15.2　线段的垂直平分线课件-2024-2025学年沪科版数学八年级上册

15.2　线段的垂直平分线 第15章 轴对称图形与 等腰三角形 - 15.2　线段的垂直平分线 探究与应用 课堂小结与检测 第15章　轴对称图形与等腰三角形 活动1　用尺规作线段的垂直平分线,探究线段垂直平分线的性质定理 [实践操作] 按要求用尺规作图(要求:不写作法,但要保留作图痕迹,并写出结论). 已知:如图15-2-1,线段AB. 求作:线段AB的垂直平分线MN. 图15-2-1 探究与应用 解:如图.MN即为线段AB的垂直平分线. 探究与应用 明 关键 尺规作线段的垂直平分线的“三点注意” (1)尺规作图规定的工具只有直尺(无刻度)和圆规; (2)作图时所画弧的半径一定要大于已知线段长的一半,这是为了保证分别以线段两端点为圆心所画的弧有两个交点; (3)保留作图痕迹. 探究与应用 [猜想证明] 已知:如图15-2-2,直线MN经过线段AB的中点O,且MN⊥AB,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. 图15-2-2 证明:∵MN⊥AB,(已知) ∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定义) 在△AOP与△BOP中, 探究与应用 ∵ ∴△AOP≌△BOP.(SAS) ∴PA=PB.(全等三角形的对应边相等) 探究与应用 [概括新知] 线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到 　　　　　的距离相等.  线段两端 探究与应用 [理解应用] 例1 如图15-2-3,在△ABC中,∠BAC=106°,BC=10,AB的垂直平分线分别与边BC,AB交于点E,F,AC的垂直平分线分别与边BC,AC交于点M,N,连接AE,AM. (1)△AEM的周长为　　　　;  (2)∠EAM的度数为　　　　.  图15-2-3 10 32° 探究与应用 活动2　探究线段垂直平分线的判定定理 [启发思考] 你能写出线段的垂直平分线的性质定理的逆命题吗?它是真命题还是假命题?如果是真命题,请给出证明. 解:逆命题:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.它是真命题,证明如下: 已知:如图,QA=QB. 求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 探究与应用 证明:如图,过点Q作QM⊥AB,垂足为M,则∠QMA=∠QMB=90°. 在Rt△QMA和Rt△QMB中, ∵ ∴Rt△QMA≌Rt△QMB,(HL) ∴AM=BM, ∴点Q在线段AB的垂直平分线上,即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 探究与应用 [概括新知] 线段的垂直平分线的判定定理:　　　　　　　　　　的点在线段的垂直平分线上.  到线段两端距离相等 探究与应用 [理解应用] 例2 (教材典题)已知:如图15-2-4,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. 图15-2-4 证明:连接PA,PB,PC. ∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知) ∴PA=PB,PA=PC. (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 探究与应用 ∴PB=PC.(等量代换) ∴点P在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上) 探究与应用 勤 总结 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形            　　 　的距离相等;反过来,到三角形三个顶点距离相等的点是三边的　　　　　　的交点.  垂直平分线 三个 顶点 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 7 [检测] 1.已知点P在线段AB的垂直平分线上,若PA=7,则PB=　　　. 课堂小结与检测 2.如图15-2-5所示,AB的垂直平分线为MN,垂足为O,点P在MN上,则下列结论中,错误的是 (　　) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OB D.PM平分∠APB 图15-2-5 C 课堂小结与检测 3.到△ABC的三个顶点距离相等的点是 (　　) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 D 课堂小结与检测 4.如图15-2-6,AB=AE,BC=ED,AF是CD的垂直平分线.求证: ∠B=∠E. 图15-2-6 证明:连接AC,AD,如图. ∵AF是CD的垂直平分线, ∴AC=AD. 在△ABC与△AED中,∵ ∴△ABC≌△AED,(SSS)∴∠B=∠E. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$