精品解析：广东省深圳市外国语学校2024-2025学年北师大版九年级上学期月考数学试卷（10月份）

九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，则（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 若，与的面积比为，则与的比是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 10. 如图，在菱形中，，则菱形的周长为___________． 11. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 12. 如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为______． 13. 如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为___________ 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程：； （2）已知a、b、c为的三边长，且，，求三边的长． 15. 在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 16. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 17. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证： （2）若，，求线段的长 18. 如图，在矩形中，，点E、F同时分别从D、B两点出发，以的速度沿向终点C、A运动，点G、H分别为的中点，设运动时间为． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）填空： ①当t为______s时，四边形是菱形； ②当t为_____s时，四边形是矩形． 19. 如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点． （1）点B的坐标为 　 ；点C的坐标为 　 ； （2）点G是与y轴的交点，求点G的坐标； （3）若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； （4）若点P在上，过点P作y轴的平行线，过点G作x轴的平行线，它们相交于点M，将沿直线翻折，点M的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点P的坐标． 20. 如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点． （1）请在图中找出与相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下） （2）已知，， ①当时，求的面积； ②连接，当为直角三角形时，求的长； ③当将分成的两部分的面积之比为时，请直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形及正方形的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：A、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等； B、不正确，菱形的对角线不相等； C、不正确，矩形的对角线不垂直； D、正确，三者均具有此性质； 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形、矩形及正方形的性质，熟练掌握菱形、矩形及正方形的性质是解题的关键． 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ， ， 解得， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 6. 若，与的面积比为，则与的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选A． 7. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 8. 如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 连接，交于点O，先证明，，进而可得，由，求出，，再由，得，即可求出的长． 【详解】解：连接，交于点O； ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：3． 10. 如图，在菱形中，，则菱形的周长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解． 【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为， 故答案为：8． 11. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，可得，可求的长，作于点F，则四边形为矩形，证明得，即可求解． 【详解】解：∵，是公共角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 作于点F， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质．证明是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理求得和的长，证明，得到，推出，得到，设，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，过点B作的垂线，垂足为点，如图， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，  解得， 设，，， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或， 经检验或都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）解方程：； （2）已知a、b、c为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，比例的性质： （1）利用公式法解方程即可； （2）设，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 【答案】 即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为2即可； （2）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为即可． 【详解】解：如图(1)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求； 如图(2)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求． 16. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 17. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证： （2）若，，求线段的长 【答案】（1） ，， ； （2） 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理证明，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 得， 解得， ， 即． 【点睛】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． 18. 如图，在矩形中，，点E、F同时分别从D、B两点出发，以的速度沿向终点C、A运动，点G、H分别为的中点，设运动时间为． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）填空： ①当t为______s时，四边形是菱形； ②当t为_____s时，四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵点E、F同时分别从D，B两点出发，以的速度沿向终点C、A运动， ， 在和中， ， ， ∴，， 点G、H分别为的中点， ，且， 四边形是平行四边形； （2）①；②8或 【解析】 【分析】（1）证明，进而可得，且，即可得出结论； （2）①当四边形是菱形，点G是的中点，则，可得，再根据，列方程求解即可； ②当四边形是矩形，证明，可得，列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵四边形是菱形，点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：8或． 【点睛】本题考查矩形、菱形和平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，第二问根据结论逆向分析列方程是解题的关键． 19. 如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点． （1）点B的坐标为 　 ；点C的坐标为 　 ； （2）点G是与y轴的交点，求点G的坐标； （3）若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； （4）若点P在上，过点P作y轴的平行线，过点G作x轴的平行线，它们相交于点M，将沿直线翻折，点M的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，点关于坐标轴对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，求点的坐标即可； （2）用待定系数法求函数的解析式即可； （3）当点P在边上时，设，且，若点P关于x轴的对称点在直线上，得，若点P关于y轴的对称点在直线上，得，即可得出答案； （4）根据题意可知点M的对称点落在y轴上，再由，可求． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，点A的坐标为， ∴，， ∵点D的坐标为， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴； 【小问3详解】 解：当点P在边上时， ∵直线的解析式为， 设，且， 若点P关于x轴的对称点在直线上， ∴， 解得， 此时， 若点P关于y轴的对称点在直线上时， ∴， 解得， 此时， 综上所述，点P的坐标为或； 【小问4详解】 解：如图， ∵轴，轴， ∴点M的对称点落在y轴上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点． （1）请在图中找出与相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下） （2）已知，， ①当时，求的面积； ②连接，当为直角三角形时，求的长； ③当将分成的两部分的面积之比为时，请直接写出值． 【答案】（1） （2）①；②的值等于4或；③的值等于或． 【解析】 【分析】（1）与为两个等腰三角形，得到，从而推算出从而证明； （2）①根据勾股定理算出，证明，根据相似比分别求出，计算出面积，再利用三角形的相似比计算出的面积； ②当时，证明得出计算出；当证明，根据相似比计算出． ③证明和，由推出，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 证明：在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①如图2，连接，在菱形中，与互相垂直平分， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 得， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如下图所示, 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵ ∴． 如下图所示，当时，延长交于H， 设，则． ∵ ∴． ∵ ∴， ∴ ∴ 解得 ∵ 当时 ∴的情况不存在 综上所述，的值等于4或； ③∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，的值等于或． 【点睛】本题考查菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $