7.1.2 全概率公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

全概率公式 P(AB)=P(A)P(B A) 3.条件概率与独立性的关系 当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B A)=P(B). 1.条件概率公式 P(B A)= 2.概率的乘法公式 P(AB) P(A) 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个 复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加 法公式和乘法公式求其概率.下面，再看一个求复杂事件概率的 问题. 引例1:从标有数字1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不 放回), (1)第一次抽到的卡片是偶数的概率 (2)你能否求出“第二次抽到的卡片是偶数”的概率? (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) 2 第一次 1 2 第二次 5 3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) 8 二 20 (5,1) (5, 2) (5,3) (5,4) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) 人 5 A B 设事件A 表示“第一次抽到奇数”,事件B 表示“第二次抽到偶数”, P(B)=P( AB)+P( AB ) =P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A ) 十 I 3 B 第一次抽到的是奇数且第二次抽到是偶数 二 十 第一次抽到的是偶数且第二次抽到是偶数 B 第二次抽到的 卡片是偶数 引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢? 假设A1=“第一次摸到红球” A2=“第一次摸到黑球” B=“第二次摸到红球” 易知，A₁UA₂=Ω, 且互斥， B 引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢? 易 知 ，P(A)= 5 0 9 A₁ 10 B 6 9 4 A2 10 引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个球，摸出 的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6,那么第2次摸到红球 的概率是多大?如何计算这个概率呢? 加法公式 ∵B=BA₁ + BA₂ ∴P(B)=P(BA₁)+P(BA₂) =P(A)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂) B 所以，第2次摸到红球的概率是0.6. 乘法公式 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再 由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率. P(B)=P(BA+BA₂)=P(BA₁)+P(BA₂) =P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂) A₁UA₂=Ω 思 考：按照某种标准，将一个复杂事件B表示为n个(A,A₂,…An)互 斥事件的并，根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂 事件B的概率? B=BA₁+ BA₂ +...+BA, P(B)=P(BA₁)+P(BA₂)+…+P(BA,) =P(A₁)P(B|A)+P(A₂)P(B|A₂)+…+P(A,)P(B|A₀) 2 一求和符号 乘法公式 加法公式 i=1 全概率公式 一般地，设A₁,A₂,…,An 是一组两两互斥的事件，A₁UA₂U...UA,=2, ①A₁,A₂,….,A,是一组两两互斥的事件； ②A₁UA₂U...UA,=2; ③P(A;)>0,且 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式使用条件： P(B)-=PA)P(BA) 且P(A;)>0,i=1,2,..,n, 则对任意的事件Be2, 有 对全概率公式的理解 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因A;(i=1,2,.,n)(A;两 两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(BA)=P(A,)P(B|A;). 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因A 引起， BA;(i=1,2,.,n)发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”,每个原因对 结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关. 例4:某学校有A,B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一 家餐厅用餐.如果第1天去A餐 厅 ，那么第2天去A餐厅的概率为0.6; 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学 第2天去A餐厅用餐的概率。 解 ：设 A1=“第1天去A餐厅用餐”,A2=“第1天去B餐厅用餐 ”, B=“第2天去A餐厅用餐 ”, 则Q=A 1UA2, 且A1与A2互斥， 根据题意P(A1)=P(A2)=0.5, P(B|A1)=0.6 , P(B|A2)=0.8 , A10.5 B A2 0.5 写概率 设事件 由全概率公式，得 代公式 P(B)= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) =0.5×0.6+0.5 ×0.8 B 年 =0.7 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 例1:某学校有A,B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择 一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率 为0.6; 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。 -A₁ 0.5 A2 0.5 全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件B (结果事件)看作某一过程的结果，把A,A₂…,A 看作导致结果的若干个原因； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(A,), 且每一原因对结果的影响程度(即P(B|A,)); 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)). 例5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3 台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起，已知第1,2,3台 车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； 解 ：设 B= “任取一个零件为次品”,A;= “零件为第i台车床加工” (i=1,2,3), 则 Ω =A₁UA₂UA₃, 且A₁,A₂,A₃ 两两互斥.根据题意得 P(A₁)=0.25,P(A₂)=0.3,P(A₃)=0.45, P(B|A₁)=0.06,P(B|A₂)=P(B|A₃)=0.05. (1)由全概率公式，得P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+P(A₃)P(B|A₃) =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525. 因此，任取一个零件是次品的概率为0.0525. 设A=" 发送的信号为0",B=" 接收的信号为0",则A=" 发送的信号为1", B=" 接收的信号为1". 由题意得 P(A)=P(A) =0.5, P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95. 例6在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰， 发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和 1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和 0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率； 解： 接收0(B) 接收1(B) 发送0(A) 发送1(A) 例6在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰， 发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和 1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和 0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率； 解 ：(1)由全概率公式，得 P (B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475, P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) =0.5×0.1+0.5×0.95=0.525. 或 P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525. 发送0(A) 发送1(A) 接收1(B) 接收0(B) 1,现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全 没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案， 猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的 概率. 课本P52 练 习 1 2.两批同种规格的产品，第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品 率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件。 (1)求这件产品是合格品的概率； 课本P52 练 习 2 0 % . 乙 厂 ■ 产 品 中 正 % , 如 果 从 这 批 产 品 中 随 机 抽 取 - 件 , 多 大 。 练习:有一批 产 品 占 3 0 % 品率 试计算该产 练习：甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个 袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率 为( ) A. B. C D 本小节结束 $$