精品解析：安徽省淮北市第十二中学2024-2025学年高三上学期第二次质量检测数学试题

淮北市第十二中学高三第二次质量检测 数学试题卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：李景 审题人：丁训华 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质. 现有四个函数:①y=x|sinx|，②y=x2cosx，③y=x·ex;④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）. A. ①②③④ B. ①③②④ C. ②①③④ D. ③②①④ 6. 已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. D. 第Ⅱ拳（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数在上单调递减，则的值为______． 13. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 14. 函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演㑧步聚．） 15. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）当时， 求函数的值域． 16. 如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角C： （2）若，，延长CB至M，使得，求BM． 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是侧棱上的动点． （1）若为的中点，证明平面； （2）求证：不论点在何位置，都有； （3）在（1）的条件下，求二面角的大小． 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程． （2）求函数的极值； （3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证； （3）若有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第十二中学高三第二次质量检测 数学试题卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：李景 审题人：丁训华 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解. 【详解】由题意集合，，，则，. 故选：A. 2. 设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出，再求出其共轭复数对应点的坐标. 【详解】依题意，， 所以在复平面内对应点的坐标为. 故选：A 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，，，所以． 故选：A. 4. 已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，在上单调递增， 其中，故在上的最大值为，所以， 所以是的充要条件，因为，但， 所以是的一个必要不充分条件，B正确； 其他两个选项也既不是充分也不必要条件. 故选：B 5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质. 现有四个函数:①y=x|sinx|，②y=x2cosx，③y=x·ex;④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）. A. ①②③④ B. ①③②④ C. ②①③④ D. ③②①④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断函数的对称性、区间符号及是否成立，判断各函数对应的图象即可. 【详解】①由且定义域为R，故为奇函数且，第三个图象符合要求； ②由且定义域为R，故为偶函数，第二个图象符合要求； ③对于在上恒正且，第一个图象符合要求； ④对于，由对勾函数的性质，在上恒正且图象关于原点对称，第四个图象符合要求. 综上，序号安排为③②①④. 故选：D 6. 已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数，分段判断函数的零点，以及零点个数，即可求正数的取值范围. 【详解】当时，，得成立， 因为函数恰有两个零点， 所以时，有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求， 当时，只需满足，解得：. 故选：C 7. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得. 【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 综上所述，. 故选：B. 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围. 【详解】由于，所以的定义域为， 所以， ， ， 所以是奇函数， 由于在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由得， 即， 所以， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 【点睛】判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再根据或来确定函数的奇偶性.求解含有函数符号的不等式时，可以考虑利用函数的单调性、奇偶性等知识去掉函数符号，由此来对问题进行求解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等式得到，代入即可判断D. 【详解】对于A，，即， 当且仅当，即，时等号成立，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，则， 所以， 当时，取最小值，故C错误； 对于D，由得，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，考虑时，，满足要求，可判断A；B选项，考虑时，两种情况讨论可得充要条件为，可判断B；C选项，由，可求定义域判断C；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，计算可判断D. 【详解】A选项，，又， 当时，，满足，当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，当时，不等式为恒成立， 可得对一切实数恒成立， 当时，由对一切实数恒成立， 可得，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是， 故B正确； C选项，因为的定义域为，所以，解得， 故的定义域为，C说法不正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故， 则，故，D说法不正确. 故选：ACD. 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，由为奇函数，得，即， 因此函数的图象关于点对称，A正确； 由，得，则， 又，于是，令，得，即， 则，，因此函数是周期函数，周期为4， 对于B，由，得，B错误； 对于C，显然函数是周期为4的周期函数，， ，则，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 第Ⅱ拳（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数在上单调递减，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得，求得的值，结合幂函数的单调性即可求解． 【详解】由题可知，，解得或， 当时，幂函数在上单调递增，不合题意， 当时，幂函数在上单调递减，符合题意， 故答案为：5． 13. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】在定义域上存在单调递减区间，即在上有解，进而求的范围. 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 14. 函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将条件转化为，然后设，则问题转化为，进而根据函数为增函数得到，最后通过分离参数求得答案. 【详解】由题意，，设，则问题可转化为. 因为是上的增函数（增+增），所以恒成立. 设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是. 故答案为：. 【点睛】本题的破解点在于设，进而得到，此方法叫“同构”，平常注意归纳总结. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演㑧步聚．） 15. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）当时， 求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可； （2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域. 【小问1详解】 设，，， 所以，即， 解得， 所以，解得， 即； 【小问2详解】 由（1）得，当，， 所以函数可转化为，， 当时，取最小值为， 当或时，取最大值为， 即当时，取最小值为， 当或时，取最大值为， 即函数的值域为. 16. 如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角C： （2）若，，延长CB至M，使得，求BM． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）将正弦定理代入条件整理得，从而有，根据角的范围可得角大小； （2）在中，由余弦定理求得，然后在中，由正弦定理求得，进一步计算可得． 【小问1详解】 解：（1）因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，所以， 又因为，所以，所以，所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 解得舍去， 在中，， 由正弦定理可得， 即， 解得， 所以． 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是侧棱上的动点． （1）若为的中点，证明平面； （2）求证：不论点在何位置，都有； （3）在（1）的条件下，求二面角的大小． 【答案】（1）如图，连接与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 因为是侧棱上的动点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，，， 所以，， 同理可得， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）本题可连接与交于点，连接，然后根据三角形的中位线得出，最后根据线面平行的判定即可得出结果； （2）本题首先可根据勾股定理得出、，然后根据线面垂直的判定与性质得出，最后根据线面垂直的判定与性质即可证得结论； （3）本题首先可构建空间直角坐标系，然后设平面的法向量为，通过可得，再然后设平面的法向量为，通过可得，最后根据即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，以为原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设二面角的大小为， 则， 结合图像易知，二面角的大小为. 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程． （2）求函数的极值； （3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称． 【答案】（1） （2） 当时，函数有极小值，无极大值； 当时，函数有极小值，极大值； 当时，函数无极值； 当时，函数有极大值，极小值； （3） 函数， 函数的定义域为． 若存在，使得曲线关于直线对称， 则关于直线对称，所以 由 ． 可知曲线关于直线对称． 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，，和四种情况，进而可求解； （3）先求函数定义域，根据定义域的对称性得到，再求出，证明出结论. 【小问1详解】 ，， 又， 故在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增,函数有极小值，无极大值； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减， 函数有极小值，极大值； 当时，恒成立，故在上单调递增,函数无极值； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减， 函数有极大值，极小值； 综上，当时，函数有极小值，无极大值； 当时，函数有极小值，极大值； 当时，函数无极值； 当时，函数有极大值，极小值； 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，. （3） 【解析】 【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可. （2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可. （3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是对参数范围分类讨论，然后找到符合零点要求的参数范围，得到所要求的参数范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $