15.4　第2课时　角的平分线的性质与判定.课件-2024-2025学年沪科版数学八年级上册

数学 八年级上册 沪科版 第2课时　角的平分线的性质与判定 第15章 轴对称图形与 等腰三角形 - 第2课时　角的平分线的性质与判定 探究与应用 课堂小结与检测 第15章　轴对称图形与等腰三角形 活动1　探究并掌握角平分线的性质定理 [回顾复习] 如图15-4-5,P是线段AB的垂直平分线上一点,若点P到端点A的距离PA=3,则点P到端点B的距离PB是多少?你判断的依据是什么? 图15-4-5 解:PB=3.依据:线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等. 探究与应用 [观察思考] 如图15-4-6,P是∠AOB的平分线上一点,若点P到边OA的距离PD=5,猜想点P到边OB的距离PE是多少. 图15-4-6 解:猜想PE=5. 探究与应用 [猜想证明] 证明[观察思考]中你的猜想. 证明:∵OC是∠AOB的平分线,∴∠POD=∠POE. 由题意知PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△POD与△POE中,∵ ∴△POD≌△POE, ∴PD=PE=5. 探究与应用 [概括定理] 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离 　　　　.  几何语言:如图15-4-7,∵OC平分∠AOB,P为OC上一点, 　　　　　　　　　,垂足分别是D,E,∴PD=PE.  图15-4-7 相等 PD⊥OA,PE⊥OB 探究与应用 [理解应用] 例1 如图15-4-8,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC. 求证:BD=DF. 图15-4-8 证明:∵∠C=90°,∴DC⊥AC. ∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DC=DE,∠BED=90°. 探究与应用 在△DEB和△DCF中,∵ ∴△DEB≌△DCF.(SAS) ∴BD=DF. 探究与应用 明 关键 应用角平分线性质定理的三个条件:一平分,两垂直,缺一 不可. 探究与应用 活动2　探究并掌握角平分线的判定定理 [观察思考] 如图15-4-9,在∠AOB的内部,如果点P到∠AOB两边的距离PC与PD相等,那么射线OP是∠AOB的平分线吗?如果是的话,给出证明. 图15-4-9 解:射线OP是∠AOB的平分线. 证明:∵PC⊥OA,PD⊥OB, ∴∠OCP=∠ODP=90°. 探究与应用 在Rt△OCP和Rt△ODP中, ∵ ∴Rt△OCP≌Rt△ODP,(HL) ∴∠COP=∠DOP, ∴OP平分∠AOB, ∴射线OP是∠AOB的平分线. 探究与应用 [概括定理] 角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在 　　　　　　　.  几何语言:如图15-4-10,∵点P在∠AOB内,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,　　　　,∴OP平分∠AOB.  图15-4-10 角的平分线上 PD=PE 探究与应用 [理解应用] 例2 如图15-4-11,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,连接OA.试探究OH与OA的数量关系,并说明理由. 图15-4-11 解:OH=OA. 理由:过点O作OG⊥AB于点G, OQ⊥AC于点Q,如图. 探究与应用 ∵BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,∴OH=OG. ∵CO平分∠ACB,OH⊥BC,OQ⊥AC, ∴OH=OQ. ∴OG=OQ. 则AO平分∠BAC. ∴∠GAO=∠BAC=30°. ∴OG=OA. ∴OH=OA. 探究与应用 证明一条射线是一个角的平分线的两种方法 (1)定义法:应用角平分线的定义证明; (2)定理法:应用角平分线的判定定理证明,利用该定理证明时,要同时满足三个条件:两垂直,一相等. 记 方法 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 D [检测] 1.如图15-4-12所示,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是 (　　) A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC 图15-4-12 课堂小结与检测 2.如图15-4-13,已知DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE= DF,则AD平分　　　　.  图15-4-13 ∠BAC 课堂小结与检测 3.如图15-4-14,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE,CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC. 图15-4-14 证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠BFD=∠CED=90°. 在△BDF与△CDE中,∵ ∴△BDF≌△CDE.(AAS) ∴DF=DE.∴AD平分∠BAC. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$