24.4 弧长和扇形面积 第1课时 (教学课件) 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 24.4 第1课时 弧长和扇形面积 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点） 学习目标 阅读教材P111～P113的内容，完成下面练习． 1.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是 ，n°的圆心角所对的弧长是 . 2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是 ，n°的圆心角所对应的扇形面积是 . 3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝ . 4．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的的长是 . 5．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为 cm². 6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝ . 预学指导和预学检测 图片欣赏 情境引入 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 合作探究 与弧长相关的计算 一 问题1 半径为R的圆,周长是多少？ O R 问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 解决问题 (1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 . (2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 . (3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 . (4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 . 知识要点 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____. 弧长公式 例题讲解 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm) 解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长度 l=2×700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 700mm 700mm R=900mm ( 100 ° A C B D O 练习 · O A 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与 滑轮之间没有滑动， 取3.14）？ 概念学习 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 与扇形面积相关的计算 二 判一判 下列图形是扇形吗？ √ × × × √ 合作探究 问题1 半径为r的圆,面积是多少？ O r 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? 合作探究 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 = 知识点总结 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 注意 引发思考 ___大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关， ___ 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. O ● A B D C E F O ● A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 类比学习 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 典例精析 例3 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm） O R 60° 解：∵n=60，r=10cm， ∴扇形的面积为 扇形的周长为 典例精析 例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm） (1) O . B A C 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. (2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 典例精析 O. B A C D (3) 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC. 　从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚. 　　有水部分的面积： S＝S扇形OAB - SΔOAB 知识要点 O O 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 弓形的面积公式 课堂练习 2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ） B． C. D. 1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 . C 3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 . 课堂练习 4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积. 解： 课堂小结 弧长 计算公式： 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法 O 课后作业 A组：练习册113-114页，1-14题 B组：练习册113-114页，1-9题 作业布置 $$