第21章一元二次方程检测卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A． B． C． D． 2．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．11 B．14 C．11或8 D．11和14 4．根据下列表格对应值： 0 1 2 3 判断关于的方程一个解，则的范围是（　　） A． B． C． D． 5．若将一元二次方程化成一般式，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 6．若方程是关于x的一元二次方程，则“£”可以是（    ） A． B． C． D． 7．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为25元，降价后的价格为16元，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 10．若关于x的一元二次方程的一个根为，则 ． 11．在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为 ． 12．若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则的最大值是 ． 13．新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ． 14．已知a，b，c分别是的三边，其中，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的形状是 ． 15．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为 ． 16．将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖线，记成，定义，上述记号叫做二阶行列式．那么表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式为 ． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 19．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． (1)零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． (2)不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 20．大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数/株 30 40 50 60 70 80 单位面积试验田单株的平均产量/粒 51 46 41 36 31 26 (1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植x株（），则单位面积试验田单株的平均产量为_________粒． (2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 21．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，所以5是“完美数”． (1)数52______“完美数”（填“是”或“不是”）； (2)已知（x，y是整数，k是常数）要使s为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； (3)如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B B D C C B 1．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、未知数的最高次不是2且含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据根与系数的关系得到，再由，代值计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的范围，进而确定第三边的值即可得到答案． 【详解】解：解方程得或， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴该三角形的第三边一定满足大于，小于， ∵第三边长是方程的解， ∴第三边长是5， ∴该三角形的周长为， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，结合表格可得一定有一个满足时，使得，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知当时，，当时， ∴一定有一个满足时，使得， 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由一元二次方程变形为， ∴， ∴； 故选D． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴选项中要有的2次方，而且不能含有其它未知数， 观察各选项，唯有C选项符合条件， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为25，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，即可求得方程． 【详解】解：由题意，得 ． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意，将图中小路平移，如图所示，得到种植面积为的地方即是图中空白部分，有题中条件得到空白矩形的长与宽，利用矩形面积公式代值即可得到方程，掌握平移方法处理此类问题是解决问题的关键． 【详解】解：将小路平移到边上，如图所示：   图中空白部分即是种植面积为的地方，则， 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式求值、乘方等知识点，掌握一元二次方程根的定义成为解题的关键． 由方程根的定义可得，然后代入运用乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键；因此此题可把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， ∴； 故答案为． 11． 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 根据圆的面积公式和矩形面积公式结合两圆的面积和是剩余面积的一半，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为： 12． 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，一次函数的应用．由可得，结合根与系数的关系可得，再结合一次函数的性质可得答案． 【详解】解：∵是的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，的最大值为：． 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程为“倍根方程”． ∴或者， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为： 或． 14．等腰三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定方法，解答关键是根据根的判别式构造方程求解． 根据题意可知，方程根的判别式值为0，则b值可求，进而问题可解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：，即 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．根据题意直接可列出方程，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 表示的方程是一元二次方程，它的一般形式为， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先将方程化成一元二次方程的一般式，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以该方程的解为：． （2）解：， ， ， 所以该方程的解为：． 18．(1)证明见详解 (2)1或3 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将变形为，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴m的值为1或3． 19．(1)， (2)0.4 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． （1）零售单价下降m元，每天可多卖出只粽子，再加上300即可得卖出的粽子数量；然后根据“降价前卖出1只粽子的利润是1元”可得降价m元后，卖出1只粽子的利润为元，据此乘以卖出的粽子数量即可得； （2）根据“每天的利润每只粽子的利润每天卖出的粽子数量”可建立一个关于m的一元二次方程，解方程，取较大的根即可． 【详解】（1）解：由题意得：零售单价下降m元，每天可多卖出粽子（只）， 则该店平均每天可卖出的粽子数量为只， 降价前卖出1只粽子的利润是1元， 降价m元后，卖出1只粽子的利润为元， 则每天的利润为元， 故答案为：，； （2）由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， ∵要求卖出的粽子更多， ， 答：当m定为时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 20．(1) (2)单位面积大豆应种植60株 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，及一元二次方程的应用． （1）设单株的平均产量为y，由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数．设y与x的关系式为，在表格中取两组值代入，求出k、b的值，即可得到单位面积试验田单株的平均产量； （2）根据题意列出一元二次方程，求出x的值，再根据题意选取合适的值即可． 【详解】（1）解：设单株的平均产量为y， 由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数． 设y与x的关系式为， 将，；，代入得 ， 解得， ∴y与x的关系式为：， 单位面积试验田单株的平均产量粒； （2）解：根据题意可列方程：． 整理，得， 解得． ∵种植60株比种植72株的田间管理少一些，故应舍去， ∴． 答：单位面积大豆应种植60株． 21．(1)是 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了配方法的应用， 掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键； （1）根据“完美数”的定义得出52可以得出两个数平方和，即可得出结论； （2）先将代数式配方，再根据新定义求解即可； （3）根据的面积为，运动时间为t秒，利用三角形的面积公式列出方程，利用配方求出最大值即可． 【详解】（1）， 5是“完美数”， 故答案为：是； （2）当时，s为完美数，理由： ∵s是完美数， ∴是完全平方数，； （3）解：点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 ，，． 的面积为，运动时间为t秒， ∴． ∴当时，s有最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$