2.5　第3课时　直角三角形的性质课件-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

八年级上册 SK 数学 2.5　第3课时　直角三角形 的性质 第2章 轴对称图形 - 第3课时　直角三角形的性质 探究与应用 第2章　轴对称图形 活动1　会解角平分线和平行线的综合题 例1 (教材典题)已知:如图2-5-12,∠EAC是△ABC的外角,AD平分∠EAC,AD∥BC.求证:AB=AC. 图2-5-12 证明:∵AD∥BC, ∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C. ∵∠EAD=∠DAC, ∴∠B=∠C. ∴AB=AC(等角对等边). 探究与应用 变式 如图2-5-13所示,△ABC中,AB=AC,AD平分△ABC的外角∠CAE.求证:AD∥BC. 图2-5-13 证明:因为AB=AC, 所以∠C=∠B=∠CAE. 因为AD平分△ABC的外角∠CAE, 所以∠DAC=∠DAE=∠CAE, 所以∠B=∠DAE,所以AD∥BC. 探究与应用 活动2　探索并应用直角三角形斜边上的中线的性质 [操作尝试] 剪一张直角三角形纸片ABC,如图2-5-14①. (1)把纸片按图②所示的方法折叠(使点B与点C重合),再把纸片展平后按图③所示的方法折叠(使点A与点C重合),你有什么发现? (2)证明(1)中你的发现. (3)CD是△ABC中的什么特殊线段? (4)请你由以上过程总结出一个真命题. 图2-5-14 探究与应用 解:(1)发现:两条折痕与斜边相交于同一点,　 ∴BD=CD=AD=AB. (2)证明:由折叠的性质得∠B=∠BCD,∠A=∠ACE,BD=CD,AE=CE. ∵∠ACB=90°, ∴∠BCD+∠ACD=90°,∠B+∠A=90°, ∴∠A=∠ACD, 探究与应用 ∴∠ACD=∠ACE, ∴CD与CE重合, ∴BD=CD=AD=AB. (3)CD是△ABC斜边上的中线. (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究与应用 [概括新知] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. [讨论探究] 在一个三角形中,如果一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形吗?证明你的结论. 探究与应用 解:这个三角形是直角三角形.证明如下: 已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,且CD=AB. 求证:△ABC是直角三角形. 证明:如图.∵CD是AB边上的中线, ∴AD=BD=AB. 又CD=AB,∴AD=BD=CD, ∴∠A=∠1,∠2=∠B, 探究与应用 ∴∠1+∠2=∠A+∠B. ∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°, 即2(∠1+∠2)=180°,∴∠1+∠2=90°, 即∠ACB=90°, ∴△ABC是直角三角形. 探究与应用 例2 如图2-5-15,∠BAC为钝角,CD⊥AB交BA的延长线于点D,BE⊥AC交CA的延长线于点E,垂足分别为D,E,M是BC边的中点.求证:ME=MD. 图2-5-15 证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠BDC=∠BEC=90°. ∵M是BC边的中点,∴ME=MD=BC. 探究与应用 变式 如图2-5-16,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN⊥BD. 图2-5-16 证明:∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点, ∴BM=AC,DM=AC,∴BM=DM. ∵N是BD的中点, ∴MN⊥BD(等腰三角形三线合一). 探究与应用 [讨论探究] 如图2-5-17,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,那么BC与AB有怎样的数量关系?试证明你的结论. 活动3　能证明并应用含30 °角的直角三角形的性质 图2-5-17 探究与应用 解:BC=AB. 证明:如图,延长BC到点D,使CD=BC. 在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(SAS), ∴AB=AD. 探究与应用 ∵∠BAC=30°,∠ACB=90°, ∴∠B=90°-30°=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∴AB=BD,∴BC=AB. 探究与应用 学 方法 条件中出现直角和中点时,常考虑通过构造直角三角形斜边上的中线解决问题. 探究与应用 [概括新知] 在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半. 例3 如图2-5-18,在等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=120°,D为AC边的中点.若BC=6,则BD的长为　　　　.  图2-5-18 3 探究与应用 例3　3　[解析] ∵BA=BC,∠ABC=120°,D为AC边的中点, ∴∠C=∠A=30°,BD⊥AC. 在Rt△CDB中,∠C=30°,BC=6, ∴BD=BC=3. 相关解析 谢 谢 观 看！ $$