2.5　第2课时　等腰三角形的判定、等边三角形及其性质与判定课件-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

八年级上册 SK 数学 2.5　第2课时　等腰三角形的判定、等边三角形及其性质与判定 第2章 轴对称图形 - 第2课时　等腰三角形的判定、等边三角形及其性质与判定 探究与应用 第2章　轴对称图形 活动1　探索和应用等腰三角形的判定 [讨论探究] (1)“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是什么? (2)这个逆命题是真命题还是假命题?请加以证明. 解:(1)“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”. 探究与应用 (2)这个逆命题是真命题.证明如下: 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C. 求证:AB=AC. 证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D. ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD与△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC. 探究与应用 [概括新知] 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 例1 如图2-5-8,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F. 求证:BE+CF=EF. 图2-5-8 探究与应用 证明:∵BD平分∠ABC, ∴∠EBD=∠DBC. ∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC. ∴∠EDB=∠EBD. ∴DE=BE. 同理,CF=DF. ∴EF=DE+DF=BE+CF, 即BE+CF=EF. 探究与应用 学 方法 遇角平分线构造等腰三角形的一般方法 (1)从角的平分线上任意取一点作角的一边的平行线,与另一边相交,得等腰三角形; (2)从角的一边任意取一点作角平分线的平行线,与另一边的反向延长线相交,得等腰三角形. 探究与应用 活动2　等边三角形性质的探索 [引发思考] 1.什么是等边三角形? 解:三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形. 2.等边三角形与等腰三角形有怎样的关系? 解:等边三角形是特殊的等腰三角形. 3.等边三角形具有怎样特殊的性质? 解:有三条对称轴,各个内角都等于60°. 探究与应用 例2 (教材典题)如图2-5-9,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在一条直线上.AD与BE相等吗?证明你的结论. 图2-5-9 解:AD=BE. 证明:∵△ABC与△CDE为等边三角形, ∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,CD=CE, ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 即∠ACD=∠BCE. 探究与应用 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE. 探究与应用 变式 感知　如图2-5-10①,在△ABC中,分别以AB,AC为边在△ABC外部作等边三角形ABD,等边三角形ACE,连接CD,BE.求证:BE=DC; 图2-5-10 证明:∵△ABD和△ACE为等边三角形, ∴∠EAC=∠DAB=60°,AD=AB,AC=AE, ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, ∴∠DAC=∠EAB, ∴△ADC≌△ABE(SAS),∴BE=DC. 探究与应用 应用 如图②,在△ABC中,AB>AC,分别以AB,AC为边作等腰三角形ABD,等腰三角形ACE,点E恰好在BC边上,使AB=AD, AC=AE,且∠BAD=∠CAE,连接CD,CE=3 cm,CD=2 cm, △ABC的面积为25 cm2,则△ABE的面积为　　　　.  图2-5-10 探究与应用 解:∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD-∠EAD=∠EAC-∠EAD, ∴∠BAE=∠DAC. 又∵AB=AD,AE=AC,∴△ABE≌△ADC(SAS), ∴BE=DC=2 cm. ∵EC=3 cm,∴BC=5 cm. ∵△ABC的面积是25 cm2, ∴△ABE的面积是×25=10(cm2). 探究与应用 [讨论探究] (1)猜想一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形?请对你的猜想进行证明; (2)猜想一个等腰三角形的内角满足什么条件才是等边三角形?请对你的猜想进行证明. 活动3　探索和应用等边三角形的判定 探究与应用 解:(1)猜想:一个三角形的三个内角都相等,那么这个三角形是等边三角形. 已知:如图①,△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵∠A=∠B,∠B=∠C, ∴AC=BC,AB=AC,∴AB=BC=AC, ∴△ABC是等边三角形. 探究与应用 (2)猜想:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 已知:如图②,在△ABC中,AB=AC,∠A,∠B,∠C中有一个角为60°. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 当∠A=60°时,可得∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠B, ∴AC=CB, 探究与应用 则AB=BC=AC, ∴△ABC是等边三角形. 当∠B=60°时,则∠C=∠B=60°, ∴∠A=60°,∴∠A=∠B, 则AC=CB,∴AB=BC=AC, ∴△ABC是等边三角形. 当∠C=60°时,同理可证△ABC是等边三角形. 探究与应用 学 方法 判定等边三角形的“三种思路” (1)三边相等; (2)三角相等; (3)有一个角为60°的等腰三角形. 探究与应用 [概括新知] 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 探究与应用 例3 如图2-5-11,在等边三角形ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC,分别交BC于点D,E. (1)试判断△ODE的形状,并说明理由; (2)线段BD,DE,EC三者有什么数量关系?并说明理由. 图2-5-11 探究与应用 解:(1)△ODE是等边三角形. 理由:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵OD∥AB,OE∥AC, ∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,∴∠DOE=60°, ∴△ODE是等边三角形. 探究与应用 (2)BD=DE=EC. 理由:∵BO平分∠ABC, ∴∠ABO=∠OBD. ∵OD∥AB, ∴∠BOD=∠ABO,∴∠OBD=∠BOD,∴DB=DO. 同理,EC=EO. ∵△ODE是等边三角形,∴OD=DE=OE, ∴BD=DE=EC. 探究与应用 谢 谢 观 看！ $$