江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

如东中学2023级高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1若直线1：x=am否的倾斜角为a,则a=( A.0 c月 D.不存在 2.已知直角梯形ABCD,且A(1,),B(3,1),C(3,3),D(2,3),则过其中三点的圆的方程 可以为() A.(x-23+y2=3 B.(x-2+y2=2 C.(x-2)'+(y-2=2 D.(x-3'+(y-2)'=2 3.已知直线1：r+y+3=0和直线n:3mx+(m-2y+1=0,则"m=-"是“1‖n“的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y+5m2-3m+3=0,若点(L,-2m)在圆外，则m的取 值范围是() A.(-o,0U(4,+oo) B.(I,+oo) C.1,4) D.(4,+oo) 5.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ar+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是() (o引[[制c[（m[ 6.己知直线：r+y+4=0与直线42：x-my-6-4m=0交于点P(xo,y%),则x好+的最大 值为() A.4 B.8 C.32 D.64 7.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,0是坐标原点，且有 可A+O丽2V5A团，则实数k的取值范围是() A.(5,6) B.「5，v6 c.[V6,22] D.[V6,2月 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A 8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+y就是其中之一（如图）， 给出下列三个结论： ①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 ②曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2 其中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.③ D.① 二、选择愿：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的 得0分. 9.对于直线4：ar+2y+3a=0,4:3x+(a-)y+3-a=0.以下说法正确的有() A.4∥的充要条件是a=3 B.当a=号时.41山 C.直线4，一定经过点M(3,0) D.点P(1,3)到直线4的距离的最大值为5 10.设圆C:(x-)2+(y-)=3,直线l:x+y+1=0,P为1上的动点，过点P作圆C的两条 切线PA、PB,切点分别为A、B,则下列说法中正确的有() A.PA的取值范围为 B.四边形PACB面积的最小值为互 C.存在点P使∠APB=120 D.直线AB过定点(O,O) 11.“曼哈顿距离“是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系 上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(:,y),B(,2)的曼哈顿 距离d(AB)=-+y-,则下列结论正确的是() A.若点P(2,4)2(-2,1),则d(P2)=7 B.若点M(-l,O),N(1,O),则在x轴上存在点P,使得d(P,M)+d(P,N)=1 C.若点M(2,),点P在直线x-2y+6=0上，则d(P,M)的最小值是3 D.若点M在y=2上，点N在直线2x-y+8=0上，则d(M,N)的值可能是4 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆C:(x-1+y2=1与圆C2:(x-4}+y-42=9的位置关系为 13.经过两条直线3x+y-5=0与x-2y+3=0的交点，且在y轴上的截距是x轴上的3倍的直 线方程为 14.已知圆0：x2+y2=1圆C:(x-k)2+(y-√5k)2=4,则下列结论正确的是 ①无论k取何值，圆心C,始终在直线y=√x上： ②若圆0与圆G有公共点，则实数：的取值范围为片： 国若圆0与圆G的公共弦长为，则k=或k=±异 ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公 切线叫做这两个圆的外公切线，当k=±号时，两圆的外公切线长为25。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： (1)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线4：x+2y+7=0相切，过点B(-2,0)的动直线1与圆 A相交于M,N,当MN=2√19时，求直线I的方程 (2)以C(4,-3)为圆心的圆与圆+y2=4相切，求圆C的方程， 16.已知直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求证：直线1过定点： (2)若直线1不经过第二象限，求实数a的取值范围： (3)若直线/与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求/的方程 7,已知以点C}>0)为圆心的圆经过原点O,且与轴交于点A,与y轴交于点B,A, B异于原点 (1)求证：△AOB的面积为定值， (2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若OM=OW,求圆C的方程 (3)在(2)的条件下，设P,Q分别是直线：x+y+2=0和圆C上的动点，求PB+Pg的 最小值及此时点P的坐标. C扫描全能王 亿人在用的扫描A 18.