上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

洋泾中学2024学年第一学期高一年级数学期中 2024.10 一、填空题（1-6题每题3分，7-10题每题4分，共34分） 1．已知集合，，则________． 2．已知，，化简：________． 3．方程的两个实数根为，，若，则实数________． 4．已知集合，集合，那么________． 5．对任意，等式成立，则实数________． 6．设，，且，则实数组成的集合 是________． 7．已知，则的取值范围是________． 8．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是________． 9．设集合，，若的真子集的个数是1个，则正实数的取值范围是________． 10．定义区间、，、的长度均为，其中，若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数的取值范围是________． 二、选择题（11-12题每题3分，13-14题每题4分，共14分） 11．已知，则“”是“”的（ ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 12．若，，，，下列运算正确的是（ ）. A． B． C． D． 13．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意非零实数和，若，则下列命题是真命题的是（ ） A． B． C． D． 14．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中，且），或（其中，，，，，且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列选项中正确的是（ ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 三、解答题（共52分） 15．（本题8分）已知集合，实数使得集合满足，求的取值范围． 16．（本题8分）已知，，，请用反证法证明：与不能同时成立． 17．（本题10分，第（1）题5分，第（2）题5分） 已知关于的方程． （1）当是方程的一个解时，求实数的值； （2）当方程只有一个解时，求实数的值． 18．（本题12分，第（1）题6分，第（2）题6分） 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．2022年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米． （1）据市场调查，售价每提高1欧元/平方米，销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2023年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使2023年的销售收入不低于2022年销售收入与2023年投入之和？并求出此时的售价． 19．（本题14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题6分） 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数． （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 9．设集合，，若的真子集的个数是1个，则正实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】集合, 若的真子集的个数是1，即的的元素个数为1， 若,则,解得, 若,则,解得, 若,则,解得, 又因为正实数,所以,所以.故答案为:. 10．定义区间、，、的长度均为，其中，若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】由,可得,即,解得, 所以不等式的解集为,此不等式解集长度为8; 又因为不等式可化为 当时,此不等式无解,舍去;当时,此不等式解集为,要满足题意，则； 同理,当时,可得此不等式解集为,此时需满足,可得; 综上可得,实数的取值范围是.故答案为:. 二、选择题 11.C 12.A 13.C 14.C 14．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中，且），或（其中，，，，，且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列选项中正确的是（ ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【解析】因为若,则当且仅当(其中且,或其中且),且集合是由某些正整数组成的集合,所以, 因为,满足（其中,且),所以, 因为,且,所以,故①是假命题； 记当时，，因为，所以； 下面讨论元素与集合的关系, 当时，，当时，，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以，依次类推， 当时,,所以, 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有且,所以, 综上所述,,有,即,故②是真命题.故选:. 三．解答题 15. 16.证明略 17.（1） （2） 18．（本题12分，第（1）题6分，第（2）题6分） 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．2022年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米． （1）据市场调查，售价每提高1欧元/平方米，销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2023年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使2023年的销售收入不低于2022年销售收入与2023年投入之和？并求出此时的售价． 【答案】（1）40欧元/平方米 （2）至少达到102，此时的售价为30欧元/平方米. 【解析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元平方米， 由题易知,解得, 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米 (2)由题意得. 整理得，两边同除以得， 由基本不等式得 当且仅当,即时等号成立, 所以该种玻璃的销售量(单位:万平方米)至少达到102时，才可能使2023年的销售收入不低于2022年销售收入与2023年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米. 19．（本题14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题6分） 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数． （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为9. 【解析】（1）, 当时,,解得:,与取交集得, 当时，，故， 当时,,解得:与取交集得, 综上：的取值范围是 （2）对一切实数恒成立， 因为,故,实数的取值范围为. （3） 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和， 要想距离之和最小，其中时，取得最小值, 当时,取得最小值,当时,取得最小值, 综上：当时，取得最小值, 最小值为, 故的最小值为9. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$