精品解析：安徽省合肥市2024-2025学年九年级上学期期中数学模拟预测卷

2024-2025学年度合肥市九年级上数学期中模拟预测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，不是二次函数是（   ） A. B. C. D. 2. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ） A. 左1下1 B. 右1下1 C. 左1上1 D. 右1上1 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 双曲线不会经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 反比例函数图像上有两个点，，，则的图像不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，轴于点.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 解集是 D. 的解是或 10. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______． 12. 已知二次函数，h为常数，当时，与其对应的y的最小值为5，则h的值为______ 13. 若，则的值为_____． 14. 函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 三、（本大题共2小题，每题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图像经过点，对称轴是直线，此时抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，求抛物线解析式． 16. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到米） 四、（本大题共2小题，每题8分，满分16分） 17. 如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先在上画点D，使，再画的中点E． 18. 如图，在△ABC中，EFCD，DEBC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长． 五、（本大题共2小题，每题10分，满分20分） 19. 如图，已知一次函数y＝﹣x+2与反比例函数y＝与图象交于A，B两点，与x轴交于点M，且点A的横坐标是﹣2，B点的横坐标是4． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOM的面积； （3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围． 20. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=cm，AF=cm． （1）求DE的长； （2）求▱ABCD的面积． 六、（本题满分12分） 21. 某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线所对应的函数表达式． （2）求拱桥顶面离水面的最大高度． （3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线（）与轴交于、两点． （1）求抛物线表达式； （2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； （3）若点是轴上动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度合肥市九年级上数学期中模拟预测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，不是二次函数的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、是二次函数，不符合题意； B、是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，不符合题意； D、不是二次函数，符合题意； 故选：D． 2. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ） A. 左1下1 B. 右1下1 C. 左1上1 D. 右1上1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，分别求出平移前后抛物线顶点坐标，再根据平移前后的顶点坐标判断平移方式即可得到答案． 【详解】解：平移前抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线的顶点坐标为，则平移方式为向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度， 故选：A． 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题关键． 4. 双曲线不会经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、当时，，过点，不符合题意； B、当时，，过点，不符合题意； C、当时，，过点，不符合题意； D、当时，，过点，不经过点，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 5. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的图象的对称轴为y轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再由当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为y轴， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 6. 反比例函数图像上有两个点，，，则的图像不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得或 ，从而由反比例函数增减性确定的符合，即可由一次函数图像与性质得到答案． 【详解】解：反比例函数图像上有两个点，，， 或 ， 当或时，反比例函数在时，随的增大而减小，则， ， 的图像不经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、一次函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质、一次函数图像与性质是解决问题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，轴于点.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入y=（x＜0）即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵AC=3BC，∴B的横坐标为-a， ∵AB⊥y轴于点C，∴AB∥x轴，∴B（-a，）， ∵点B在函数y=（x＜0）的图象上，∴k=-a×=-1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键． 9. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解是或 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 10. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；当时，二次函数值为，一次函数值为，互为相反数，排除B和D，即可得出答案． 【详解】由，可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A； 当时，二次函数值为，一次函数值为，互为相反数，排除B和D． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值． 【详解】∵点P（6，3）， ∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3， 代入反比例函数得， 点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 即AM=，NB=， ∵S四边形OAPB=12， 即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12， 6×3-×6×-×3×=12， 解得：k=6． 故答案为：6． 12. 已知二次函数，h为常数，当时，与其对应的y的最小值为5，则h的值为______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数图象开口向上，顶点坐标为，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，进而得到对称轴在直线左侧或在直线右侧，据此情况讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵当时，与其对应y的最小值为5， ∴对称轴在直线左侧或在直线右侧， 当对称轴在直线左侧时，则， 解得或（舍去）； 当对称轴在直线右侧时，则， 解得或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：或． 13. 若，则的值为_____． 【答案】-1或8 【解析】 【分析】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案． 【详解】设=k， ∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c）， ∴（a+b+c）(2-k)=0， 当a+b+c=0时，即a+b=-c， ∴k===-1， ∴==k3=-1， 当a+b+c≠0时，则2-k=0， 解得：k=2， ∴==k3=8， 故答案为：-1或8 【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键． 14. 