22.3 实际问题与二次函数 同步练习2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.3 实际问题与二次函数 实际问题与二次函数(一)——图形面积问题 知识点一 利用对称轴求最值 1.(1)已知二次函数 则 y 的最大值为 ； (2)已知二次函数 则 y 的最小值为 . 知识点二 先求函数关系式，再由公式配方求最值 2.如图，用12米长的铝合金做一个有横档的矩形窗子，设横档长为 xm，面积 为使透进的光线最多，当x= 时，S有最大值. 3.如图，四边形的两条对角线 AC、BD 互相垂直， 当AC、BD 分别为多少时，四边形ABCD 的面积最大? 4.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m. (1)设垂直于墙的材料长为 xm，总面积为ym²，写出y与x的函数关系式； (2)求饲养室面积的最大值. 5.如图, 的周长为8, (1)直接写出 y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)x为多少时，y有最大值? 6.某校准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为a米(如图所示)，设平行于墙的一边长为x 米，这个苗圃园的面积为y 平方米. (1)求y与x 的函数关系式； (2)若a=8,求 y 的最大值. 7.如图,矩形ABCD 的两边长AB=18cm,AD=4 cm,点P、Q 分别从A、B 同时出发,P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为 (1)求y 关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值. 8.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD 长表示窗框的宽， 米(铝合金条的宽度忽略不计). (1)求窗框的透光面积S(平方米)与窗框的宽x(米)之间的函数关系式； (2)如何设计才能使窗框的透光面积最大? 最大面积是多少? (3)当窗框的面积不小于10平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围. 实际问题与二次函数(二)——最大利润问题 知识点一 先求函数关系式，再利用配方法或公式法求最值 1.某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为 25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低1元时，平均每天能多售出2件. (1)写出每天销售利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系： ； (2)当每件的售价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大? 2.某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件提高1元，日销售量就要减少10件. (1)写出每天销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系： ; (2)该商品的售出价格定为多少元时，才能使每天获得最大利润? 每天最大利润是多少? 3.某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为 50 元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件. (1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件； (2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大? 并求出最大利润. 4.(1)已知二次函数 当1≤x≤3时,y 的最大值为 ;. (2)二次函数 若y≥8，则x 的取值范围为 . 5.某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y(件)与当天的销售单价x(元/件)满足一次函数关系，并且当x=25时， 当 时， 物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元/件. (1)求出y与x的函数关系式； (2)问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元? (3)求商家销售该商品每天获得的最大利润. 6.某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16 元的价格购进一批商品.该商品每件售价定为x 元，每天可卖出(170-5x)件，每天销售该商品所获得的利润为 y 元. (1)求y 与x 的函数关系式； (2)若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元? (3)请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 元. 7.某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表： 第 x 天 售价(元/件) 日销售量(件) 1≤x≤30 x+40 100-2x 已知该商品的进价为20元/件，设销售该商品的日销售利润为y 元. (1)求y 与x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，日销售利润为 2250元? (3)问在当月有多少天的日销售利润不低于2400元? 请直接写出结果. 实际问题与二次函数(三)——建立坐标系解决问题 知识点一 建坐标系求解析式 1.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图所示平面直角坐标系中，则抛物线的函数解析式为 . 知识点二 将实际问题转化为求点的坐标问题 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式是： ，则小球从第 1 s到第5 s的运动路径长为( ) A.20 m B.30 m C.40 m D.50 m 3.如图，某建筑物有一抛物线状的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB=8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD 竖直接触地面和门的内壁，并测得AC=1m. (1)求抛物线的解析式； (2)求门高OE 的长. 4.如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)如果水面宽为2 m，则水面下降多少米? 5.如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 O 在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m，那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m . 6.如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离4米时，到达最大高度为4 米，设篮球运行的轨迹是抛物线，篮圈距地面为3米. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，此球能否准确投中? (2)此时，若对方队员乙在甲前方 1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1米，那么他盖帽能成功吗? 7.某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y= kx 上变动，从而产生一组不同的抛物线(图 2)，这组抛物线的统一形式为 (1)若k=1，且喷出的抛物线水线的最大高度达3m，求此时a、b的值； (2)若k=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线的最大高度是 米； (3)若 则喷出的抛物线水线能否达到岸边? 8.跳绳时，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线.如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m ，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是(0，1).身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m 时，绳子刚好经过她的头顶. (1)求绳子所对应的抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围)； (2)身高1.70 m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶? (3)身高1.64 m的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手 sm，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出 s 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$