精品解析：广东省汕头市潮阳区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024～2025学年度第一学期 九年级数学科期中考试卷（R） （内容：21.1～23.3） 说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．请将答案写在答题卷相应的位置上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 4. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 5. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A. B. C. 或 D. 6. 已知m，n是方程的两根，则的值为（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 4 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角到的位置，这时点恰好落在边的中点，则旋转角的度数为( )． A. B. C. D. 8. 已知二次函数在时有最小值，则（　　） A. 或 B. 4或 C. 或 D. 4或 9. 如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程有一个根为，则__________． 12. 二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到新的图象的二次函数解析式是__________． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 14. 如图，等边内部一点O，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段 ，连接，则 _________________． 15. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解方程： 17. 已知函数是二次函数； （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 20. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后（如图2）解决了这个问题． （1）写出线段之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，等腰中，，，点E，F在边上，且，请写出之间的数量关系，并说明理由． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； （3）点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期 九年级数学科期中考试卷（R） （内容：21.1～23.3） 说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．请将答案写在答题卷相应的位置上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴的方法．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即：y轴． 故选：C． 3. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为； ∴方程必有一根为． 故选：B 4. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质及求代数式的值，根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：B． 5. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 6. 已知m，n是方程的两根，则的值为（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系与方程的解的含义可得：再整体代入求值即可. 【详解】解： m，n是方程的两根， 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键是“利用一元二次方程的解的含义得到再整体代入把要求值的代数式降次”. 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角到的位置，这时点恰好落在边的中点，则旋转角的度数为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据旋转的性质可得，，即可证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出结论． 【详解】解：∵点恰好落在边中点上，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴ ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 8. 已知二次函数在时有最小值，则（　　） A. 或 B. 4或 C. 或 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用二次函数的性质求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ； 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， 解得：； 综上所述：或， 故选：B． 9. 如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，过点作轴于，由旋转性质可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，最后根据解直角三角形可得到点的坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】过点作轴于， ∵点的坐标为， ∴， 将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合， ∴，，，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数几何综合，菱形的性质及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，利用勾股定理即可求得的长然后求得点坐标，继而求得直线的解析式，最后由抛物线经过点C，且顶点在直线上，求得答案 【详解】 四边形是菱形， 设直线的解析式为∶， ， 解得：， 直线的解析式为∶， 抛物线经过点， ， 顶点为∶， 顶点在直线上， ． 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程有一个根为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．关于的方程的一个根是，把代入原方程即得的值． 【详解】解：根据题意关于的方程的一个根是， 把代入方程得到， 解得． 故答案为． 12. 二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到新的图象的二次函数解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题关键是明确函数平移变化规律，准确解答．根据“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，得到的二次函数解析式为． 故答案为：． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，等边内部一点O，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段 ，连接，则 _________________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理. 连接 ，如图，根据旋转的性质得 ，可判断为等边三角形，由为等边三角形得到, 则, 然后根据可证明, 则在中,由于,则于是可根据勾股定理的逆定理可得加上 为等边三角形得所以. 【详解】连接 如图， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段 ∴, ∴为等边三角形, ∴, ∵为等边三角形, ∴,, , 即, 在 和中 ， ， ∴, 在中, ∵, ， ， ∴, 故答案为: . 15. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质． 把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解． 【详解】解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 首先将原方程变形为，然后提公因式得到，进而得到或，然后求解即可． 【详解】解： 或 解得，． 17. 已知函数是二次函数； （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据形如是二次函数，可得答案． （2）化成顶点式，根据二次函数的性质得到开口方向、对称轴及顶点坐标． 【小问1详解】 由题意：， 解得， 时，函数是二次函数． 【小问2详解】 二次函数的解析式为， 这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数定义，以及二次函数的性质，关键是掌握形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求；的坐标为 （2）如图所示，即为所求；的坐标为 【解析】 【分析】（1）通过找点，描点，连线画出，再写出的坐标即可； （2）通过找点，描点，连线画出，再写出的坐标即可； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转作图，掌握点的坐标变化规律，找准图形对应点，正确作图，是解题关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 20. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 21. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】（1） （2）销售产品所获利润是万元； （3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【解析】 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 【小问1详解】 解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； 【小问3详解】 解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后（如图2）解决了这个问题． （1）写出线段之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，等腰中，，，点E，F在边上，且，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ，理由如下： 四边形是正方形， ； 绕点A顺时针旋转后得到， ，； ， 即点G在的延长线上； ， ， ， 即； ， ， ， 即； （2） ，理由如下： ，， ； 把绕点A顺时针旋转后得到，如图， 则，； ， 即， ； ， ， ， 即； ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明即可得线段之间的数量关系； （2）将绕点A顺时针旋转得到，连接，则，则由勾股定理得；证明，得，即可得线段之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，旋转三角形是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； （3）点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将、两个点的坐标代入关系式，求出，的值即可得出答案； （2）先根据点的坐标求出直线的解析式，即可表示点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，再证明，可得，，然后表示出点，最后将点代入直线解析式，求出答案即可； （3）先将关系式配方得出点的坐标，再分两种情况讨论：当为菱形的边时，作，再求出，即可求出点的坐标；当为菱形的对角线时，作，可知，，再设，表示，在中，根据勾股定理求出的值， 可得点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是； 【小问2详解】 由（1）得，点， 设直线的解析式为：， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图①所示，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，        ． ，， ， 在和中， ， ， ，． ， 点在直线上， ， 解得：， 把代入中得， 当时，点的坐标为； 【小问3详解】 存在． ， 点的坐标为． 分两种情况讨论： 当为菱形的边时，如图所示②：过作于． ， ， ， ， 点的坐标为或； 当为菱形的对角线时，如图所示③：过点作于． 由题意可知，，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得，    点的纵坐标为， 此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数、二次函数关系式，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $