积公式写出解析式即可． 解：（1） （2） 【点拨】本题考查了反比例函数表达式，掌握相关公式以及函数知识是解题的关键． 【变式1】如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（    ） A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数 C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义：一般地，形如（k、b为常数，），那么y叫做x的一次函数；反比例函数定义：一般地，形如(k为常数，)的函数称为反比例函数．根据一次函数和反比例函数定义进行求解即可． 解：三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积， A．当a为定长时，S是h的一次函数，正确，不符合题意； B．当h为定长时，S是a的一次函数，正确，不符合题意； C．当S确定时，a是h的反比例函数，原说法错误，符合题意； D．当S确定时，h是a的反比例函数，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】已知三角形的面积是12cm²，则三角形的高cm与底cm的函数关系式是 ，这时是的 . 【答案】 反比例函数 【分析】根据等量关系“三角形的面积=×底边×底边上的高”列出函数关系式求解即可. 解：∵， ∴三角形的高h与底a的函数关系式是h=， 由于面积为定值，故h是a的反比例函数． 故答案为 ；反比例函数． 【点拨】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例1】（2013·山东菏泽·中考真题）已知：关于x的一元二次方程 （k是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）y是变量k的函数. 【分析】（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△得，而k是整数，则2k－1≠0，得到△＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根， （2）先根据求根公式求出一元二次方程的解为x=3或x=，而k是整数，x1＜x2，则有x1=，x2=3，代入得到即可得出结论， 解：（1）方程是一元二次方程， ∴k≠0， ， ∵k是整数， ∴k≠，2k－1≠0， ∴＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）y是k的函数， 解方程得：， ∴x=3或x=， ∵k是整数， ∴≤1， ∴≤2＜3， 又∵x1＜x2， ∴x1=，x2=3， ∴， ∴y是变量k的函数. 【例2】（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2或3 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、由平移方式确定点的坐标、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是的函数，给出了几组和的对应值，请根据表格中的数据特点填空． 第1组： 0 5 10 10 5 0 【观察】和同时呈现等差变化 【得出结论】是的 函数 第2组： 1 2 10 5 【观察】与的乘积均为10 【得出结论】是的 函数 第3组： 1 2 3 6 【观察】与的乘积均为 【得出结论】是的 函数 第4组： 0 1 2 12 【观察】当和时，的值均为 【得出结论】是的 函数 第5组： 0 3 0 【观察】随着的增大，的值先增大后减小 【得出结论】是的 函数 第6组： 1 2 1 0 4 9 【观察】随着的增大，的值先减小后增大 【得出结论】是的 函数 第7组： 2 4 0 3 5 【描点画图】 【得出结论】是的 函数 第8组： 0 1 2 4 0 2 8 【描点画图】 【得出结论】是的 函数 【答案】一次；反比例；反比例；二次；二次；二次；画图见解析，一次；画图见解析，二次 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的判断，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的图像与性质是解题关键．根据表格所给数据及相应图像，即可得出结论或画出图像． 解：第1组：根据题意得：和同时呈现等差变化，是的一次函数； 第2组：与的乘积均为10，是的反比例函数； 第3组：与的乘积均为，是的反比例函数； 第4组：当和时，的值均为，是的二次函数； 第5组：随着的增大，的值先增大后减小，是的二次函数； 第6组：随着的增大，的值先减小后增大，是的二次函数； 故答案为：一次；反比例；反比例；二次；二次；二次； 第7组：画图如下： 是的一次函数； 故答案为：一次； 第8组：画图如下： 是的二次函数． 故答案为：二次． 【例2】将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去，则 . 【答案】2 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据题意将x值依次代入中，得y1，y2，y3，y4，发现y值的变化规律是三个数字为一个循环，将2018除以3得672余2，则为一个循环的第2个数即可求解. 解：时，； 时，； 时，； 时，； 时，； …… ∴y的值是三个数值为一个循环， ∵2018÷3=672…2， ∴=2 故答案为：2 【点拨】本题考查反比例函数的定义，按照题目规则计算y值从而得到数字循环规律是解答此题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$