平面向量及其应用专题特训-2025届高三数学上学期一轮复习

平面向量及其应用专题特训-2025年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•长沙三模）已知向量，，若，则＝（　　） A． B．1 C． D．2 2．（2024•盐湖区一模）已知△ABC所在平面内一点P，满足，则＝（　　） A． B． C． D． 3．（2024•和平区二模）平面四边形ABCD中，AB＝2，，AC⊥AB，，则的最小值为（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 4．（2024•安康校级模拟）在△ABC中，，则（　　） A． B． C． D． 5．（2024•扬州模拟）已知三个单位向量，，满足，则向量，的夹角为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•射洪市模拟）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若＝x+2y（x＞0，y＞0），则+的最小值为（　　） A．9 B．8 C．4 D．2 7．（2024•新县校级模拟）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 8．（2024•长沙模拟）在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC＝，AD＝4，AB＝2BD，且△ADC的面积为4，则sin∠ABD＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•湖北模拟）在△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2+c2＝24，下列选项正确的是（　　） A．若A＝，则S＝3 B．S的最大值为3 C．AM＝3 D．角A的最小值为 （多选）10．（2023秋•T8联考月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，AB＝2，，，则下列结果正确的是（　　） A．∠ABC＝45° B． C． D．△ADC的面积为 （多选）11．（2024•南通模拟）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（　　） A．（0，2） B．（2，0） C． D． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•泸州模拟）已知向量，满足，，，则＝　 　． 13．（2024•江西二模）在△ABC中，已知＝3，P为线段AD的中点，若＝λ+μ，则+＝　 　． 14．（2024•蓟州区校级一模）如图，在△ABC中，，，CD与BE交于点P，AB＝2，AC＝4，，则的值为 　 　；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（m＞0，n＞0），则m+n的最小值为 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•长安区一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinA＝a（2+cosB）． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 16．（2024•一模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．（sinA﹣sinB）（a+b）＝． （1）求角A； （2）若sin（B﹣C）＝，a＝5，求AD． 17．（2024•南开区校级模拟）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足已知ccosB+bcosC＝． （1）求角A的大小； （2）若cosB＝，求sin（2B+A）的值； （3）若△ABC的面积为，a＝3，求△ABC的周长． 18．（2024•曲靖模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2acosC﹣2b． （1）求A； （2）线段BC上一点D满足，求AB的长度． 19．（2024•石家庄模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量＝（2sinA，sinA+cosA），＝（cosA，cosA﹣sinA），f（A）＝•，A∈[，]． （1）求函数f（A）的最大值； （2）若f（A）＝0，a＝，求△ABC的面积． 平面向量及其应用专题特训-2025年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•长沙三模）已知向量，，若，则＝（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：由题意可知，因为，， 所以， 又因为，所以， 即1×1+1×（1+2t）＝0，解得t＝﹣1． 所以． 故选：B． 2．（2024•盐湖区一模）已知△ABC所在平面内一点P，满足，则＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 即， 即， 解得． 故选：B． 3．