2.4　第3课时　角平分线的性质与判定课件-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

八年级上册 SK 数学 2.4　第3课时　角平分线的性质与判定 第2章 轴对称图形 - 第3课时　角平分线的性质与判定 探究与应用 第2章　轴对称图形 活动1　角平分线性质的探索及应用 [讨论探究] 1.在一张纸片上任意画一个角,折叠纸片使角的两边重合,展开纸片. (1)指出折痕与该角的关系; (2)角是轴对称图形吗?如果它是轴对称图形,请说出它的对称轴. 解:(1)折痕平分所画的角. (2)角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴. 探究与应用 2.(1)记[讨论探究]1中所画的角为∠AOB,折痕为OC,在∠AOB的内部任意取折痕OC上的一点P,分别画点P到OA和OB的垂线段PD,PE,度量PD,PE,你发现什么?沿折痕OC再次折叠,验证你的结论; (2)请用文字表达你在(1)中得出的结论; (3)请证明(2)中你得出的结论(画出图形,写出已知、求证,并证明). 探究与应用 解:(1)发现PD=PE,沿折痕OC再次折叠发现PD与PE重合. (2)角平分线上的点到角两边的距离相等. (3)已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D, PE⊥OB于点E. 求证:PD=PE. 探究与应用 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC. 在△PDO和△PEO中, ∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE. 探究与应用 [概括新知] 角平分线上的点到角两边的距离相等. 探究与应用 [理解应用] 例1 如图2-4-8,在△ABC中,AD平分∠BAC,交边BC于点D,D为BC中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,若BE=2,求CF的长. 图2-4-8 探究与应用 解:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°. ∵D是BC的中点, ∴BD=CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴BE=CF=2. 探究与应用 变式 如图2-4-9,已知AD平分∠BAC,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF,试判断BD和CD的数量关 系,并说明理由. 图2-4-9 探究与应用 解:BD=CD.理由:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°. 在△BED和△CFD中, ∴△BED≌△CFD(SAS), ∴BD=CD. 探究与应用 活动2　角平分线判定的探索及应用 [讨论探究] (1)如果点P在∠AOB的平分线上,那么点P到OA,OB的距离相等;反过来,你能提出什么猜想?请根据你的猜想画出图形写出已知、求证,并完成证明过程; (2)由此,你得出什么结论?请用文字表述. 探究与应用 解:(1)猜想:如果点P在∠AOB内,且到OA,OB的距离相等,那么点P在∠AOB的平分线上. 已知:如图,P是∠AOB内一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,PC=PD. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 证明:连接OP,如图所示. ∵PC⊥OA,PD⊥OB, ∴∠PCO=∠PDO=90°. 探究与应用 在Rt△OPC和Rt△OPD中, ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL), ∴∠POA=∠POB, ∴OP是∠AOB的平分线, 即点P在∠AOB的平分线上. (2)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 探究与应用 [概括新知] 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 例2 如图2-4-10,BE=CF,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥ AC于点F,且DB=DC.求证:AD平分∠BAC. 图2-4-10 探究与应用 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD平分∠BAC. 探究与应用 学 方法 证明角平分线的“两种方法” (1)定义法:应用角平分线的定义; (2)定理法:应用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.应用此方法判定角平分线时,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”. 探究与应用 谢 谢 观 看！ $$