8.1.2 样本相关系数 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

成对数据的统计分析 8.1.2样本相关系数 第 结合实例，了解样本相关系数的定义 会通过相关系数比较变量的相关性. 准备好了吗?一起去探索吧! 样本相关系数的应用. 样本相关系数. 能否像引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样， 引入一个适当的“数字特征”,对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢? 这节课我们就来学习一下样本相关系数. 探究一样本相关系数 对于变量x 和变量y, 设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x,y),(x₂,y₂), …,(x,,yn), 其中x,x₂,…,x, 和 y₁,y₂,…,yn的均值分别为x 和y, 则 有 称r 为变量x 和变量y 的样本相关系数. 探究二样本相关系数与正、负相关的关系 样本相关系数r 是一个描述成对样本数据的数字特征， 它的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征： 当r>0 时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时， 另一个数据的值通常也变小； 当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. 当r<0 时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时， 另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. 将向量的维数推广到n 维 ，n 维向量a,b的数量积仍然定义为a·b=a||b|cosθ, 其中θ为向量a,b的夹角.类似于平面或空间向量的坐标表示， 对于向量a=(a,a₂,…,a)和b=(b,b₂,…,bn),有a ·b=a₁b₁+a₂b₂+…+a,b,. 设“标准化”处理后的成对数据(x',y),(x2,y₂),…,(x,yn) 的第一分量 构成n 维向量x'=(x',x2,…,x′),第二分量构成n维向量y'=(y,y2,…,yn), 则有 探究三样本相关系数与线性相关程度的关系 因为|x'|=|y|= √n,所以样本相关系数r=cosθ,其中θ为向量 x′和向量y'的夹角. 由-1≤cosθ≤1, 可知- 1≤r≤1. 当Ir|=1 时 ，r=cosθ 中的θ=0或π,向量x'和y'共线.由向量的知识可知， 存在实数λ,使得y'=λx', 即 ,i=1,2,…,n. 这时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系. 这表明成对样本数据(x,,y;)都落在直线 由此可见，样本相关系数 r 的取值范围为[-1,1].样本相关系数r 的绝对值大小 可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： 当Ir| 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当Irl 越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 探究四用样本相关系数估计总体相关系数 两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析， 而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度： r的符号反映了相关关系的正负性； |rl 的大小反映了两个变量线性相关的程度， 即散点集中于一条直线的程度. 对于简单随机样本而言，样本具有随机性，因此样本相关系数r也具有随机性. 一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好. 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 例1根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关， 计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近， 由此推断脂肪含量和年龄线性相关， 解析 先画出散点图，如图所示. 解 析 根据样本相关系数的定义， ① 利用计算工具计算可得x≈48.07,y≈27.26, 9 9 代入①式得， 由样本相关系数r≈0.97,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关， 且相关程度很强. 例2有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和) 与A 商品销售额的10年数据，如表所示. 例题 第n年 1 2 3 4 5 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 A商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 第n年 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 A商品销售额/万元 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关， 并通过样本相关系数推断居民年收入与A 商品销售额的相关程度和变化趋势的异同. 解析 画出成对样本数据的散点图，如图所示.从散点图看， A 商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系. 由样本数据计算得样本相关系数r≈0.95.由此可以推断， A 商品销售额与居民年收入正线性相关， 即A 商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强. +A商品销售额/万元 55 50 45 40 35 30 25 20 30 35 40 45 50 居民年收入/亿元 编号 身高/cm 体重/kg 臂展/cm 编号 身高/cm 体重/kg 臂展/cm 1 173 55 169 14 166 66 161 2 179 71 170 15 176 61 166 3 175 52 172 16 176 49 165 4 179 62 177 17 175 60 173 5 182 82 174 18 169 48 162 6 173 63 166 19 184 86 189 7 180 55 174 20 169 58 164 8 170 81 169 21 182 54 170 9 169 54 166 22 171 58 164 10 177 54 176 23 177 61 173 11 177 59 170 24 173 58 165 12 178 67 174 25 173 51 169 13 174 56 170 例3在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据， 体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性? 例题 如表所示. 解析 根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图， 分别如图(1)和(2)所示，两个散点图都呈现出线性相关的特征. 体重/kg 90 85 80 75 70 65 60 55- 50 45 40L 165 170 175 180 (1) 臂展/cm 190 185 180 175- 170 165 160 155l 185身高/cm 165 170 175 180 (2) 185 身高/em O 解析- 通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数 分别约为0.34和0.78, 都为正线性相关，其中，臂展与身高的相关程度更高. 练一练 1.变量X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与 V 相对应的一 组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r 表示变量Y与X之间的线性相关系数，r₂ 表示 变量V 与 U 之间的线性相关系数，则() A.r₂<r<0 B.0<r₂<r C.₂ <0<r D.r₂=r 练一练 解析- 由变量X与 Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5), 可得变量Y与X 正相关，所以r>0. 而由变量U 与 V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1), 可知变量V 与 U 负相关，所以r₂<0.因此r 与r₂的大小关系是r₂<0<r. 练一练 2.相关变量x,y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析， 方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y=bx+a, 相关系数为r; 方案二：剔除点(10,21),根据剩下数据得到线性回归直线方程： y=b₂x+a₂, 相关系数为r₂.则 ( ) A.0<r<r₂<1 B.0<r₂<r<1 C.-1<r<r₂<0 D/-1<r₂<r<0 解析 由散点图得负相关，所以r,r₂<0, 因为剔除点(10,21)后， 剩下点数据更具有线性相关性， |r 更接近1,所以-1<r₂<r<0. 选 D. 练一练 3.设两个变量x 和 y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r,y关于 x 的回归直线方程为 $=kx+b, 则 ( ) A .k 与 r 的符号相同 B.b 与 r 的符号相同 C.k 与 r 的符号相反 D.b 与 r 的符号相反 解析 若样本相关系数r 为正，则两个变量呈现正相关，经验回归直线呈上升趋势；若样本相关系数 r为负，则两个变量呈现负相关，经验回归直线呈下降趋势，∴k与 r 的符号相同.故选A. 练一练 4.下图是变量x,y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据， 得到经验回归方程：y=b₁x+a, 样相关系数为r; 方案二：剔除点(10,32),根据剩下数据， 得到经验回归方程：y=b₂x+a₂, 样本相关系数为r₂, 则 ( ) B.0<r<r<1 C.-1<r<r₂<0 D.-1<r₂<r<0 A.O <r<r₂<1 解析 观察散点图可知，变量x 和y 呈现正相关，所以0<r<1,0<r₂<1, 剔除点(10,32)之后， 可看出经验回归方程y=b₂x+a₂ 拟合数据效果更好，所以r₂更接近1. 所以0<r<r₂ <1. 故选A. 1.样本相关系数； 2.样本相关系数与正、负相关的关系； 3.样本相关系数与线性相关程度的关系. 4.用样本相关系数估计总体相关系数 课堂小结 ————你学到了那些新知识呢? $$