函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式，根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由图象可得，当时，，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴的两个交点的横坐标为和3， ∴对称轴为直线，即， ∴整理得：，故①正确； 由图象可得，当时，，故②正确； ∵与y轴的交点坐标为，函数在的部分是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成的， ∴，故③错误； 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴函数在的最大值为4， ∵将函数向上平移1个单位后，函数在的最大值为5， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、（本大题共2小题，每题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图像经过点，对称轴是直线，此时抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，求抛物线解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，求二次函数解析式，根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的两个交点坐标分别为，再把解析式设为交点式，进而利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵二次函数对称轴是直线，与x轴的两个交点间的距离为6， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为， 设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为． 16. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到米） 【答案】7.6米 【解析】 【分析】根据黄金分割得出两个距离为米，米，然后比较即可得出结果． 【详解】解：根据黄金比得：米， ∵黄金分割点有2个， ∴， 由于米 答：主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体． 【点睛】题目主要考查线段的黄金分割比，理解题意，熟记黄金分割比是解题关键． 四、（本大题共2小题，每题8分，满分16分） 17. 如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先在上画点D，使，再画的中点E． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，涉及了平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行作图．由得，为的四等分点，根据平行线分线段成比例，即可找到点，分别找到，中点，两中点连线与交点，即为点． 【详解】解：如图1，点和即为所求； 18. 如图，在△ABC中，EFCD，DEBC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长． 【答案】（1）见详解；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EFCD得到AF：FD=AE：EC，由DEBC得到AE：EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解； （2）根据比例的性质得到，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF． 【详解】解：（1）证明：∵EFCD， ∴AF：FD=AE：EC， ∵DEBC， ∴AE：EC=AD：DB， ∴AF：FD＝AD：DB； （2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1， ∴， ∵AF：FD＝AD：DB， ∴AF：FD=2:1， ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题关键． 五、（本大题共2小题，每题10分，满分20分） 19. 如图，已知一次函数y＝﹣x+2与反比例函数y＝与的图象交于A，B两点，与x轴交于点M，且点A的横坐标是﹣2，B点的横坐标是4． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOM的面积； （3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围． 【答案】（1）为y＝﹣；（2）4；（3）﹣2＜x＜0或x＞4． 【解析】 【分析】（1）依据点A的横坐标是﹣2，B点的横坐标是4，即可得到A（﹣2，4），B（4，﹣2），再根据待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）求出直线AB与x轴的交点M的坐标，根据三角形的面积公式求出△AOM的面积即可； （3）利用函数图象求出使反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围． 【详解】（1）∵点A的横坐标是﹣2，B点的横坐标是4， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）+2＝4， 当x＝4时，y＝﹣4+2＝﹣2， ∴A（﹣2，4），B（4，﹣2）， ∵反比例函数y＝的图象经过A，B两点， ∴k＝﹣2×4＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣； （2）一次函数y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝2， ∴M（2，0），即MO＝2， ∴△AOM的面积＝×OM×|yA|＝×2×4＝4； （3）∵A（﹣2，4），B（4，﹣2）， ∴由图象可得，反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞4． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 20. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=cm，AF=cm． （1）求DE的长； （2）求▱ABCD的面积． 【答案】（1）DE=6；（2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质，列出比例式，进而即可求解； （2）根据勾股定理求出AE的长，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵△ADF∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE=6； （2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD=∠AEB=90°， ∴在Rt△EAD中，， ∴AE=3（cm）， ∴S□ABCD=BC·AE． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握上述性质和定理，是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线所对应的函数表达式． （2）求拱桥顶面离水面的最大高度． （3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 【答案】（1）该抛物线所对应的函数表达式为 （2）拱桥顶面离水面的最大高度为4米 （3）该游船能安全通过，理由见解析 【解析】 【分析】(1) 设抛物线解析式为，将，代入上式，确定a、b的值即可． (2) 把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可． (3) 根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离米的大小，大于则安全通过，小于或等于，都不安全． 【小问1详解】 设，将，代入上式， 得， 解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为． 【小问2详解】 ， 当时，． ∴拱桥顶面离水面的最大高度为4米． 【小问3详解】 ∵游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米，游船从拱桥下面正中间通过， ∴船离点A的距离为米． 把代入中， ． ∵， ∴该游船能安全通过． 【点睛】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，求函数的最值，对称性是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线（）与轴交于、两点． （1）求抛物线表达式； （2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； （3）若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为； （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可知，过点M作y轴平行线，交于点N，由题意易得直线的解析式为，设，则，然后根据铅垂法可进行求解； （3）由题意可分当为对角线时，当或为对角线时，然后根据中点坐标公式可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为，则令时，， ∴， 过点M作y轴的平行线，交于点N，如图所示： 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由题意可知：，设点， 当为对角线时，由中点坐标公式可得： ， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：或， ∴点D的坐标为或或； 综上所述：当以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$