已知圆C过点P(1.),且与圆M:(x+2)+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称 (1)判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由： (2)过点P作两条相异直线分别与口C相交于A,B. ①若直线PA和直线PB互相垂直，求PA+PB的最大值： ②若直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H,且∠PGH=∠PHG,O为坐标原点，试 判断直线OP和AB是否平行？请说明理由. I9某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向 释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲，若 点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败， 已知AB=24米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP与EB的 夹角为0， D (1)若日=45°，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的√2倍，则 如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ (2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD 的宽AD的长度，才能确保无论日的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器 人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ C扫描全能王 亿人在用的扫描A 如东中学2023级高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1若直线1：x=m号的倾斜角为a,则a=(。【答案】c A.0 c.Z D.不存在 2.已知直角梯形ABCD,且A(1,),B(3,1),C(3,3),D(2,3),则过其中三点的圆的方程 可以为() A.(x-2+y2=3 B.(x-2)°+y2=2 C.（x-2'+(-2)=2 D.(x-3)+(y-2'=2 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项， 【详解】对于A,A(1,),B(3,)的坐标都不满足圆的方程(x-2)+y2=3, 即圆(x-2)+y2=3不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意： 对于B,C(3,3),D(2,3)的坐标都不满足圆的方程(x-2}+y2=2, 即圆(x-2)2+y2=2不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意： 对于C,A1,),B(3,),C(33)的坐标都满足圆的方程(x-2}+(y-2=2, D(2,3)的坐标不满足圆的方程(x-2'+(y-2)=2, 即圆(x-2)+(y-2)'=2过四个点中的三个点，故C符合题意： 对于D,A(),B(3)的坐标都不满足圆的方程(x-3+(-2=2, 即圆(x-3)}+(y-2}=2不可能过四个点中的三个点，故D不符合愿意. 故选：C 3.已知直线l:r+y+3=0和直线n:3m2x+(m-2y+1=0,则"m=-"是“1In"的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 【答案】B 4.已知圆C的方程为x2+y2-2mx+4y+5m2-3m+3=0,若点(1，-2m)在圆外，则m的取 值范围是() A.(-o,l)U(4,+o∞) B.(L,+o∞) C.0,4) D.(4,+oo) 【答案】D 【分析】先将圆C的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于m的不等式组，解之 即可得解 【详解】由圈意得，圆C的标准方程为(x-m)2+(y+2m)2=3m-3, 故3m-3>0,m>1,又点(1，-2m)在圆外，所以1-m)2+(-2m+2m)2>3-3, .m2-5m+4>0,∴m>4或m<1,所以m的取值范围为(4，o),故选：D. 5.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（) a([B树 c[ D. m[ 【答案】A 【分析】求得直线的斜率为k=,且恒过定点P0-2,求得=-多如-子，结合题 意，求得as-4或a≥ 3 ，即可求解 【详解】由直线ar+y+2=0,可得y=-ax-2, 可得直线的斜率为k=-a,且恒过定点P(O,-2),则kpM= 5 4 21 如图所示，要使得直线ar+y+2=0与线段AB有交点，则-as- 或-a2 可得a5号孩a≥即实数的取值范为州。引Y[+ 故选：A 6.己知直线：mx+y+4=0与直线42：x-四-6-4m=0交于点P(xay%),则号+的最大 值为() A.4 B.8 C.32 D.64 【答案】D C扫描全能王 亿人在用的扫描A 【分析】首先根据已知条件得到直线4恒过定点B(04),直线马恒过定点A(6,4),且4⊥马， 根据交点P(xo,y)得到点P在以AB为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线4：mx+y+4=0恒过定点B(0,4): 直线2：x-my-6-4m=0化简为：x-m(y+4)-6=0,当y=-4时，x=6,直线恒过点 A(6,-4). 当m=0时，直线的斜率不存在，直线，的斜率k=0,则4⊥2 当m0时，名=-m,与=扁名=-山，则1： 综上：直线{恒过定点B(0,4),直线马恒过定点A(6-4),且4⊥42 因为直线4与直线交于点P(,%), 所以点P在以AB为直径的圆上，线段AB的中点坐标为C(3,-4), 且AB=6,则其轨迹方程为(x-3)}+(y+4)=9(除点(0,4)外)，圆的半径r=3, 因为后+乃表示圆上的点到原点距离的平方，设d=√居+乃， 则d=r+0C=8,所以+的最大值为64. 