第22章二次函数检测卷-2024-2025学年人教版 数学九年级上册

第22章二次函数检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．若拋物线经过，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A．4 B． C． D． 4．将抛物线向左平移3单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴交点的坐标是 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 7．抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 二、填空题 9．将二次函数写成的形式为 ． 10．抛物线的顶点坐标为 ． 11．已知二次函数的顶点坐标，则关于x的一元二次方程的两个根分别是和 ． 12．二次函数的图象如图所示，直接写出不等式的解集为 ． 13．定义：若点A在某一个函数图象上，且点A的横纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”．若关于x的二次函数，当时有两个“美丽点”，则t的取值范围为 ． 14．铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是 m． 15．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 18．如图，二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于C，D两点，顶点坐标为．若点P是x轴上的一动点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标． 19．如图，二次函数的图象过、两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结、，求的面积． 20．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 21．已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 22．如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C C C C B D 1．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 根据题意可知抛物线对称轴为直线，则有点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：，然后根据二次函数性质：当抛物线开口向下时，离对称轴越远，对应点的函数值越小，进行分析判断即可． 【详解】解： 抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：， 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， A、若， ，∴，故选项A结论不正确，不符合题意； 、若，，∴，故选项B结论正确，符合题意； 、若， ，∴，故选项C结论不正确，不符合题意； 、若， ，∴，故选项D结论不正确，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确求出函数图象的顶点．求出二次函数图象的顶点，据此判断图象． 【详解】解：，， ∴该二次函数图象的顶点为，开口向上， 符合条件的图象为：C． 故选C． 3．C 【分析】本题考查了用二次函数确定性一元二次方程的近似根．解决本题的关键是根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， 当对应的的值一定有， 一元二次方程的解的范围是． 故选： C． 4．C 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3单位，再向下平移2个单位， 得到的抛物线是． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．令，求出y的值，即得出图象与y轴交点的坐标可判断A；由顶点式可直接得出对称轴是直线，顶点坐标为，可判断B和C；由，对称轴是直线，可得出当时，y随x的增大而增大，可判断D． 【详解】解：对于，令，则， ∴图象与y轴交点的坐标是，故A选项错误，不符合题意； 由二次函数解析式为，可直接得出对称轴是直线，顶点坐标为，故B选项错误，不符合题意、C选项正确，符合题意； ∵， ∴该抛物线开口向下． 又∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 6．C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把代入求解时间即可． 【详解】解：∵， 当时， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴“水火箭”升空的时间为， 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为，，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，故④正确； ， ∵， ∴当时，函数有最大值， ∵直线经过点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，函数有最大值，故⑤错误； ∴正确的有3个． 故选：B 8．D 【分析】本题考查了二次函数的应用；设苗圃的一边长为米，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设苗圃的一边长为米，面积为， 根据题意得， ∵墙最大可用长度为米 ∴，即 当时，随的增大而减小， ∴当时，最大为平方米 故选：D． 9． 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键． 利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据顶点得到对称轴为直线，再根据求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标， ∴二次函数对称轴为直线， ∴， ∵关于x的一元二次方程的两个根分别是和， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查根据二次函数图象解一元二次不等式，根据二次函数图象找到x轴下方图象的点的横坐标x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 当或时，， 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是根的判别式的灵活运用． 根据点A的横、纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”，得，然后根据判别式判断和根据区间列出不等式求解即可． 【详解】∵点A的横、纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”， ∴点A在直线上， ∵关于x的二次函数当时有两个“美丽点”， ∴与有两个根， 即， 整理，得：， ∴， ∴， 令二次函数， ∵当时，当时有两个“美丽点”， 在这个区间内函数z与x轴有两个交点，函数z开口向上，对称轴为直线， 当时，代入方程得：， 解得：， 当时，代入得：， ． 综合以上所有条件， t 的取值范围为． 14．3 【分析】本题主要考查了二次函数的函数和性质，把二次函数一般形式化成顶点式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取的最大值，最大值为3． 则铅球的最大行进高度是， 故答案为：3． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 16．①④ 【分析】观察到抛物线开口向下，则，因为抛物线对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，根据对称性得，所以，因为越靠近对称轴的所对应的函数值越大，所以．本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 17．(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）用配方法把二次函数化为顶点式即可； （）根据画函数图象的步骤，画出图象即可； 【详解】（1）解：； （2）列表： 描点、连线， 如图， 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查求二次函数解析式、轴对称的性质、一次函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）设二次函数解析式为，将点坐标代入计算求得a的值即可； （2）如图：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，然后根据点B、点E的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，并求其解析式与x轴的交点即为点P的坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将的坐标代入得，解得：， ∴，即． （2）解：如图：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 19．(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴、三角形的面积等知识， 求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把、两点代入得到方程组，解方程组后即可得到二次函数的解析式； （2）先求出抛物线的对称轴，得到点C的坐标，进一步求得的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得． 故这个二次函数的解析式为； （2）解：∵该抛物线对称轴为直线， ∴点C的坐标为， ∴， ∴． 20．(1) (2)这次表演失败，理由见解析 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值、二次函数的应用等知识点，正确求得二次函数解析式成为解题的关键． （1）将抛物线解析式整理成顶点式求得最大值，即可求得最大高度； （2）将代入抛物线解析式，计算函数值是否等于进行判断即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴函数的最大值是． 答：演员弹跳的最大高度是米． （2）解：这次表演失败，理由如下： 当时，，即这次表演失败． 21．(1)； (2)P点坐标为； (3)①，②． 【分析】（1）求出A、C点的坐标，再将点代入，即可得解； （2）先求，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得出，最后利用两点之间的距离公式求解； ②作，连接，，先得出即求的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值即，得解． 【详解】（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，算了掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键． 22．(1)，该抛物线的顶点坐标为 (2)，当时，有最大值，最大值为 (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合，舍去）， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， 同理可得； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$