（2024•和平区二模）平面四边形ABCD中，AB＝2，，AC⊥AB，，则的最小值为（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：由AB＝2，，AC⊥AB， 可得，故， 又，所以∠ADC+∠ABC＝π， 以BC为直径作圆，则A，B，C，D四点共圆， 如图所示，故点D的轨迹是以AC为弦，圆周角为的劣弧（不含A，C两点）， 则＝， 又表示在上的投影数量， 由图可知，∈[﹣1，0）， 故（此时点D在劣弧AC的中点位置）， 即的最小值为﹣2． 故选：D． 4．（2024•安康校级模拟）在△ABC中，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以D为线段BC上靠近C的三等分点，如图所示， 所以． 故选：C． 5．（2024•扬州模拟）已知三个单位向量，，满足，则向量，的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]， 由题意可知，＝1， ， 则＝2+2×1×1×cosθ＝1，解得cosθ＝， 故． 故选：C． 6．（2024•射洪市模拟）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若＝x+2y（x＞0，y＞0），则+的最小值为（　　） A．9 B．8 C．4 D．2 【解答】解：∵F，B，C三点共线，＝x+2y（x＞0，y＞0）， ∴x+2y＝1， ∴+＝（+）（x+2y）＝++5≥2+5＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝时取等号， ∴+的最小值为9， 故选：A． 7．（2024•新县校级模拟）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：以C为坐标原点，CD，CA所在直线分别为 x，y轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，C（0，0）， 所以，， 因为CB＝CD＝1，∠DCB＝90°+45°＝135°，故∠BDC＝22.5°， 因为， 所以 （负值舍去）， 所以OC＝， 故， 又D（﹣1，0），则， 因为，所以， 解得，所以． 故选：A． 8．（2024•长沙模拟）在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC＝，AD＝4，AB＝2BD，且△ADC的面积为4，则sin∠ABD＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意， ＝，解得AC＝4， 所以△ADC为等腰三角形， 则，故， 在△ABD中，由正弦定理得， 即，得， 因为，所以∠BAD 为锐角， 故， 故sin∠ABD＝sin（∠ADC﹣∠BAD）＝ ＝． 故选：A． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•湖北模拟）在△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2+c2＝24，下列选项正确的是（　　） A．若A＝，则S＝3 B．S的最大值为3 C．AM＝3 D．角A的最小值为 【解答】解：对于A，若A＝，a＝2，b2+c2＝24， 由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得12＝b2+c2﹣bc＝24﹣bc，可得bc＝12， 所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝＝3，故A正确； 对于B，因为24＝b2+c2≥2bc，可得bc≤12，当且仅当b＝c＝2时等号成立，此时a＝b＝c，可得A＝， 所以△ABC的面积为S＝bcsinA≤＝3，故B正确； 对于C，因为BC边上的中点为M，可得2＝+， 所以两边平方，可得42＝2+2+2•， 可得4||2＝c2+b2+2bccosA＝c2+b2+2bc•＝2（b2+c2）﹣a2＝2×24﹣12＝36，解得||＝3，故C正确； 对于D，因为24＝b2+c2≥2bc，可得bc≤12，当且仅当b＝c＝2时等号成立， 所以cosA＝≥＝， 因为A∈（0，π），可得A∈（0，]， 所以A的最大值为，故D错误． 故选：ABC． （多选）10．（2023秋•T8联考月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，AB＝2，，，则下列结果正确的是（　　） A．∠ABC＝45° B． C． D．△ADC的面积为 【解答】解：选项A，由可得，∴， ∵0＜∠ABC＜180°，∴∠ABC＝45°，故选项A正确； 选项B，连接AC，在△ABC中， 由余弦定理，， ∴，故选项B错误； 选项C，∵，AB＝2，∴∠ACB＝90°， 在四边形ABCD中，∵∠DAB+∠DCB＝180°， ∴A，B，C，D四点共圆，连接BD， ∴∠ADB＝90°，∴AD＝ABcosA＝1， ∴，故选项C正确； 选项D，△ADC的面积，故选项D正确． 故选：ACD． （多选）11．（2024•南通模拟）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（　　） A．（0，2） B．（2，0） C． D． 【解答】解：向量， 则， 向量在向量方向上的投影向量为，与夹角， 则＝，解得， 故， 对于A，满足，，符合题意，故A正确； 对于B，，不符合题意，故B错误； 对于C，，不符合题意，故C错误； 对于D，满足，，符合题意，故D正确． 故选：AD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•泸州模拟）已知向量，满足，，，则＝　1　． 【解答】解：因为，，， 所以， 所以，解得， 故答案为：1． 13．