15.3　第3课时　等腰三角形的判定.课件-2024-2025学年沪科版数学八年级上册

数学 八年级上册 沪科版 第3课时　等腰三角形的判定 第15章 轴对称图形与 等腰三角形 - 第3课时　等腰三角形的判定 探究与应用 课堂小结与检测 第15章　轴对称图形与等腰三角形 活动1　探索等腰三角形的判定定理 [问题情境] 我们在学习命题的有关概念时,学习了真命题和假命题、原命题和逆命题的概念.对于命题,我们可以“反过来”思考问题,这是获得数学结论的一条常用途径.请思考:“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗?也就是:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 探究与应用 [猜想证明] 已知:如图15-3-14,在△ABC中,∠B=∠C. 求证:AB=AC. 图15-3-14 证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D. ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD与△ACD中,∵ ∴△ABD≌△ACD.(AAS)∴AB=AC. 探究与应用 [概括新知] 等腰三角形的判定定理:有两个角　　　　的三角形是等腰三角形.简称“　　　　　　”.  相等 等角对等边 探究与应用 [理解应用] 例1 如图15-3-15,直线AB∥CD,若∠1=60°,∠2=30°,求证: △FCE是等腰三角形. 图15-3-15 证明:∵AB∥CD, ∴∠DFE=∠1=60°. ∵∠DFE=∠2+∠E,∠DFE=60°,∠2=30°, ∴∠2=∠E,∴CF=EF, ∴△FCE是等腰三角形. 探究与应用 记 方法 判定等腰三角形的两种方法 (1)定义法; (2)等角对等边. 探究与应用 活动2　探索等边三角形的判定定理 [启发思考] (1)三个角都相等的三角形是什么三角形? (2)有一个角是60°的等腰三角形是什么三角形? 探究与应用 [推理论证] 1.求证:三个角都相等的三角形是等边三角形. 解:已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:AB=AC=BC. 证明:在△ABC中, ∵∠A=∠B,∴BC=AC. ∵∠A=∠C,∴AB=BC, ∴AB=AC=BC. 探究与应用 2.求证:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 解:第一种情况:已知如图①,在△ABC中,AB=AC,∠A=60°. 求证:AB=AC=BC. 证明:在△ABC中, ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠A=60°, ∴∠B=∠C=60°, ∴AB=AC=BC. 探究与应用 第二种情况:已知如图②,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°. 求证:AB=AC=BC. 证明:在△ABC中, ∵AB=AC, ∴∠C=∠B=60°, ∴∠A=60°, ∴AB=AC=BC. 探究与应用 记 方法 判定等边三角形的三种方法 (1)若已知三边关系,则根据“三条边都相等的三角形是等边三角形”来判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定. 探究与应用 [概括新知] 1.　　　　　都相等的三角形是等边三角形.  2.有一个角是60°的　　　　　　　是等边三角形.  三个角 等腰三角形 探究与应用 [理解应用] 例2 如图15-3-16,在△ABC中,AB=AC,D为AB边的中点,DE⊥ AC于点E,DF⊥BC于点F,DE=DF.求证:△ABC是等边三角形. 图15-3-16 证明:∵D为AB的中点, ∴AD=BD. ∵DE⊥AC,DF⊥BC, ∴∠AED=∠BFD=90°. 在Rt△ADE和Rt△BDF中, 探究与应用 ∵ ∴Rt△ADE≌Rt△BDF.(HL) ∴∠A=∠B. ∴AC=BC. 又∵AB=AC, ∴AB=BC=AC. ∴△ABC是等边三角形. 探究与应用 活动3　掌握含30 °角的直角三角形的性质定理 [实践操作] 如图15-3-17,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,请你以AC所在直线为对称轴,作出△ABC的轴对称图形△ADC. (1)△ABD是等边三角形吗?请说明理由; (2)△ABC中,BC与AB有着怎样的数量关系? 图15-3-17 探究与应用 解:如图,△ADC即为所求. (1)△ABD是等边三角形.理由如下:由轴对称可知AB=AD,∠BAC=∠DAC=30°, ∴∠BAD=60°, ∴△ABD是等边三角形. (2)由(1)可知BD=AB=2BC, 故BC=AB. 探究与应用 [概括新知] 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的　　　　.  一半 探究与应用 [应用迁移] 例3 (教材典题)如图15-3-18,一艘船从A处出发,以每时10 n mile(海里)的速度向正北航行,从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上,如果这艘船上午8:00从A处出发,10:00到达B处,从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上. (1)画出礁石C的位置; (2)求从B处到礁石C的距离. 图15-3-18 探究与应用 解:(1)以B为顶点,向北偏西60°作角,这角一边与AC交于点C,则点C为礁石所在地,如图. (2)∵∠ACB=60°-30°=30°,(三角形的外角性质) 又∵∠BAC=30°,∴∠BCA=∠BAC. ∴BC=BA. ∵BA=10×(10-8)=20(n mile), ∴BC=20 n mile. 即从B处到礁石C的距离是20 n mile. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 B [检测] 1.在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=4,则BC=　　　　.  2.已知在△ABC中,AB=AC,∠A=60°.若BC=5 cm,则AC= 　 cm. 5 课堂小结与检测 3.如图15-3-19,AD平分∠BAC,AB∥CD.求证:△ACD为等腰三角形. 图15-3-19 证明:∵AB∥CD,∴∠BAD=∠ADC. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∴∠ADC=∠CAD. ∴AC=DC. ∴△ACD为等腰三角形. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$