15.3　第1课时　等腰三角形的性质.课件-2024-2025学年沪科版数学八年级上册

15.3　第1课时　等腰三角形的性质 第15章 轴对称图形与 等腰三角形 - 15.3　第1课时　等腰三角形的性质 探究与应用 课堂小结与检测 第15章　轴对称图形与等腰三角形 活动　探究并掌握等腰三角形和等边三角形的性质 [实践操作] 如图15-3-1①是一张等腰三角形纸片,记作△ABC,将△ABC对折,使边AB叠合到边AC上,这时点B与点C重合,出现折痕AD (图②).观察图形并回答下面的问题: (1)等腰三角形是不是轴对称图形? 如果是,它的对称轴是什么? 图15-3-1 探究与应用 解:(1)等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是底边中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线. 探究与应用 (2)经历上面的操作,在图②中,相等的线段有　 　　　,相等的角有　　 　　.  (3)AD与BC的位置关系是　　 　　.  图15-3-1 AB=AC,BD=BC ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC AD⊥BC 探究与应用 [探索论证] 已知:如图15-3-2,△ABC中,AB=AC. (1)求证:∠B=∠C; (2)若AD平分∠BAC,交BC于点D,求证:AD⊥BC, 且BD=CD. 图15-3-2 证明:(1)如图①,取BC的中点E,连接AE. 在△ABE与△ACE中,∵ 探究与应用 ∴△ABE≌△ACE,(SSS) ∴∠B=∠C. (2)如图②,作∠BAC的平分线,交BC于点D. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD与△ACD中, ∵ 探究与应用 ∴△ABD≌△ACD,(SAS) ∴BD=CD,∠ADB=∠ADC. ∵∠ADB+∠ADC=180°, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BC. 探究与应用 [概括定理] 1.等腰三角形的性质定理1——“等边对等角”:等腰三角形的两底角　　　　,简称“等边对等角”.  2.等腰三角形的性质定理2——“三线合一”:等腰三角形 　　　　的平分线　　　　　　底边,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高“　　　　　”.  3.等腰三角形性质定理1的推论:等边三角形三个内角　　 ,每一个内角都等于　　　　.  相等 顶角 垂直平分 三线合一 相等 60° 探究与应用 [理解应用] 例1 在△ABC中,AB=AC,若∠A=50°,则∠B=　　　　°.  65 探究与应用 变式1 若等腰三角形的一个角为80°,则顶角的度数为 　　　　　.  变式2 若等腰三角形的一个角为90°,则顶角的度数为 　　　　.  20°或80° 90° 探究与应用 例2 如图15-3-3,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点.求证:点D在∠BAC的平分线上. 图15-3-3 证明:如图,连接AD. ∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形. 又∵D是BC边的中点, ∴AD是等腰三角形ABC的中线. ∴AD平分∠BAC. ∴点D在∠BAC的平分线上. 探究与应用 等腰三角形中求角时,若已知角未明确是顶角还是底角,要分这两种情况讨论求解. 防 易错 探究与应用 例3 (教材典题)已知:如图15-3-4,在△ABC中,AB=AC,∠BAC= 120°,点D,E是底边上两点,且 BD=AD,CE=AE.求∠DAE的 度数. 图15-3-4 解:∵AB=AC,(已知) ∴∠B=∠C.(等边对等角) ∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°. 又∵BD=AD,(已知) ∴∠BAD=∠B=30°.(等边对等角) 探究与应用 同理,∠CAE=∠C=30°. ∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30°=60°. 探究与应用 例4 如图15-3-5,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线CD的同侧,连接AE.求证:AE∥BC. 　图15-3-5 证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形, ∴BC=AC,CD=CE,∠B=∠BCA=∠DCE=60°. ∴∠BCA-∠DCA=∠DCE-∠DCA, 即∠BCD=∠ACE. 在△ACE和△BCD中, 探究与应用 ∵ ∴△ACE≌△BCD.(SAS) ∴∠EAC=∠B=60°=∠BCA. ∴AE∥BC. 探究与应用 等边三角形三个内角都是60°这个结论属于隐性条件,当条件当中有“等边三角形”时,则意味着这个三角形三个内角的大小是确定的. 得 锦囊 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 D [检测] 1.如图15-3-6所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是 (　　) A.70° B.55° C.50° D.40° 图15-3-6 课堂小结与检测 2.如图15-3-7,已知AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=5,则CD的长为 (　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 图15-3-7 B 课堂小结与检测 3.如图15-3-8,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,则∠BAD=　　　　°. 图15-3-8 30 课堂小结与检测 4.如图15-3-9所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在线段AD上.求证:BE=CE. 图15-3-9 证明:∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC. ∴AD是线段BC的垂直平分线. 又∵点E在线段AD上, ∴BE=CE. 课堂小结与检测 例1　65　[解析] ∵AB=AC,∴∠B=∠C.(等边对等角) ∵∠A+∠B+∠C=180°,(三角形内角和定理)∠A=50°, ∴50°+2∠B=180°,解得∠B=65°. 变式1　20°或80°　 [解析] 当底角为80°时,顶角为180°-80°×2=20°; 当顶角为80°时,底角为(180°-80°)×=50°. 综上所述,顶角的度数为20°或80°. 相关解析 变式2　90°　[解析] 若顶角为90°,设底角为x. ∵90°+2x=180°,∴x=45°.若底角为90°,则三个内角的和大于180°,不符合三角形内角和定理,∴顶角的度数为90°. 例4　[解析] 由于△ABC,△CDE都是等边三角形,根据等边三角形的性质推出BC=AC,CD=CE,∠B=∠BCA=∠ECD=60°,求出∠BCD=∠ACE,根据“SAS”证△ACE≌△BCD,推出∠EAC=∠B=∠BCA=60°,根据平行线的判定定理即可推出AE∥BC. [检测] 2.B　[解析] ∵AB=AC,AD⊥BC,BC=5, ∴BD=CD=2.5.故选B. 3.30　[解析] ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°. ∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-90°-60°=30°. 故答案为30. 谢 谢 观 看！ $$