2.4　第4课时　角平分线的性质与判定定理的综合应用课件-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

八年级上册 SK 数学 2.4　第4课时　角平分线的性质与判定定理的综合应用 第2章 轴对称图形 - 第4课时　角平分线的性质与判定定理的综合应用 探究与应用 第2章　轴对称图形 活动1　能综合运用角平分线的性质与判定解决问题 [讨论探究] 在△ABC中,用直尺和圆规分别作角平分线AD,BE,AD,BE相交于点P,再作∠C的平分线,你有什么发现? 解:作图略,发现∠C的平分线也经过点P. 探究与应用 例1 (教材典题)已知:如图2-4-11,△ABC的角平分线AD,BE相交于点P.求证:点P在∠C的平分线上. 图2-4-11 探究与应用 证明:过点P作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC,垂足分别为F,M,N. 如图. ∵AD平分∠BAC,点P在AD上, ∴PF=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等). 同理PF=PM,∴PM=PN. ∴点P在∠C的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上). 探究与应用 [概括新知] 三角形三个内角的平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等. 变式 如图2-4-12,△ABC的两外角的平分线BD与AE相交于点P.求证:点P到三边AB,BC,CA所在的直线 的距离相等. 图2-4-12 探究与应用 证明:如图,过点P作PF⊥CB于点F,PG⊥AB于点G,PH⊥AC于 点H. ∵△ABC的两外角的平分线BD与AE相交于点P, ∴PF=PG,PG=PH, ∴PF=PG=PH, ∴点P到三边AB,BC,CA所在的直线的距离相等. 探究与应用 拓展 如图2-4-13,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 (　　) A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 图2-4-13 D 探究与应用 活动2　探索与分析的思考方法 例2 已知:如图2-4-14,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:AD垂直平分EF. 分析:要证AD垂直平分EF, 只要证　　　　,　　　　.  已知∠BAD=∠CAD,DE⊥AB,DF⊥AC, 只要证　　 　　.  图2-4-14 DE=DF AE=AF ∠EDA=∠FDA 探究与应用 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,AD是△ABC的角平分线,∴∠AED=∠AFD=90°,∠EAD=∠FAD,DE=DF, ∴∠EDA=∠FDA,∴DA平分∠EDF, ∴AE=AF(角平分线上的点到角两边的距离相等), ∴点D,A在EF的垂直平分线上(到线段两端距离 相等的点在线段的垂直平分线上), ∴AD垂直平分EF. 探究与应用 运用定理时,条件不全就下结论致错 要判定一条直线是某条线段的垂直平分线,需要证明直线上有两个点到线段两个端点的距离相等.切忌只证明一个点到线段两个端点的距离相等,就说过该点的直线是线段的垂直平分线. 防 易错 探究与应用 变式 如图2-4-15,过△ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M,作△ABC的另外两边AB,BC所在直线的垂线,垂足分别为D,E,AD=CE,作射线BM.求证:BM平分∠ABC. 图2-4-15 证明:连接MA,MC. ∵点M在AC的垂直平分线上,∴MA=MC. ∵MD⊥AD,ME⊥BC, ∴∠ADM=∠CEM=90°. 探究与应用 在Rt△MAD和Rt△MCE中, ∴Rt△MAD≌Rt△MCE. ∴MD=ME. 又∵MD⊥BA,ME⊥BC,∴点M在∠ABC的平分线上,即BM平分∠ABC. 探究与应用 拓展　D　[解析] 如图.作直线l1,l2,l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线,外角平分线相交于点P1,P2,P3,内角平分线相交于点P4,根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.故选D. 相关解析 谢 谢 观 看！ $$