故选：D 7.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆2+y2=4交于不同的两点A,B,0是坐标原点，且有 可A+O丽2V5A国，则实数k的取值范围是() A.（5,N6) B.[2w6 c.[62w2 D.[6.25 【答案】C 【分析】设AB中点为C,由条件得出A团与OC的关系结合点到直线的 距离解不等式即可。 【详解】设AB中点为C,则OC⊥AB, o网+oea网lod2网，网s2d, od+a=4→oc24,即lod≥3， CS扫描全能王 】亿人在用的扫描Ap 又：直线x+y-k=0(k>0)与圆2+y2=4交于不同的两点小、B,DC<4,故 4>网3，则4制 23,k>0.65k<22 故选：C, 8.数学中有许多形状优美，寓意类好的曲线，曲线C:x2+y2=1+y就是其中之一（如图)， 给出下列三个结论： ①曲线C所围成的“心形"区域的面积大于3 ②曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√万 其中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.③ D.① 【答案】B 【分析】①根据曲线特征，分别令x=0,y=0,分x轴上方，x轴下方，转化为与矩形和 等腰三角形的面积比较：②将x换成x,由方程不变，得到图形关于y轴对称，先得到x=0, x>0时，曲线经过的点即可：③由x>0时，利用基本不等式求解 【解析】①油方程x2+y2=1+y,令x=0,得y=1,令y=0,得x=1, 如图所示： 由图象可知：x轴上方，曲线C所围成的面积大于矩形ABCD的面积， S=1×2=2, x轴下方，曲线C所围成的面积大于等腰三角形ABE的面积， S=1x2=1, 所以曲线C所围成的“心形"区域的面积大于2+2=3，故正确： ②由方程x2+y2=1+y,将x换成-x,方程不变，所以图形关于y轴对称， 令x=0,得y=l,即曲线C经过(0，)，(0，-)， 当x>0时，方程变为y-9y+-1=0,由a=2-4(K-小20，解得0<x52 3 所以x=1,此时y2-y=0,解得y=0或y=1,则曲线经过(1,0)(L,), 再由对称性知，曲线经过(-1,0)，（一1，），所以曲线一共经过6个整点，故错误： t CS扫描全能王 】亿人在用的扫描A @当x>0时，方程为忙+y-1=≤+少，则F+y52,即F+了≤2（当且仅当 2 x=y时等号成立)， 所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√互，故正确故选：B 二、选择愿：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的 得0分. 9.对于直线4：ax+2y+3a=0,42:3x+(a-1)y+3-a=0.以下说法正确的有（) A.4∥的充要条件是a=3 B.当a=2时，1h 5 C.直线4一定经过点M(3,0) D.点P(1,3)到直线4的距离的最大值为5 【答案】BD 【分析】求出4∥马的充要条件即可判断A验证a=时，两直线斜率之积是否为-1，判断 5 B:求出直线经过的定点即可判断C:判断何种情况下点P(1,3)到直线（的距离最大，并求出 最大值，可判断D, 【详解】当l∥时，a(a-)-6=0解得a=3或a=-2, 当a=-2时，两直线为x-y+3=0,x-y+号=0，符合题意： 当a=3时，两直线为3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合愿意，故A错误： 当a-号时，两直线为+5y+3=0,15x-3y+13=0,专=号5=-1， 所以4⊥，故B正确： 直线4：ar+2y+3a=0即直线a(x+3)+2y=0,故直线过定点(-3,0)，C错误： 因为直线4：r+2y+3a=0过定点(-30)，当直线4：ar+2y+3a=0与点P(1,3)和(-3,0)的 连线垂直时，P(1,3)到直线4的距离最大，最大值为√+3)+(3-0)=5， 故D正确，故选：BD 10.设圆C:(x-)+(y-)=3,直线：x+y+1=0,P为1上的动点，过点P作圆C的两条 切线PA、PB,切点分别为A、B,则下列说法中正确的有() 5 C扫描全能王 】亿人在用的扫描Ap A.PA的取值范围为 6 B.四边形PACB面积的最小值为3Y 2 C.存在点P使∠APB=I20 D.直线AB过定点(O,O) 【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C,设出点P的坐标，求出以PCI为直径的圆的方 程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB的方程，将代入直线AB的方程恒成立，可得答案 【详解】圆心C,到直线1：x+y+1=0的距离为d=业+1+_3巨 2 所以Pc≥d=3 ,因为圆的半径为r=5,根据切线长公式可得 2 W网F=5 2 当PC⊥I时取等号，所以PA的取值范围为 所以A正确： 因为PALAC,所以四边形PACB面积等于2xSe=|PAACI=PA上5x5_32 2 2 四边形PACB面积的最小值为)学，故B正确： 因为∠APB=120',所以∠APC=60,在直角三角形APC中， AC -sin60'= 2， 所以 CP=2,设P(a-a-),因为CP=√a-l)2+(-a-2)2=2,整理得2a2+2a+1=0,方程 无解，所以不存在点P使∠APB=120,故C不正确： 对于D,设P(x,%),则=-1-石，P(x-1-),以PC为直径的圆的圆心为 (,半径为分G-心+(-2可，所以以PG伪为直径的圆的方程为 气-+-1八2公+经+5，化摘海+少--6y=1,所以B为 4 圆C与以PC为直径的圆的公共弦， 联立可得-+0-2=3 2+y2-0x-x-6y=1 ,两式相减可得：x-ox+xy+2y=0,即直线AB的方 程为x-x+6y+2y=0,即x(1-)+y(+2)=0,故直线AB过定点(0,0)，故D正确： 故选：ABD C扫描全能王 】亿人在用的扫描Ap