第26章反比例函数 单元综合测试题 2024-2025学年人教版九年级数学下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《第26章反比例函数》单元综合测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下面每组中的两种量成反比例的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．利率一定，存款的本金和利息 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 2．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 3．已知关于x的函数和，它们在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标上数字、1、2、3．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则点落在反比例的图象上的概率是（ ） A． B． C． D． 6．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数表达式是 C．当时， D．当时，则 7．如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（  ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 8．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．双曲线经过点，则代数式的值为 ． 10．已知y与成反比例，且当时，，那么当时， ． 11．若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 12．若函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ． 13．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，则的面积是 ． 14．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 15．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A， C两点，轴于B ， 轴于 D ，则四边形的面积为 16．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 18．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 19．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 20．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 21．如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 22．已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 23．定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． (1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． (2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B A D A B 1．解：A、长方形的周长一定，它的长和宽的和是定值，故不符合题意； B、利率一定，存款的本金和利息成正比例，故不符合题意； C、因为圆柱的体积底面积高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，故符合题意； D、折扣一定，商品的原价和折后价不成反比例，故不符合题意； 故选：C． 2．解：∵反比例函数经过点， ∴， 故选项A说法正确； ， ∴函数图象分布在第一、三象限， 故选项B说法正确； 当时，y随x的增大而减小， 故选项C说法错误， ∴函数图象经过点， 当时，由于x是负数且绝对值大于2， 那么​的值会落在和0之间，即。 故选项D说法正确； 故选：C． 3．解：当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、二、三象限， ∴没有图象符合； 当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过二、三、四象限， ∴A选项中图象符合． 故选：A． 4．解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 5．解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴数字、1、2、3组合中，点落在反比例的图象上的只有，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中点落在反比例的图象上的有2种， ∴点落在反比例的图象上的概率为：， 故选：A． 6．解：设反比例函数的解析式为， 把点坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，，故C不正确； 当时，，当时，， 图象表明当时，则，故D正确； 故选：D． 7．解：联立，解得 或， 经检验，这两组解都是方程组的解， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形面积为，周长为， 故选：A． 8．解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：B． 9．解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．解：设， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． 11．解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 12．解：函数与的图象的交点坐标为， ，， ，， ， 故答案为：． 13．解：联立，解得或， ∴的坐标是，的坐标是， 过作轴于，则， ∵轴， ∴ 则的面积是． 故答案为：2． 14．解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为． 故答案是：． 15．解：联立方程组， 解得或， ∴，， ∵轴于B ， 轴  于  D ， ∴，， ∴ ， 故答案为：6． 16．解：∵函数和函数的图象相交于点，， ∴，， ∴，， ∴，， 由图象可得：若，则x的取值范围是或， 故答案为：或． 17．（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 18．（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示，    ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 19．（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得   ∴药物燃烧后； （2）令，则，， 答：至少需要分钟后学生才能回教室． 20．（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点． 将A与坐标代入反比例解析式得：， ， 代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 直线与轴、轴的交点坐标为， ； （2）解：， 观察图象可知，不等式的解集是或． （3）解：， ， 设，即， ， 解得：或， 则、， 同理可得、， ∴点P的坐标为或或或． 21．（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵A的坐标为都在一次函数的图像上 ，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：直线与x轴交于点C，， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴ ； （3）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 22．（1）解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵直线轴， ∴点M的横坐标为1， ∵轴， ∴； 如图所示，过点B作，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解；由（2）知， ∵点M与点Q关于原点对称， ∴， ∵， ∴轴， 如图3-1所示，当点P在x轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得， 设， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，；当时，， ∴直线与x轴，y轴分别交于，， ∵， ∴，即， ∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意， 又∵P在坐标轴上， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 23．（1）解：①由，解得，， ∴，； ②证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴平行四边形是勾股四边形； （2）解：由（）知，，，， 设点的坐标为， ①如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ③如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于点，作轴，过点作于点，则， ∵直线， 令，则， 解得， ∴， ∵，轴， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴； ④如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$