2024-2025学年 人教版九年级上册数学期中复习一元二次方程、二次函数与旋转（前三章节）试卷

2024-2025学年度人教版九年级上学期数学期中复习 一元二次方程、二次函数与旋转（前三章节）试卷 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，有最大值 C．当时，随的增大而减小 D．图象的顶点坐标为 5．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25九年级上·全国·阶段练习）根据下列表格对应值： 0 1 2 3 判断关于的方程一个解，则的范围是（　　） A． B． C． D． 8．（陕西省榆林市高新区2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷）对于实数a、b定义新运算：，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数的部分图象如图，图象经过点，其对称轴为直线，下列结论∶①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25九年级上·吉林四平·期中）在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，点关于原点的对称点是，则点的坐标是 ． 12．（24-25八年级上·上海普陀·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为 ． 14．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，为直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长为 ． 15．（24-25九年级上·山西长治·期中）为了方便游客拍照打卡，某地计划在如图所示的长为60米，宽为40米的矩形空地中修建小道（阴影部分），余下部分种植牡丹花，其中每条小道的宽都是x米（每段小道均与边缘平行），要使牡丹花的种植面积为2128平方米，则x的值为 ． 16．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是 m． 17．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则的最大值是 ． 18．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    三、解答题 19．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 20．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出，并写出点，的坐标． (2)请画出关于原点O成中心对称的． 21．（24-25九年级上·北京·阶段练习）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 22．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，二次函数的图象过、两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结、，求的面积． 23．（24-25九年级上·山西长治·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A市场和B市场购买葡萄． A市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折． B市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售． 在B市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克） 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 … 付款金额/元 20 40 60 80 100 118 136 154 … (1)若该超市在B市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？ (2)当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？ (3)该超市决定从A市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？ 24．（24-25九年级上·北京延庆·期中）乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 25．（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)如图①，当点在上，点在上时，线段与的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)把绕点旋转到如图②的位置，连接与交于点与交于点，此时①中的结论还成立吗？请说明理由； (3)绕点在平面内旋转的过程中，若，当点在线段上，直接写出的长． 26．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，得． 故选C． 3．C 【分析】本题考查了根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解得即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为 ，， ∴二次函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故A结论正确，不符合题意，D结论错误，符合题意； ∴当时，有最大值，当时，随的增大而减小，故B、C结论正确，不符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后得到的图形与原图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心组成的夹角为旋转角，进行判断即可． 【详解】解：∵把绕点O旋转得到， ∴，，，， 故只有选项C不一定成立； 故选：C． 6．C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把代入求解时间即可． 【详解】解：∵， 当时， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴“水火箭”升空的时间为， 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，结合表格可得一定有一个满足时，使得，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知当时，，当时， ∴一定有一个满足时，使得， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于x的方程为，变形为， ∵方程没有实数根， ∴， 解得． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，则，同时由旋转得到，，先证明，得到，再证明，得到∴，进而利用勾股定理得到的长度． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴，， 由旋转可知，，，， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴，， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D ． 10．B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线，与轴的交点为，当时，，然后逐个选项判断即可得解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴是直线， ． ． 故①错误． 抛物线的对称轴是直线， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ，故②正确． 由题意，令， 抛物线与直线有两个不同的交点． 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误． 当时，， 又抛物线的对称轴是直线， 当时，． 又抛物线开口向下， 满足的的取值范围为，故④正确． 故选：B 11． 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，以及关于原点的对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．先根据向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，求出点的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标，纵坐标都互为相反数解答即可． 【详解】解：∵将点向右平移6个单位得到点， ∴点的坐标是， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为∶ ． 13． 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了旋转的性质以及勾股定理．根据旋转的性质，得到等腰直角三角形，根据勾股定理进行计算． 【详解】解：根据旋转的性质得：， 即为等腰直角三角形，根据勾股定理得． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可得方程，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为：． 16．3 【分析】本题主要考查了二次函数的函数和性质，把二次函数一般形式化成顶点式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取的最大值，最大值为3． 则铅球的最大行进高度是， 故答案为：3． 17． 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，一次函数的应用．由可得，结合根与系数的关系可得，再结合一次函数的性质可得答案． 【详解】解：∵是的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，的最大值为：． 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先将方程化成一元二次方程的一般式，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以该方程的解为：． （2）解：， ， ， 所以该方程的解为：． 20．(1)图见解析，， (2)见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换、平移变换，点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据，，．将向左平移6个单位长度得到即可； （2）根据中心对称的性质即可画出关于原点成中心对称的． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ，； （2）解：如图，即为所求． 21．(1)证明见详解 (2)1或3 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将变形为，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴m的值为1或3． 22．(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴、三角形的面积等知识， 求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把、两点代入得到方程组，解方程组后即可得到二次函数的解析式； （2）先求出抛物线的对称轴，得到点C的坐标，进一步求得的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得． 故这个二次函数的解析式为； （2）解：∵该抛物线对称轴为直线， ∴点C的坐标为， ∴， ∴． 23．(1)超过5千克的部分打9折 (2)选择在A市场购买比较划算 (3)该超市降价4元时，每天的销售利润为840元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设超过5千克的部分打x折，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）根据题意及（1）可直接进行计算即可； （3）设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元，由题意可得方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设超过5千克的部分打x折，由题意得： ， 解得：， 答：超过5千克的部分打9折． （2）解：由题意得： 在A市场所需费用为（元）； 在B市场所需费用为（元）； 答：选择在A市场购买比较划算． （3）解：设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元；由题意可得： ， 解得：（舍去）； 答：该超市降价4元时，每天的销售利润为840元． 24．(1)图见解析 (2)， (3)乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由见解析 【分析】（1）依据题意，根据描点法描出各点并画出函数图象即可； （2）依据题意，根据二次函数图象的对称性可求得对称轴以及顶点坐标，根据表格数据可得当时，于是得解； （3）先用待定系数法求出二次函数解析式，然后求抛物线与轴的交点坐标，即可求出乒乓球再次落下时的落点坐标，然后将其与乒乓球台的长度相比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：描出各点，并画出图象如下： （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， 当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：，； （3）解：乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由如下： 将代入函数关系式，得： ， 解得：或（因对称轴，故舍去）， 乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 令，则有： ， 解得：或（此为乒乓球第一次落到球桌时的落点坐标，故舍去）， ， 乒乓球再次落下时仍落在球台上． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数，用描点法画函数图象，从表格中获取信息，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，直接开平方法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，有理数大小比较等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及用待定系数法求二次函数解析式并运用数形结合思想是解题的关键． 25．(1)； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）过点C作于M，根据勾股定理得出，根据等腰直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ； （3）解：如图，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 26．(1)； (2)P点坐标为； (3)①，②． 【分析】（1）求出A、C点的坐标，再将点代入，即可得解； （2）先求，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得出，最后利用两点之间的距离公式求解； ②作，连接，，先得出即求的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值即，得解． 【详解】（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$