（2024•江西二模）在△ABC中，已知＝3，P为线段AD的中点，若＝λ+μ，则+＝　10　． 【解答】解：根据题意，在△ABC中，已知＝3，则＝， 由于P为线段AD的中点，则＝+＝+＝+（﹣）＝+＝+， 故λ＝，μ＝， 则有+＝2+8＝10． 故答案为：10． 14．（2024•蓟州区校级一模）如图，在△ABC中，，，CD与BE交于点P，AB＝2，AC＝4，，则的值为 　2　；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（m＞0，n＞0），则m+n的最小值为 　　． 【解答】解：在△ABC中，，可得＝2， ， 设， 则＝+＝+λ（+）＝（1﹣λ）+＝2（1﹣λ）+， 由D，P，C三点共线，得，解得， 因此， 因为AB＝2，AC＝4，， 于是＝2﹣2+•＝×42﹣×22+•＝2 可得•＝2， 因为，，m＞0，n＞0，则有， 而M，P，N三点共线，因此， 则＝+++≥+2＝+， 当且仅当，即取等号， 此时m+n取得最小值． 故答案为：2；． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•长安区一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinA＝a（2+cosB）． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 【解答】解：（1）因为bsinA＝a（2+cosB）． 由正弦定理得． 显然sinA＞0，所以． 所以2sin（B﹣）＝2，∵B∈（0，π）． 所以，∴． （2）依题意，∴ac＝4． 所以时取等号． 又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2+ac≥3ac＝12．∴． 当且仅当a＝c＝2时取等号． 所以△ABC的周长最小值为． 16．（2024•一模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．（sinA﹣sinB）（a+b）＝． （1）求角A； （2）若sin（B﹣C）＝，a＝5，求AD． 【解答】解：（1）因为（sinA﹣sinB）（a+b）＝， 利用正弦定理可得（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，可得b2+c2﹣a2＝bc， 利用余弦定理cosA＝＝＝， 由于A∈（0，π）， 所以A＝； （2）因为sin（B﹣C）＝，可得sinBcosC﹣cosBsinC＝①， 又sin（B+C）＝sinA＝sin＝，可得sinBcosC+cosBsinC＝②， 由①②得：sinBcosC＝，cosBsinC＝， 所以＝，可得2tanB＝3tanC，即tanB＝tanC③， 在△ABC中，AD⊥BC，设AD＝x，BD＝y，DC＝z， 则tanB＝＝， tanC＝＝， 所以由③可得＝×，整理得：3y＝2z， 由于：y+z＝5， 解得：z＝3，y＝2， 由于：tanB＝tan（﹣C）＝， 所以：＝，可得＝，整理可得x2﹣5x﹣6＝0， 解得：x＝6或﹣1（舍去），即AD＝6． 17．（2024•南开区校级模拟）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足已知ccosB+bcosC＝． （1）求角A的大小； （2）若cosB＝，求sin（2B+A）的值； （3）若△ABC的面积为，a＝3，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵， 由正弦定理得， 从而有， ∵sinA≠0， ∴， ∵0＜A＜π， ∴； （2）由已知得，， ∴，， ∴， （3）∵， ∴， 由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA， 即，解得b+c＝5， ∴ABC的周长为a+b+c＝8． 18．（2024•曲靖模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2acosC﹣2b． （1）求A； （2）线段BC上一点D满足，求AB的长度． 【解答】解：（1）由题设及余弦定理知：2b， 所以﹣bc＝b2+c2﹣a2，又，A∈（0，π）， 所以； （2）由题设∠ADB＝π﹣2B，且AD＝BD＝1，BC＝4，， 在△ADB中，由正弦定理得，＝＝， 则AB＝2cosB， 在△ABC中，由正弦定理得，， 所以2cosB＝sin（）， 则， 综上，可得，， 则， 故． 19．（2024•石家庄模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量＝（2sinA，sinA+cosA），＝（cosA，cosA﹣sinA），f（A）＝•，A∈[，]． （1）求函数f（A）的最大值； （2）若f（A）＝0，a＝，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）＝（cosA﹣sinA）＝＝＝， 因为A∈[，]，所以， 所以当，即时，f（x）有最大值； （2）因为 f（A）＝0，所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得：， 所以，， 又因为，所以， 所以， 由余弦定理有：a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即3＝（b+c）2﹣3bc，所以bc＝1， 所以． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$